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| Aufgabe | | Untersuchen sie auf grenzwert ! |
Ich habe mich dem Punkt (0,0) auf zwei verschiedenen arten genähert und geschaut welche grenzwerte ich bekomme;
dabei habe ich mit l'hospital gerechnet.
mich würde interessieren ob das vorgehen so richtig ist; ich habe in beiden fällen den grenzwert 0 im punkt (0,0) nachgewiesen. reicht das aus um zu sagen, dass der grenzwert dort existiert ? bzw. wie kann ich zeigen, dass der grenzwert dort immer existiert ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Untersuchen sie auf grenzwert !
> Ich habe mich dem Punkt (0,0) auf zwei verschiedenen arten
> genähert und geschaut welche grenzwerte ich bekomme;
>
> dabei habe ich mit l'hospital gerechnet.
Das ist in diesem Fall übertrieben umständlich.
>
> mich würde interessieren ob das vorgehen so richtig ist;
> ich habe in beiden fällen den grenzwert 0 im punkt (0,0)
> nachgewiesen. reicht das aus um zu sagen, dass der
> grenzwert dort existiert ? bzw. wie kann ich zeigen, dass
> der grenzwert dort immer existiert ?
Das reicht nicht, um Konvergenz zu zeigen. Wenn die beiden Grenzwerte verschieden wären, könntest Du allerdings schließen, daß Divergenz vorliegt.
Nennen wir mal zur Abkürzung $f(x,y) = \frac {\sqrt {\bigl(x^2+y^2\bigr)^3} }{x^2+\sqrt{x^2 + y^2}}=\frac {\|(x,y)\|^3} {x^2+\|(x,y)\|$ für $(x,y)\in\IR^2,\; (x,y)\ne (0,0)$.
Um $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0$ zu zeigen, mußt Du zu jedem $\epsilon > 0$ ein $\delta>0$ angeben, so daß für alle $(x,y)\ne (0,0)$ mit $\|(x,y)\| < \delta$ auch $|f(x,y)| < \epsilon$ ist.
Grüße,
Wolfgang
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Diese definition bringt mich leider nicht weiter, denn so finde ich sie reihenweise in anderer literatur. ich weiß jedoch nicht wie ich damit umgehen soll... ein konkretes bsp. ( vllt. zur obigen funktion ) wäre da sehr hilfreich...
danke im voraus
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Hiho,
ein "Allheilmittel" gibt es leider nicht bei solchen Funktionen, die Definition die Helbig dir gab ist allerdings auch recht technisch.
Erstmal sollte man sich klar machen, ob man das Gefühl hat, der Grenzwert existiert, oder eben nicht.
Je nachdem, wie man sich entscheidet, ist dann halt das Vorgehen sehr unterschiedlich.
1.) Man hat das Gefühl, der Grenzwert existiert nicht, dann zeige man das für eine Folge [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)$ [/mm] oder man finde zwei Folgen [mm] $(x_n^1,y_n^1) \to (x_0,y_0), (x_n^2,y_n^2) \to (x_0,y_0)$ [/mm] so dass die Funktionenfolgen gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren
2.) Man hat das Gefühl der Grenzwert existiert, dann muss man für alle Folgen [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)$ [/mm] zeigen, dass der Grenzwert [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] existiert und gleich ist.
Zweiteres scheint natürlich wesentlich umständlicher zu sein, ist aber oft auch durch geschicktes Abschätzen oder Umformen möglich.
Eine mögliche Umformung, die sich bei Funktionen wo Quadrate addiert werden, förmlich anbietet, ist die in Polarkoordinaten.
Mach das hier einfach mal und du wirst recht schnell was erkennen 
Dann nur noch einmal abschätzen und alles ist gut.
MFG,
Gono.
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Vielen Dank, für die schnelle kurze Info. Hilft mir gleich ein wenig weiter, ich werds mal mit den polarkoordinaten probieren :)
Nochmal ne frage zu meinem vorgehen.
Ich habe das jetzt in diesem Fall mit l'hospital überprüft, wäre es grundsätzlich auch eine möglichkeit ? (in der müsterlösung wird jedenfalls der gleiche grenzwert ( 0 ) angegeben) oder war es nur zufall, dass ich den selben grenzwert rausbekam ?
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Hiho,
> Nochmal ne frage zu meinem vorgehen.
> Ich habe das jetzt in diesem Fall mit l'hospital
> überprüft, wäre es grundsätzlich auch eine möglichkeit
> ? (in der müsterlösung wird jedenfalls der gleiche
> grenzwert ( 0 ) angegeben) oder war es nur zufall, dass ich
> den selben grenzwert rausbekam ?
Nein, es war kein Zufall. Dein Problem ist nur, dass du eben nicht für alle Folgen gezeigt hast, dass der Grenzwert Null ist, sondern nur für bestimmte (nämlich diejenigen, die in einer Komponente konstant 0 sind).
Natürlich ist der Grenzwert, sofern er existiert, für alle Folgen gleich!
Sich allerdings nur die "schönen" herauszupicken und es für diese zu zeigen, reicht eben nicht aus.
Aber nur so nebenbei: Auch in deinem Beispiel wäre L'Hospital gar nicht notwendigt, kürzen wäre viel sinniger gewesen.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 24.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Diese definition bringt mich leider nicht weiter, denn so
> finde ich sie reihenweise in anderer literatur. ich weiß
> jedoch nicht wie ich damit umgehen soll... ein konkretes
> bsp. ( vllt. zur obigen funktion ) wäre da sehr
> hilfreich...
>
> danke im voraus
Das war doch schon die Definition der Konvergenz auf Dein Beispiel angewendet!
Aber hier die vollständige Lösung:
$|f(x,y)| = [mm] \frac {\|(x,y)\|^3} {x^2 + \|(x,y)\|} \le \frac {\|(x,y)\|^3} {\|(x,y)\|} [/mm] = [mm] \|(x,y)\|^2 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] falls [mm] $\|(x,y)\| [/mm] < [mm] \sqrt \epsilon$. [/mm] Setze [mm] $\delta [/mm] = [mm] \sqrt \epsilon$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 So 24.06.2012 | | Autor: | VanDamme90 |
Jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank ! :)
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