Grenzwerte Folgen berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Hannes77 |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie Konvergenz, Divergenz bzw den Grenzwert der Folge:
a = [mm] \wurzel{n^{4}+n^{3}} [/mm] - [mm] n^{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | a= arccos [mm] ((1-\bruch{1}{n^{2}})^{n}) [/mm] |
| Aufgabe 3 | | a= [mm] \bruch{n^{ln(n)}}{n^{10}} [/mm] |
So, zu den 3 gestellten Aufgaben habe ich 3 Fragen, ob ich den Stoff wohl auch verstanden habe, bzw wie man die Lösung der Aufgabe angeht.
Dankeschön schonmal im voraus. :)
1)
Durch Ergänzung zur 3. binomischen Formel komme ich durch umformen dann auf
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}
[/mm]
Und das sollte bei n -> unendlich dann gegen + unendlich gehen!
Also divergent
2)
Hier habe ich überlegt:
[mm] (1-\bruch{1}{n^{2}}) [/mm] < 1
und der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} k^{n} [/mm] für alle k < 1 ist 0
Also geht der Term
[mm] ((1-\bruch{1}{n^{2}})^{n})
[/mm]
gegen 0, und der arc cos von 0 ist 1/2 Pi ...
Kann man das so sagen? Bzw zählt das als mathematischer Beweis.
Ich bin mir nicht ganz sicher...
3)
Hier habe ich keinen Ansatz gefunden.
Durch ausprobieren kommt man darauf, dass die Folge divergieren müsste.
Denke ich....
Danke schonmal für alle hilfreichen Antworten. :)
mfg, Hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie Konvergenz, Divergenz bzw den Grenzwert der
> Folge:
>
> a = [mm]\wurzel{n^{4}+n^{3}}[/mm] - [mm]n^{2}[/mm]
> a= arccos [mm]((1-\bruch{1}{n^{2}})^{n})[/mm]
> a= [mm]\bruch{n^{ln(n)}}{n^{10}}[/mm]
> So, zu den 3 gestellten Aufgaben habe ich 3 Fragen, ob ich
> den Stoff wohl auch verstanden habe, bzw wie man die
> Lösung der Aufgabe angeht.
> Dankeschön schonmal im voraus. :)
>
>
>
>
> 1)
>
> Durch Ergänzung zur 3. binomischen Formel komme ich durch
> umformen dann auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1}[/mm]
da hast du nen Fehler gemacht. mit ergänzen meinst du wohl erweitern mit
[mm] $\wurzel{n^{4}+n^{3}}$ [/mm] + [mm] $n^{2}$
[/mm]
Dann hast du dich verrechnet.Weder die vorzeichen noch die Exponenten stimmen
>
> Und das sollte bei n -> unendlich dann gegen + unendlich
> gehen!
>
> Also divergent
>
>
>
>
> 2)
> Hier habe ich überlegt:
>
> [mm](1-\bruch{1}{n^{2}})[/mm] < 1
>
> und der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} k^{n}[/mm] für alle k < 1
> ist 0
>
> Also geht der Term
> [mm]((1-\bruch{1}{n^{2}})^{n})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gegen 0, und der arc cos von 0 ist 1/2 Pi ...
so geht es nicht! da dein k ja auch gegen 1 konvergiert+ du weisst doch
(1-1/n^2)^n=(1+1/n^n)*(1-1/n)^n und die 2 GW kennst du?
> Kann man das so sagen? Bzw zählt das als mathematischer
> Beweis.
> Ich bin mir nicht ganz sicher...
Nein, es ist ja auch falsch.
>
>
>
>
> 3)
> Hier habe ich keinen Ansatz gefunden.
> Durch ausprobieren kommt man darauf, dass die Folge
> divergieren müsste.
> Denke ich....
da ln(n) vorkommt und es ja nur auf große n ankommt nimm n zBsp n>e^[11}
was folgt dann für deinen Ausdruck?
Wenn man divergenz zeigen will, sucht man oft ein n so groß dass es ab da klar ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Hannes77 |
Sooo...
Ganz herzlichen Dank erstmal für die Antworten, hat mir schon sehr geholfen.. :)
2 Fragen habe ich aber noch:
zu Aufgabe 1:
Ich komme auf den Grenzwert 1/2 jetzt... Habe alles nochmal nachgerechnet, wenn ich ich es denn so rechnen darf:
[mm] \bruch{\wurzel{n^{4}+n^{3}}}{n^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{n^{4}*(1+ \bruch{1}{n})}} {n^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch {n^{2}*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}{n^{2}}
[/mm]
Dann noch kürzen, und dann sollte am Ende der Term insgesamt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
da stehen..
Und der geht doch gegen 1/2...
?
Zu Aufgabe 2:
Habe ich verstanden, denke ich...
< [mm] (1-1/n^2)^n=(1+1/n)^n*(1-1/n)^n [/mm] und die 2 GW kennst du?
<
<
[mm] (1+1/n)^n [/mm] -> geht gegen e
[mm] (1-1/n)^n [/mm] -> geht gegen 0
also geht die Folge gegen 0...
Zu Aufgabe 3, müsste klar sein, und habe ich verstanden...
Dankeschön :)
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Hallo Hannes77,
> Sooo...
>
> Ganz herzlichen Dank erstmal für die Antworten, hat mir
> schon sehr geholfen.. :)
>
> 2 Fragen habe ich aber noch:
>
>
>
> zu Aufgabe 1:
>
> Ich komme auf den Grenzwert 1/2 jetzt...
Ich nicht
> Habe alles nochmal
> nachgerechnet, wenn ich ich es denn so rechnen darf:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n^{4}+n^{3}}}{n^{2}}[/mm]
Wie kommt das zustande?
Es ist [mm]a_n=\sqrt{n^4+n^3}-n^2=\frac{\overbrace{(\sqrt{n^4+n^3}-n^2)(\sqrt{n^4+n^3}+n^2)}^{\text{3.binom. Formel}}}{\sqrt{n^4+n^3}+n^2}=\frac{n^4+n^3-n^4}{\sqrt{n^4+n^3}+n^3}=\frac{n^3}{\sqrt{n^4+n^3}+n^2}[/mm]
Nun klammere unter der Wurzel [mm]n^4[/mm] aus, ziehe es raus als [mm]n^2[/mm] und klammere dann [mm]n^2[/mm] aus.
Dann siehst du, dass [mm]a_n\rightarrow \infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{n^{4}*(1+ \bruch{1}{n})}} {n^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch {n^{2}*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}{n^{2}}[/mm]
>
>
>
> Dann noch kürzen, und dann sollte am Ende der Term
> insgesamt:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
>
> da stehen..
> Und der geht doch gegen 1/2...
Ich denke nicht!
> ?
>
>
>
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> Habe ich verstanden, denke ich...
>
> < [mm](1-1/n^2)^n=(1+1/n)^n*(1-1/n)^n[/mm] und die 2 GW kennst du?
> <
> <
>
> [mm](1+1/n)^n[/mm] -> geht gegen e ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm](1-1/n)^n[/mm] -> geht gegen 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{-1}{n}\right)^n[/mm]
Wogegen strebt denn [mm]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/mm] für jedes reelle (oder komplexe) [mm]x[/mm] ?
>
> also geht die Folge gegen 0...
Nee
>
>
>
>
>
> Zu Aufgabe 3, müsste klar sein, und habe ich
> verstanden...
Gut, gut!
>
> Dankeschön :)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Hannes77 |
Ah okay, jetzt ist es mir auch klar bei der Aufgabe 1...
Dankeschön...
Grenzwert muss wie du sagst, unendlich sein, für n -> unendlich---
Dankeschööön :)
Nur hier stehe ich ein bisschen am Schlauch:
Wogegen strebt denn $ [mm] \left(1+\frac{x}{n}\right)^n [/mm] $ für jedes reelle (oder komplexe) x ?
Ich weiß gerade leider gar nichts damit anzufangen...
[mm] (1+1/n)^n [/mm] strebt gegen e...
aber [mm] (1+x/n)^n [/mm] ... ? :(
Dankeschön für die Antworten :)
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> Ah okay, jetzt ist es mir auch klar bei der Aufgabe 1...
> Dankeschön...
> Grenzwert muss wie du sagst, unendlich sein, für n ->
> unendlich---
> Dankeschööön :)
>
>
>
>
> Nur hier stehe ich ein bisschen am Schlauch:
>
> Wogegen strebt denn [mm]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n[/mm] für jedes
> reelle (oder komplexe) x ?
>
> Ich weiß gerade leider gar nichts damit anzufangen...
> [mm](1+1/n)^n[/mm] strebt gegen e...
> aber [mm](1+x/n)^n[/mm] ... ? :(
>
naja, du kannst ja so anfangen:
[mm] a^b=(e^{ln(a)})^b=e^{ln(a)*b}
[/mm]
den limes darf man dabei aufgrund der stetigkeit der e-funktion mit in den exponenten nehmen:
[mm] \lim a^b=e^{\lim ln(a)*b}
[/mm]
jetz normal die grenzwertsätze anwenden
> Dankeschön für die Antworten
:)
>
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] (1+x/n)^n [/mm] strebt gegen [mm] e^x [/mm] und damit [mm] (1-1/n)^n [/mm] gegen [mm] e^{-1}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 22.08.2011 | | Autor: | Hannes77 |
Ah, danke für eure Hilfe... :)
Nachdem ich jetzt auch alles nochmal durchgegangen bin, sollte es klar sein :)
Dankeschön :)
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