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| Aufgabe | Berechne den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\o} (a^{x}+b^{x})^{\bruch{1}{x}} [/mm] |
Sorry Loddar,
jetzt wär ich für Tipps dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 07.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Achilles!
Welcher Grenzwert soll hier berechnet werden? Wirklich für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ , und nicht für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] ?
Im 2. Falle würde ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A.) annehmen, dass $b \ > \ a$ und den Term [mm] $b^x$ [/mm] ausklammern sowie aus der Wurzel ziehen.
Gruß
Loddar
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also es steht da [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}. [/mm] Geht das denn?
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Klar geht das, aber es ist nicht so wahnsinnig spannend - weder die Analyse noch das Ergebnis:
Zunächst müssen a, b [mm] \ge [/mm] 0 sein, damit dieser Ausdruck überhaupt sinnvoll zu analysieren ist.
Dann kannst du eine Fallunterscheidung machen:
1. a=0 und b=0: einfach
2. Einer der beiden =0 (welcher ist ja egal): einfach
3. Beide sind >0: Ich mache es nicht formal: Wenn du eine Zahl nimmst und mit einem Exponenten potenzierst, der betragsmäßig immer kleiner wird und schließlich 0 wird - was kommt dabei raus? Etwas, was in der Nähe von 1 liegt. Die Summe der beiden [mm] a^x +b^x [/mm] ist somit größer als 1 (ab einem bestimmten x, das von a und b abhängt) und wenn du das mit einer "unendlich großen" Zahl [mm] \bruch{1}{x} [/mm] potenzierst (was zwar von der Notation her eine Wurzel ist, aber durch x [mm] \rightarrow [/mm] 0 stehen ja dann doch sehr große Exponenten da), dann gibt es da keinen Grenzwert.
Deswegen macht es auch mehr Sinn, den Grenzwert für x [mm] \rightarrow \infty [/mm] zu untersuchen. Da gibt es nämlich das Spannungsverhältnis, dass einerseits das [mm] a^x [/mm] und [mm] b^x [/mm] immer größer wird (für entsprechende a, b) und andererseits die immer heftiger zu Buche schlagende Wurzel [mm] (...)^{\bruch{1}{x}} [/mm] eigentlich alles in die Nähe der 1 bringen müsste. Da kannst du das dann nicht mehr so einfach argumentieren wie beim Grenzwert gegen 0, sondern z.B. den Tipp befolgen. Vielleicht hast du (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] schon einmal untersucht und kannst daher Methoden nutzen.
Wenn du erstmal ein Gefühl dafür bekommen willst, was bei sowas passiert, kannst du das z.B. mit einer Tabellenkalkulation machen: a, b in zwei Spalten (verschiedene Kombinationen), den Term in eine dritte und vierte Spalte (einmal für x [mm] \rightarrow [/mm] 0, einmal für x [mm] \rightarrow \infty), [/mm] irgendwo noch ein sehr großes x und ein x nahe bei 0 hingeschrieben und dann einfach mal testen, was denn so passiert. Wenn man das mal gesehen hat, dann glaubt man das eher  . [Anmerkung: ich habe das gerade mal gemacht, für Excel ist ein "sehr großes" x schon bei ca. 200, weil die Zahlen sonst zu groß werden, und das kleine muss auch nicht kleiner als 0,001 sein.]
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