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Hallo,
ich habe nun viele Beispiele gesehen, bei denen man nachweisen konnte, dass der Grenzwert im metrischen Raum für eine Funktion f(x,y) nicht existiert.
Dabei zeigt man immer, dass die Annäherung über einen 'Weg' nicht mit den anderen Grenzwerten übereinstimmt.
Wie aber zeige ich, dass eben ein bestimmer Grenzwert existiert, wenn mir dieser gegeben ist?
Es würde doch sicherlich nicht genügen, wenn ich beispielsweise nur die Annäherungen auf den Geraden y=0, x=0 und y=x betrachten würde, oder?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe nun viele Beispiele gesehen, bei denen man
> nachweisen konnte, dass der Grenzwert im metrischen Raum
> für eine Funktion f(x,y) nicht existiert.
> Dabei zeigt man immer, dass die Annäherung über einen
> 'Weg' nicht mit den anderen Grenzwerten übereinstimmt.
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> Wie aber zeige ich, dass eben ein bestimmer Grenzwert
> existiert, wenn mir dieser gegeben ist?
> Es würde doch sicherlich nicht genügen, wenn ich
> beispielsweise nur die Annäherungen auf den Geraden y=0,
> x=0 und y=x betrachten würde, oder?
>
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
nein, grob kannst Du Dir das so vorstellen:
Sei $f [mm] \colon \IR^2 \to \IR\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig in [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2\,,$ [/mm] wenn auf allen
'Wegen [mm] $\gamma$', [/mm] die zu [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] "führen", (bzw. die dort 'enden'), gilt, dass, wenn man mit
$(x,y) [mm] \in \gamma$ [/mm] - also entlang [mm] $\gamma$ [/mm] - gegen [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] strebt, dann $f(x,y)$ auch gegen [mm] $f(x_0,y_0)$ [/mm] strebt.
Schöner, und allgemeiner, formuliert steckt das eigentlich in
![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7
(Äquivalenz (a) [mm] $\gdw$ [/mm] (b)).
So ein Beweis - mit Deiner obigen Ansicht - könnte dann so ablaufen:
Zunächst ist [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] fest. Sei nun [mm] $\gamma$ [/mm] IRGENDEIN solcher Weg, wie oben beschrieben. (Du kannst den
nicht näher spezifizieren, er hat halt nur die Eigenschaft, in [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] "zu enden"). Dann gilt für alle $(x,y) [mm] \in \gamma$:
[/mm]
...
Das Problem an der Sache ist eigentlich schon: Wie kann man einen solchen Weg eigentlich mathematisch
beschreiben? Dazu müsstest Du etwa in Definition 26.8
reingucken, und schauen, ob Du unter Weg wirklich das verstehst, was da steht, oder ob der dortige Begriff der Kurve
vielleicht passender wäre. Je nach Literatur werden die etwas anders "gehändelt"!
"Anschaulich" ist das eigentlich klar, was wir darunter verstehen...
Der Punkt oben ist halt: "...alle Wege..."
Gruß,
Marcel
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