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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 09.11.2006
Autor: aleskos

Aufgabe
Geg: [mm] \bruch{2+x}{x²-4} [/mm]        

      [mm] \varepsilon=0.01 [/mm]

Berechnen Sie, für welche Werte r bzw. r* der Graf nur noch -Längeneinheiten von der horizontalen Asymptote entfernt ist.

Hallo erstmal,

komme da irgendwie nicht weiter.
bekannt ist:

st.hebbare Def.lücke x=-2
senkr. Asymptote x=2

[mm] 0.01=\vmat{ \bruch{2+x}{x²-4}-2 } [/mm]

so und hier komme ich nicht weiter :(
bitte um kurze Hilfe.

Gruß
Axel



        
Bezug
Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Do 09.11.2006
Autor: Teufel

Hallo!

Du hast jetzt die sebkrechte Asymptote eingesetzt! Aber du brauchst ja die waagerechte. Und die Wagerechte Asymptote ist y=0. Dann sollte das einfacher sein :)

Aber wenn deine waagerechte Asymptote 2 wäre, müsstest du den Bruch [mm] \bruch{2}{1} [/mm] mit (x²-4) erweitern und dann könntest du im Zähler zusammenfassen, da die Nenner gleichnamig wären. Aber das ist ja hier nicht der Fall! Das war nur als kleine Zusatzinfo.

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Do 09.11.2006
Autor: aleskos

aha.. gut, die waagerechte Asymptote!

d.h. dann

[mm] \pm\varepsilon=\bruch{1}{x-2}-0 [/mm]

[mm] \varepsilon\pm\vmat{ \bruch{1}{x-2} } [/mm]

[mm] \vmat{ \bruch{1}{x-2} } [/mm]
so, jetzt muss ich es doch vergleichen mit [mm] <\varepsilon [/mm] und [mm] >\varepsilon [/mm]

doch wie gehe ich jetzt weiter vor? Habe ehrlich gesagt, noch ziemlich wenig Ahnung von den Grenzwerten.

Danke im Voraus

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte berechnen: nach x auflösen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Fr 10.11.2006
Autor: informix

Hallo aleskos,

> aha.. gut, die waagerechte Asymptote!
>  
> d.h. dann
>
> [mm]\pm\varepsilon=\bruch{1}{x-2}-0[/mm]

[notok]
naja: besser: [mm] $\varepsilon\ge\left|\bruch{1}{x-2}-0\right|$ [/mm]
und jetzt machst du eine Fallunterscheidung für x>-2 und x<-2.

Dann löst du die Gleichung nach x (in Abhängigkeit von [mm] \epsilon) [/mm] auf
und kannst du berechnen, von welchem x an der Abstand zur y-Achse kleiner ist als [mm] \epsilon. [/mm]

>  
> [mm]\varepsilon\pm\vmat{ \bruch{1}{x-2} }[/mm]
>  
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{x-2} }[/mm]
> so, jetzt muss ich es doch vergleichen mit [mm]<\varepsilon[/mm] und
> [mm]>\varepsilon[/mm]
>  
> doch wie gehe ich jetzt weiter vor? Habe ehrlich gesagt,
> noch ziemlich wenig Ahnung von den Grenzwerten.


Alles klar?

Gruß informix

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Fr 10.11.2006
Autor: aleskos

kann mir jmd. einmal zeigen, wie richtig die Falluntrescheidung in diesem Fall durchgeführt wird?

gibt es dann drei Fälle, nämlich für [mm] x=\varepsilon, [/mm] größer und kleiner?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Fr 10.11.2006
Autor: Sigrid

Hallo Aleskos,

> kann mir jmd. einmal zeigen, wie richtig die
> Falluntrescheidung in diesem Fall durchgeführt wird?

Du suchst die x-Werte, für die gilt

$ [mm] \varepsilon\ge\left|\bruch{1}{x-2}-0\right| [/mm] $

Wenn du jetzt die Betragstriche weglassen willst, musst du eine Fallunterscheidung machen, einmal $ [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] > 0 $  und einmal    $ [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] < 0 $

Es gilt   $ [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 2 $   und   $ [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] < 0 [mm] \gdw [/mm] x <2 $

1. Fall x> 2

$ [mm] \varepsilon\ge\left|\bruch{1}{x-2}-0\right| [/mm] $

$ [mm] \gdw \varepsilon \ge\bruch{1}{x-2} [/mm] $

$ [mm] \gdw \varepsilon\ [/mm] (x-2)  [mm] \ge [/mm] 1 $

$ [mm] \gdw [/mm] x - 2 [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] $

$ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] + 2 $

Ist dir klar, wie das Ergebnis zu interpretieren ist?


2. Fall x< 2:

$ [mm] \varepsilon\ge\left|\bruch{1}{x-2}-0\right| [/mm] $

$ [mm] \gdw \varepsilon\ge\bruch{1}{2-x} [/mm] $

Diese Ungleichung löst du jetzt ebenfalls nach x.

>  
> gibt es dann drei Fälle, nämlich für [mm]x=\varepsilon,[/mm] größer
> und kleiner?

Hier verstehe ich nicht, was du meinst.

Gruß
Sigrid

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:26 Sa 11.11.2006
Autor: aleskos

Vielen herzlichen Dank, Sigrid!
Ist mir eine Große Hilfe.

ps: ich dachte erst, ich müsse es mit dem [mm] \varepsilon [/mm] vergleichen.

Gruß
Axel

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