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| Aufgabe | Bestimme die Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\(0)}\bruch{cosh(x)-1}{cos(x)-1}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\(1)}\bruch{ln(x)}{1-x} [/mm] |
so der liebe grenzwert wieder,
bei der a hab ich zuerst dran gedacht das cosh(x) als [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] zu schreiben,
jedoch würde ich dann beim einsetzen von ->0 auf einen Grenzwert von 0 kommen, laut lösung muss jedoch -1 rauskommen
das selbe bei b, hier weiß ich jedoch garnicht wie ich das zerlegen sollte, der ln(1) = 0 und wieder würde 0 rauskommen, obwohl in der lösung auch -1 steht
naja vll kan mir jemand helfen
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Beide Grenzwerte schreien ja förmlich nach  de l'Hospital ...
Gruß
Loddar
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grml..... warum kommt dann nur erst in der aufm blatt folgenden aufgabe in der überschrift l'hospital dran :S
also bei a hätte ich dann
[mm] \limes_{x\rightarrow\(0)}\bruch{cosh(x)-1}{cos(x)-1} [/mm] = [mm] \bruch{sinh(x)}{-sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{cosh(x)}{-cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] = -1
und bei b)
[mm] \limes_{x\rightarrow\(1)}\bruch{lnx}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-1} [/mm] = -1
jetzt hab ich noch die c) versucht, die [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{ln\wurzel{x}}{\wurzel{lnx}} [/mm] lautet
da habe ich zuerst [mm] \bruch{\bruch{1}{\wurzel{x}} * \bruch{1}{2\wurzel{x}}}{\wurzel{\bruch{1}{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2x}}{{\wurzel{{\bruch{1}{x}}}}}
[/mm]
jedoch glaube ich, da nen fehler eingebaut zu haben
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Hallo jk,
> grml..... warum kommt dann nur erst in der aufm blatt
> folgenden aufgabe in der überschrift l'hospital dran :S
>
> also bei a) hätte ich dann
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cosh(x)-1}{cos(x)-1}[/mm] = [mm]\bruch{sinh(x)}{-sin(x)}[/mm] = [mm]\bruch{cosh(x)}{-cos(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-1}[/mm] = -1
>
> und bei b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{lnx}{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{-1}[/mm] = -1
Wenn du noch vor die "abgeleiteten Ausdrücke" jeweils [mm] $\lim\limits_{x\to 0}$ [/mm] bei a) bzw. [mm] $\lim\limits_{x\to 1}$ [/mm] bei b) davorschreibst, bin ich einverstanden
>
>
> jetzt hab ich noch die c) versucht, die
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=\bruch{ln\wurzel{x}}{\wurzel{lnx}}[/mm]
> lautet
>
> da habe ich zuerst [mm]\bruch{\bruch{1}{\wurzel{x}} * \bruch{1}{2\wurzel{x}}}{\wurzel{\bruch{1}{x}}}[/mm]
= [mm]\bruch{\bruch{1}{2x}}{{\wurzel{{\bruch{1}{x}}}}}[/mm]
>
> jedoch glaube ich, da nen fehler eingebaut zu haben
Allerdings, du hast den Nenner falsch abgeleitet
[mm] $n(x)=\sqrt{\ln(x)}$
[/mm]
Nach Kettenregel mit [mm] $\sqrt{blabla}$ [/mm] als äußerer Funktion und [mm] $\ln(x)$ [/mm] als innerer Funktion ist
[mm] $n'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{\frac{1}{x}}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2x\sqrt{\ln(x)}}$
[/mm]
Was ergibt sich damit also insgesamt ...?
LG
schachuzipus
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also wenn ich jetzt einsetze dann erhalte ich ja [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2x}}{2x\wurzel{lnx}}
[/mm]
sofern ich die 2x hier einfach wegkürzen darf (darf ich oder ? )
erhalte ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{lnx}}, [/mm] aber das würde doch gegen 0 laufen oder ? als lösung müsste ja unendlich rauskommen :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Du hast hier etwas geschludert beim Aufschreiben. Nach der de l'Hospital'schen Anwendung muss es heißen:
$$... \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{2x}}{\bruch{1}{2x*\wurzel{\ln(x)}}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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ah stimmt, sorry mein fehler,
wen ich das dann jetzt mim negativen kehrwert multipliziere (doppelbrüche sind nich so meins) kommt [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] * [mm] \bruch{2x\wurzel{lnx}}{1} [/mm] = lnx raus,
und der [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] lnx = [mm] \infty
[/mm]
ich hoffe doch das stimmt, für heute war das erstmal wieder genug mathe, die ferien sind ja noch bissl ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
> wen ich das dann jetzt mim negativen kehrwert multipliziere
> (doppelbrüche sind nich so meins) kommt [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] * [mm]\bruch{2x\wurzel{lnx}}{1}[/mm] = lnx raus,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es kommt [mm] $\wurzel{\ln(x)}$ [/mm] heraus.
Aber am Ergebnis ändert das nichts.
Gruß
Loddar
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ok stimmt meinte ich ja ^^
danke mal wieder, auch wenn ichs wahrscheinlich wohl nie richtig verstehe werde, hoffe ich doch das mich das wissn durch die ersten 3semester bringt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo james!
Du kannst auch mit Hilfe von Logarithmusgesetzen (und ohne de l'Hospital) vorgehen:
[mm] $$\bruch{\ln\wurzel{x}}{\wurzel{\ln(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln\left(x^{\bruch{1}{2}}\right)}{\wurzel{\ln(x)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*\ln\left(x\right)}{\left[\ln(x)\right]^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\ln(x)\right]^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{\ln(x)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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