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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{x}-2x-e^{-x}}{x-sin(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(cos(x))^{\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] |
Ich habe keine Ahnung wie ich die umstellen bzw welche Gesetze ich da anwenden muss, hat jemand eine Ahnung und könnte mir helfen?
LG
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Hallo,
probiere mal für den ersten Grenzwert einen Ansatz über Potenzreihen, damit sollte das sehr elegant gehen. Den zweiten sehe ich am einfachsten via de l'Hospital zu rechnen, wobei man den ganzen Term vorher logarithmiert und den Grenzwert zunächst für den Logarithmus berechnet (das ![[]](/images/popup.gif) Ergebnis) legt dies jedenfalls nahe). Falls dir das mit den Potenzreihen noch nicht zur Verfügung steht, dann geht der erste ebenfalls mit de l'Hospital, hier ist aber eine zweimalige Anwendung der Regel angesagt.
Gruß, Diophant
PS: Speziell bei diesen Fragen zu Grenzwertaufgaben entsteht oft große Verwirrung, weil die Helfer nicht wissen, welche Mittel überhaupt zur Verfügung stehen. Es wäre also auch im Sinne einer zielführenden Hilfe, zunächst nachzuschlagen, was alles schon verwendet werden darf. Dabei ist ja dann auch die Chance, doch eine eigene Idee zu gewinnen, sicherlich nicht zu unterschätzen!
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Ich habe das jetzt mal probiert ... für den ersten Grenzwert habe ich zweimal L´Hospital angewendet und nun:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ??
Stimmt das ??
Für den zweiten Grenzwert:
erstmal logarithmiert:
[mm] exp(\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x^{2}}*ln(cos(x))
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(cos(x))}{x^{2}}
[/mm]
dann L´Hospital:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}-\bruch{sin(x)}{2x*cos(x)}=\infty [/mm] ??
MAcht das Sinn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Kruemel,
> Ich habe das jetzt mal probiert ... für den ersten
> Grenzwert habe ich zweimal L´Hospital angewendet und nun:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm] ??
> Stimmt das ??
Nein. Benutze ein weiteres Mal L'Hôpital.
> Für den zweiten Grenzwert:
> erstmal logarithmiert:
> [mm]exp(\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{x^{2}}*ln(cos(x))[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(cos(x))}{x^{2}}[/mm]
Ich weiß zwar was du damit meinst, aber ich würde das so
nicht akzeptieren.
> dann L´Hospital:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}-\bruch{sin(x)}{2x*cos(x)}=\infty[/mm]
> ??
> MAcht das Sinn?
Liest du denn überhaupt die Antworten? Diophant hat dir be-
reits den richtigen Grenzwert dazu verraten. Wie kann das
Ende also überhaupt Sinn machen?
Anyways.. L'Hôpital!
Gruß
DieAcht
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Dann bekomme ich also bei dem ersten Grenzwert 2 als Ergebnis??
Und beim zweiten hab ich das Ergebnis natürlich gesehen, aber mit meiner Rechnung komme ich da ja irgendwie nicht drauf ... Was ist denn da falsch bzw. nicht akzeptabel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Dann bekomme ich also bei dem ersten Grenzwert 2 als
> Ergebnis??
Ja.
> Und beim zweiten hab ich das Ergebnis natürlich gesehen,
> aber mit meiner Rechnung komme ich da ja irgendwie nicht
> drauf ... Was ist denn da falsch bzw. nicht akzeptabel?
Mit erneuter Anwendung von L'Hôpital kommst du auch auf das
Ergebnis. Deine mathematische Ausdrucksweise ist nicht in
Ordnung und das führt unter Anderem dazu, dass du dein Ziel
verloren hast. Schreib noch einmal alles sauber auf und am
Besten du überlegst dir jedes Gleichheitszeichen drei Mal.
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Ich finde meinen Notationsfehler nicht ... Und wenn ich meinen vorhandenen Term noch einmal nach L´Hopital ableite bekomme ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{-cos(x)}{2*cos(x)-2x*sin(x)}=-0,5 [/mm] ...
Ich weis echt nicht was ich falsch mache :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 18.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Ich finde meinen Notationsfehler nicht ... Und wenn ich
> meinen vorhandenen Term noch einmal nach L´Hopital ableite
> bekomme ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-cos(x)}{2*cos(x)-2x*sin(x)}=-0,5[/mm]
> ...
>
> Ich weis echt nicht was ich falsch mache :/
Du hast also:
$ [mm] \lim\limits_{x\to0}(\cos(x))^{\frac{1}{x^{2}}} [/mm] $
$ [mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^{2}} [/mm] $
Das ist der Fall "0/0", also einmal l'Hospital
Damit dan
$ [mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^{2}} [/mm] $
$ [mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos(x)}\cdot(-\sin(x))}{2x} [/mm] $
$ [mm] =\lim\limits_{x\to0}\frac{-\sin(x)}{2x\cdot\cos(x)} [/mm] $
Nun hast du für [mm] x\to0 [/mm] wieder den Fall "0/0", also nocheinmal l.H.
$ [mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{-\sin(x)}{2x\cdot\cos(x)} [/mm] $
$ [mm] \lim\limits_{x\to0}\frac{-\cos(x)}{2\cdot\cos(x)-2x\cdot\sin(x)} [/mm] $
Bedenke nun, dass [mm] \cos(0)=1
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marius,
> Du hast also:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to0}(\cos(x))^{\frac{1}{x^{2}}}[/mm]
> [mm]=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^{2}}[/mm]
Dieses Gleichheitszeichen stimmt auch bei dir nicht und ist
das Verständisproblem des Fragestellers.
Liebe Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich finde meinen Notationsfehler nicht ... Und wenn ich
> meinen vorhandenen Term noch einmal nach L´Hopital ableite
> bekomme ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-cos(x)}{2*cos(x)-2x*sin(x)}=-0,5[/mm]
> ...
>
> Ich weis echt nicht was ich falsch mache :/
Genau hier kann man schön erkennen, dass du dein Ziel ver-
loren hast. Wir haben mit der Exponential- bzw. Logarithmus-
funktion eine äquivalente Umformung betrachtet. Durch die
Stetigkeit der Exponentialfunktion haben wir nur noch den
Exponenten und damit deinen obigen Ausdruck betrachtet.
Eigentlich steht dort:
[mm] e^{\lim_{x\rightarrow\infty}\ldots}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}.
[/mm]
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Aaahh, ich bin auch blöd, danke :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Aaahh, ich bin auch blöd, danke :D
Nicht blöd, aber ungeduldig. 
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