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Grenzwerte der Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 05.09.2004
Autor: irontiger

Hello Leute,

und zwar wie bestimme ich für die Folgen die Grenzwerte???

a.)  
[mm] x_n = \left( 1 + \bruch{1}{n} \right)^{100} [/mm]

b.)
[mm] x_n = \left( \bruch{9}{10} \right)^n [/mm]

Und nun die letzte Frage:

"Eine konvergente Folge kommt ihrem Grenzwert  beliebig nahe, kann ihn aber niemals erreichen." Ist die Aussage richtig? Warum u. Wieso?

Wäre um ne Antwort sehr dankbar...
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.


LG irontiger

        
Bezug
Grenzwerte der Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 05.09.2004
Autor: MatthiasK

Die erste Folge konvergiert gegen 1. Dies kann man, wie ich denke, folgendermaßen beweisen: Die "innere" Folge, [mm] 1+\bruch{1}{n}, [/mm] konvergiert gegen 1. Und die äußere Funktion, "hoch 100", ist stetig, also kann man den Grenzwert in diese Funktion "hineinziehen":

[mm] \limes_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{n})^{100}=(\limes_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{n}))^{100}=1^{100}=1 [/mm]

Für die zweite Folge gilt: Ist [mm] q\in \IC, [/mm] so gilt:

[mm] \left| q \right|<1 \rightarrow \limes_{n \to \infty}(q^n)=0 [/mm]
[mm] \left| q \right|\ge1 \rightarrow \limes_{n \to \infty}(q^n) [/mm] existiert nicht

Dass eine konvergente Folge ihrem Grenzwert beliebig nahe kommt, stimmt, aber sie darf ihn auch (beliebig oft) annehmen (muss aber nicht). Die Definition verlangt nur, dass sie "beliebig nahe am Grenzwert bleibt".

Hoffe das hat geholfen.
mfG,
Matthias


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte der Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 So 05.09.2004
Autor: irontiger

hallo matthias,

danke für deine schnelle antwort, hast mir wirklich weitergeholfen...
auf die erste folge hätte ich eigentlich auch alleine drauf kommen können und die zweite lösung muss ich mir noch genauer studieren...

dankeschön

lg georg



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