www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwerte direkt ablesen
Grenzwerte direkt ablesen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwerte direkt ablesen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Sa 14.02.2015
Autor: Argot

Aufgabe
Gilt [mm] n^{1/n} [/mm] = [mm] O(\frac{ln(n)}{n}) [/mm] ?

Ich habe diese Aufgabe mit Hilfe von Lemma 1.4 aus dem Buch "Entwurf und Analyse von Algorithmen" wie folgt umgestellt:

lim n → [mm] \infty \frac{n^{1/n}}{\frac{ln(n)}{n}}. [/mm] Ich weiß, dass lim [mm] n^{1/n} [/mm] = 1 und lim [mm] \frac{ln(n)}{n} [/mm] = 0 ist. Ein Freund von mir meint, dass das ausreichend wäre um zu zeigen, dass die Behauptung der Aufgabe nicht korrekt ist, da kein Grenzwert existiert.

Wenn ich die Formel allerdings umstelle, erhalte ich lim n → [mm] \infty \frac{n^{1/n} n}{log(n)} [/mm] und kann als "Grenzwert" [mm] \infty [/mm] mit Hilfe von der Regel von L'Hospital berechnen. Damit kann ich auch zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.

Genügt der Vorschlag von meinem Freund oder kann nur das vollständige ausrechnen zeigen, dass die Behauptung falsch ist?

        
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Sa 14.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo Argot!


> Gilt [mm]n^{1/n}[/mm] = [mm]O(\frac{ln(n)}{n})[/mm] ?
>  Ich habe diese Aufgabe mit Hilfe von Lemma 1.4 aus dem
> Buch "Entwurf und Analyse von Algorithmen" wie folgt
> umgestellt:
>  
> lim n → [mm]\infty \frac{n^{1/n}}{\frac{ln(n)}{n}}.[/mm] Ich
> weiß, dass lim [mm]n^{1/n}[/mm] = 1 und lim [mm]\frac{ln(n)}{n}[/mm] = 0
> ist. Ein Freund von mir meint, dass das ausreichend wäre
> um zu zeigen, dass die Behauptung der Aufgabe nicht korrekt
> ist, da kein Grenzwert existiert.

Bei dieser Argumentation werden die Grenzwertsätze angewendet,
allerdings sind hier nicht alle Voraussetzungen dafür gegeben!

Wegen [mm] $\ln(n)/n\to [/mm] 0$ für [mm] n\to\infty [/mm] ist nämlich der Grenzwert des Nenners
Null, so dass gilt:

      [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\frac{\ln(n)}{n}}\not=\frac{\lim_{n\to\infty}n^{1/n}}{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}}. [/mm]
  

> Wenn ich die Formel allerdings umstelle, erhalte ich lim n
> → [mm]\infty \frac{n^{1/n} n}{log(n)}[/mm] und kann als
> "Grenzwert" [mm]\infty[/mm] mit Hilfe von der Regel von L'Hospital
> berechnen. Damit kann ich auch zeigen, dass der Grenzwert
> nicht existiert.

Mit L'Hôpital schießt du aber mit Kanonen auf Spatzen! Überlege
dir noch einmal ganz in Ruhe ein Argument für

      [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\frac{\ln(n)}{n}}=\infty. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 15.02.2015
Autor: Argot

Vielen Dank für die Antwort. Ich sehe leider nicht, auf was Du mich hinweisen möchtest, daher zeige ich meine Umwandlungen, die ich vor L'H verwendet habe. Vielleicht ist ja dort schon der Trick zu finden, welchen ich übersehe.

$ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\frac{\ln(n)}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n} \cdot n}{\ln(n)} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n+1}}{\ln(n)}$ [/mm]

Genügt möglicherweise [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n} \cdot n}{\ln(n)} [/mm] $ aus um [mm] $\infty$, [/mm] also keinen Grenzwert, zu folgern, da $n >> ln(n)$ (für positive $n$, d.h. mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] erfüllt)?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 So 15.02.2015
Autor: reverend

Hallo Argot,

> Vielen Dank für die Antwort. Ich sehe leider nicht, auf
> was Du mich hinweisen möchtest, daher zeige ich meine
> Umwandlungen, die ich vor L'H verwendet habe. Vielleicht
> ist ja dort schon der Trick zu finden, welchen ich
> übersehe.
>  
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n}}{\frac{\ln(n)}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n} \cdot n}{\ln(n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n+1}}{\ln(n)}[/mm]
>  
> Genügt möglicherweise [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/n} \cdot n}{\ln(n)}[/mm]
> aus um [mm]\infty[/mm], also keinen Grenzwert, zu folgern, da [mm]n >> ln(n)[/mm]
> (für positive [mm]n[/mm], d.h. mit [mm]n\to\infty[/mm] erfüllt)?

Naja, immerhin ist [mm] n^{1/n}>1, [/mm] also auch [mm] \br{n*n^{1/n}}{\ln{n}}>\br{n}{\ln{n}}. [/mm]

Hilft das schon weiter?

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Di 17.02.2015
Autor: Argot


> Naja, immerhin ist [mm]n^{1/n}>1,[/mm] also auch
> [mm]\br{n*n^{1/n}}{\ln{n}}>\br{n}{\ln{n}}.[/mm]
>  
> Hilft das schon weiter?
>  
> Grüße
>  reverend

Auf [mm] $\frac{n}{ln(n)}$ [/mm] würde ich sofort L'H werfen und [mm] $n^2$ [/mm] erhalten, was durch einen Limes gegen [mm] $\infty$ [/mm] wie erwartet gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert. Damit habe ich allerdings dann doch den L'H verwendet. Mir ist noch nicht aufgefallen wie ich das umgehen kann. Die Abschätzung macht aber die Ableitungen wesentlich einfacher.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Di 17.02.2015
Autor: rmix22


> > Naja, immerhin ist [mm]n^{1/n}>1,[/mm] also auch
> > [mm]\br{n*n^{1/n}}{\ln{n}}>\br{n}{\ln{n}}.[/mm]
>  >  
> > Hilft das schon weiter?
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>
> Auf [mm]\frac{n}{ln(n)}[/mm] würde ich sofort L'H werfen und [mm]n^2[/mm]
> erhalten, was durch einen Limes gegen [mm]\infty[/mm] wie erwartet
> gegen [mm]\infty[/mm] divergiert. Damit habe ich allerdings dann
> doch den L'H verwendet.

Hast du nicht selbst in deiner ersten Frage geschrieben, dass du weißt, daß [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{ln(n)}{n}=0$ [/mm] gilt?
Damit wird der Grenzwert des Kehrwerts dann ja auch kein Mirakel mehr sein, oder?

Gruß Rmix


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:32 Do 19.02.2015
Autor: Argot

Das stimmt natürlich. Danke für die vielen Beiträge.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:11 Mi 18.02.2015
Autor: DieAcht


> Auf [mm]\frac{n}{ln(n)}[/mm] würde ich sofort L'H werfen und [mm]n^2[/mm] erhalten

Falsch. Richtig: [mm] $n\$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte direkt ablesen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 So 15.02.2015
Autor: fred97


> Gilt [mm]n^{1/n}[/mm] = [mm]O(\frac{ln(n)}{n})[/mm] ?
>  Ich habe diese Aufgabe mit Hilfe von Lemma 1.4 aus dem
> Buch "Entwurf und Analyse von Algorithmen" wie folgt
> umgestellt:
>  
> lim n → [mm]\infty \frac{n^{1/n}}{\frac{ln(n)}{n}}.[/mm] Ich
> weiß, dass lim [mm]n^{1/n}[/mm] = 1 und lim [mm]\frac{ln(n)}{n}[/mm] = 0
> ist. Ein Freund von mir meint, dass das ausreichend wäre
> um zu zeigen, dass die Behauptung der Aufgabe nicht korrekt
> ist, da kein Grenzwert existiert.


???? Es geht doch nicht um die Frage, ob ein Grenzwert existiert, sondern um die Frage, ob de Folge


( [mm] \frac{n^{1/n}}{\frac{ln(n)}{n}}) [/mm]


beschränkt ist oder nicht .

FRED

>  
> Wenn ich die Formel allerdings umstelle, erhalte ich lim n
> → [mm]\infty \frac{n^{1/n} n}{log(n)}[/mm] und kann als
> "Grenzwert" [mm]\infty[/mm] mit Hilfe von der Regel von L'Hospital
> berechnen. Damit kann ich auch zeigen, dass der Grenzwert
> nicht existiert.
>  
> Genügt der Vorschlag von meinem Freund oder kann nur das
> vollständige ausrechnen zeigen, dass die Behauptung falsch
> ist?


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de