Grenzwerte von Folgen/Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, nur mit Hilfe der Definition des Grenzwertes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{8n^2 + 5n}{2n^2 - 1}\ [/mm] = 4
Welche Folgen sind konvergent, welche divergent ?
Berechne limes von [mm] a_{n}, [/mm] wenn ein eigentlicher oder uneigentlicher) Grenzwert existiert:
a) [mm] a_{n}=\bruch {24n^3 - 17n^2 + n + 99}{8n^3 - 23}
[/mm]
b) [mm] a_{n}=\bruch {2n^3 - 5}{\wurzel{n} \* (n^2 + 6)}
[/mm]
c) [mm] a_n=\bruch{1}{n^2}+\bruch{2}{n^2}+...+\bruch {n-1}{n^2}
[/mm]
d) [mm] a_n=\bruch{19 \* 4^n + 7\* 5^{n+1}}{5^n - 2 \* 4^n}
[/mm]
e) [mm] a_n=\wurzel[n]{5n^8 + c} [/mm] für (c > 0)
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Hi, ich bin zwar im ersten Semester Uni, aber ich glaube das gehört eher hierher...
ich habe gleich zwei Aufgaben gleichzeitig gestellt, denn die gehören thematisch ja zusammen.
Könnte mir jemand sagen, woran man bei Folgen Konvergenz/Divergenz erkennt und wie man den Grenzwert errechnet ? Und was ist der Unterschied zwischen eigentlichem und uneigentlichem Grenzwert ?
PS: Mit der Eingabe von d) habe ich ziemliche Probleme Der Term nach 5 hoch n+1 (also der Term 5 hoch n - 2 mal 4 hoch n) ist der Nenner; es handelt sich also um einen bruch. das kriege ich aber leider nicht hin... Sorry!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi bluescience,
Ihr hattet doch bestimmt die Definition in der Vorlesung.
Die Folge [mm] (a_n)_n [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm]
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] gibt sd. [mm] |a_n-a|< \varepsilon \forall n\ge \IN
[/mm]
Also konvergiert [mm] (a_n)_n [/mm] gegen a, so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a
[/mm]
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] heist bestimmt divergent gegen [mm] +\infty [/mm] (bzw. [mm] -\infty) [/mm] wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] (bzw [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=-\infty)
[/mm]
Mann sagt dazu auch uneigentlich konvergent
Also musst du jetzt deine Folgen untersuchen.
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| Aufgabe | a) Zeige nur mit hilfe der Grenzwertdefinition:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{8n^2+5n}{2n^2-1} [/mm] = 4
b) Welche der Folgen sind konvergent, welche divergent? Berechne den Grenzwert, wenn dieser existiert:
1. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{24n^3-17n^2+n+99}{8n^3-23}
[/mm]
2. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2n^3-5}{\wurzel{n} (n^2+6)}
[/mm]
3. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] +...+ [mm] \bruch{n-1}{n^2}
[/mm]
4. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{19*4^n+7*5^(n+1)}{5^n-2*4^n}
[/mm]
5. [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{5n^8+c} [/mm] für (c > 0)
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Hi Dave,
danke für deine Antwort erstmal. Trotzdem, bin ich noch nicht ganz sicher, wie ich an die Aufgaben herangehen soll.
Auf meinem Bildschrim werden die Aufgaben überhaupt nicht mehr angezeigt. Ich weiss nicht, ob das nur bei mir so ist, auf jeden Fall habe ich die Aufgabenstellung noch einmal eingetippt...
Also, für a):
ich würde den Grenzwert berechnen, indem ich [mm] n^2 [/mm] ausklammere und so konstante und Nullfolgen erhalte, also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 (8+ 5/n)}{2-1/n^2)} [/mm] = 4
Allerdings, habe ich Probleme, das anhand der Grenzwertdefinition zu beweisen, auch wenn ich jetzt vielleicht etwas auf der Leitung stehe.
zu b)
1. erhalte ich Grenzwert 3. Stimmt das?
2. durch probieren erhalte ich werte, die darauf hindeuten dass die Folge divergent ist. Wie kann man das formal zeigen?
3. ich würde sagen, die Folge konvergiert gegen 1, aber wie kann man das genau berechnen? n oder eine Potenz von n ausklammern geht ja hier nicht so einfach...
4. und 5. : es gilt das gleich wie bei 3, nur dass ich hier überhaupt keine Ahnung habe.
Sorry, wenn das jetzt ein bißchen umfangreich ist. Wahrsheinlich ist das auch noch relativ simpel, trotzdem ergeben sich für mich noch die fragen.
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ich habe gesehen, dass Aufgabe 4 von Teil b) nicht richtig angezeigt wird.#
Es muss heissen: 5 hoch (n+1)
Sorry!
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Hallo bluescience!
Klammere doch einfach mal unter der Wurzel [mm] $5^n$ [/mm] aus und ziehe den Term aus der Wurzel.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
Auch bei Aufgabe 4 den Term [mm] $5^n$ [/mm] ausklammern in Zähler und Nenner, kürzen, anschließend Grenzwertbetrachtung ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
Forme um: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n^2} +\bruch{2}{n^2} +...+\bruch{n-1}{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+2+3+...+(n-1)}{n^2}$
[/mm]
Nun im Zähler die Formel für die Summe der ersten $n_$ natürlichen Zahlen anwenden:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n}k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}$$
[/mm]
Aber aufpassen mit dem letzten Glied hier ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo bluescience,
bei der (a) kommst du wohl nicht drum herum, den Betrag
[mm] $\left|\frac{8n^2+5n}{2n^2-1}-4\right|$ [/mm] abzuschätzen.
Gib dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor
Dann schätze in einer NR ab, um das [mm] $n_0$ [/mm] zu konstruieren:
[mm] $\left|\frac{8n^2+5n}{2n^2-1}-4\right|=\left|\frac{8n^2+5n-8n^2+4}{2n^2-1}\right|=\left|\frac{5n+4}{2n^2-1}\right|$
[/mm]
[mm] $\le\left|\frac{5n+n}{2n^2-1}\right|$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 4$
[mm] $=\left|\frac{6n}{2n^2-1}\right|\le\left|\frac{6n}{2n^2-n}\right|=\left|\frac{6n}{n(2n-1)}\right|=\frac{6}{2n-1}$
[/mm]
[mm] $\frac{6}{2n-1}\overset{!}{<}\varepsilon\Rightarrow 2n-1>\frac{6}{\varepsilon}\Rightarrow n>\frac{3}{\varepsilon}+\frac{1}{2}$
[/mm]
Wähle also [mm] $n_0>\frac{3}{\varepsilon}+\frac{1}{2}$
[/mm]
Dann gilt die obige Abschätzung für alle [mm] $n>n_0$
[/mm]
Das musst du dann nur noch "schön" in die passende Reihenfolge schreiben - wie gesagt, die obige Abschätzung war zunächst ne Nebenrechnung, um das [mm] $n_0$ [/mm] zu konstruieren.
LG
schachuzipus
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