Grenzwertsätze von Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 29.08.2005 | | Autor: | who11 |
Hallo alle mit einander,
Ich hab die Aufgabe gekriegt, den ersten Grenzwertsatz für Funktionen unter Zurückführung auf die analogen Sätze für Zahlenfolgen zu beweisen.
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}(u(x)+v(x))=\limes_{x\rightarrow x_{0}}u(x) +\limes_{x\rightarrow x_{0}}v(x) [/mm]
Kann mir einer helfen? Kann man das mit vollständiger Induktion machen?
Dankeschön schon mal im Vorraus
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 29.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ich hab die Aufgabe gekriegt, den ersten Grenzwertsatz für
> Funktionen unter Zurückführung auf die analogen Sätze für
> Zahlenfolgen zu beweisen.
>
(*) [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}(u(x)+v(x))=\limes_{x\rightarrow x_{0}}u(x) +\limes_{x\rightarrow x_{0}}v(x)[/mm]
>
> Kann mir einer helfen? Kann man das mit vollständiger
> Induktion machen?
Nein, nicht mit vollständiger Induktion. Du musst dir einfach erst einmal klar machen, was (*) überhaupt bedeutet. Nämlich das folgende:
Falls für jede jede reelle Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \in \IN} x_n [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] die beiden Folgen [mm] $(u(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(v(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] konvergieren, dann konvergiert auch die Folge [mm] $(u(x_n) [/mm] + [mm] v(x_n))_{n \in \IN}$, [/mm] und es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (u(x_n) [/mm] + [mm] v(x_n)) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} u(x_n) [/mm] + [mm] \lim\limits_{n \to \infty} v(x_n)$.
[/mm]
Und jetzt ist ja klar, wie der Beweis zu führen ist.
Du weißt ja: Sind [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergente Zahlenfolgen, dann ist auch die Zahlenfoge [mm] $(a_n [/mm] + [mm] b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent, und es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} a_n [/mm] + [mm] \lim\limits_{n \to \infty} b_n$.
[/mm]
Wende diesen Satz nun auf die beiden Zahlenfolgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] (u(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] (v(x_n))_{n \in \IN}$ [/mm] an, wobei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine beliebige reelle Folge mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=x_0$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Julius
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