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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $X\:$ [/mm] eine Menge und [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] ein beliebiges System von Teilmengen von [mm] $X\:$, $\mathfrak{T}$ [/mm] sei die von [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] auf [mm] $X\:$ [/mm] erzeugts Topologie.
Zeigen Sie: [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] ist die gröbste Topologie bzgl. derer die Elemente aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] offen sind. |
Hallo,
ich beschäftige mich zum ersten mal mit topologischen Räumen, von daher bitte ich um Nachsicht 
Die Aussage ist eigentlich klar: Die von [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] erzeugte Topologie entsteht ja gerade, indem man die Elemente aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] als offen definiert und dann noch alle Teilmengen hinzunimmt von X hinzunimmt, sodass die entstehende Menge eine zulässige Wahl offener Mengen darstellt. Konkret nehme ich zu [mm] $\mathfrak{B}$ $X\:$ [/mm] hinzu sowie alle endlichen Schnitte von Teilmengen von [mm] $V\:$, [/mm] die in [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] liegen und erhalte so [mm] $\mathfrak{B}'$. [/mm] Dann definiere ich alle Teilmengen von [mm] $X\:$ [/mm] als offen, die Vereinigung von Mengen aus [mm] $\mathfrak{B}'$ [/mm] sind. Also ist klar, wähle ich eine gröbere Topologie [mm] $\mathfrak{T}'$, [/mm] dann muss es auch dazu führen, dass mindestens ein Element aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] nicht mehr offen ist.
Nun ist die Frage, wie ich das nochmal Schritt für Schritt zeigen kann.
Es existiert ein $U [mm] \subset [/mm] X: U [mm] \; \mathfrak{T}$-offen, [/mm] aber [mm] $\mathfrak{T}'$-abgeschlossen. [/mm] Wie folgt daraus, dass es ein $V [mm] \in \mathfrak{B}$ [/mm] geben muss, mit $V [mm] \; \mathfrak{T'}$-abgeschlossen?
[/mm]
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 11.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Die Aussage ist eigentlich klar: Die von [mm]\mathfrak{B}[/mm]
> erzeugte Topologie entsteht ja gerade, indem man die
> Elemente aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] als offen definiert und dann noch
> alle Teilmengen hinzunimmt von X hinzunimmt, sodass die
> entstehende Menge eine zulässige Wahl offener Mengen
> darstellt. Konkret nehme ich zu [mm]\mathfrak{B}[/mm] [mm]X\:[/mm] hinzu
> sowie alle endlichen Schnitte von Teilmengen von [mm]V\:[/mm], die
> in [mm]\mathfrak{B}[/mm] liegen und erhalte so [mm]\mathfrak{B}'[/mm]. Dann
> definiere ich alle Teilmengen von [mm]X\:[/mm] als offen, die
> Vereinigung von Mengen aus [mm]\mathfrak{B}'[/mm] sind.
Sicher, dass dies wieder eine Topologie ist? Solche Vereinigungen muss man noch schneiden dürfen.
> Also ist
> klar, wähle ich eine gröbere Topologie [mm]\mathfrak{T}'[/mm],
> dann muss es auch dazu führen, dass mindestens ein Element
> aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] nicht mehr offen ist.
Hm?
> Nun ist die Frage, wie ich das nochmal Schritt für Schritt
> zeigen kann.
Schreibe doch ganz genau mal hier auf, was "gröber" bedeutet, und die "erzeugte Topolgie" deifniert ist. Das ist dann imo ein Zweizweiler, wenn man die richtigen Definitionen hat.
> Es existiert ein [mm]U \subset X: U \; \mathfrak{T}[/mm]-offen,
> aber [mm]\mathfrak{T}'[/mm]-abgeschlossen. Wie folgt daraus, dass es
> ein [mm]V \in \mathfrak{B}[/mm] geben muss, mit [mm]V \; \mathfrak{T'}[/mm]-abgeschlossen?
Kapier ich nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für deine Antwort.
> > Die Aussage ist eigentlich klar: Die von [mm]\mathfrak{B}[/mm]
> > erzeugte Topologie entsteht ja gerade, indem man die
> > Elemente aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] als offen definiert und dann noch
> > alle Teilmengen hinzunimmt von X hinzunimmt, sodass die
> > entstehende Menge eine zulässige Wahl offener Mengen
> > darstellt. Konkret nehme ich zu [mm]\mathfrak{B}[/mm] [mm]X\:[/mm] hinzu
> > sowie alle endlichen Schnitte von Teilmengen von [mm]V\:[/mm], die
> > in [mm]\mathfrak{B}[/mm] liegen und erhalte so [mm]\mathfrak{B}'[/mm]. Dann
> > definiere ich alle Teilmengen von [mm]X\:[/mm] als offen, die
> > Vereinigung von Mengen aus [mm]\mathfrak{B}'[/mm] sind.
>
> Sicher, dass dies wieder eine Topologie ist? Solche
> Vereinigungen muss man noch schneiden dürfen.
Ich habe die Konstruktion der erzeugten Topologie aus "Bosch: Algebra" übernommen. Beim Übergang von [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] zu [mm] $\mathfrak{B}'$ [/mm] nehme ich ja alle endlichen Schnitte von Mengen aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] hinzu. Wenn ich nun beliebige Vereinigungen von Teilmengen aus [mm] $\mathfrak{B}'$ [/mm] bilde, kann ich diese natürlich wieder schneiden, aber die Schnitte dieser Vereinigungen liegen wieder in [mm] $\mathfrak{B}'$. $\mathfrak{B}'$ [/mm] ist dann eine Basis der so erzeugten Topologie [mm] $\mathfrak{T}$.
[/mm]
d.h. [mm] $\mathfrak{T} [/mm] = [mm] \{\bigcup U: U \in \{U_1 \cap \cdots \cap U_n: U_1, \ldots, U_n \in \mathfrak{B}\} \cup \{X\}\}$
[/mm]
Ist das falsch? Oder habe ich nur unklar formuliert? Oder gibt es eine handlichere Definition?
> > Nun ist die Frage, wie ich das nochmal Schritt für Schritt
> > zeigen kann.
>
> Schreibe doch ganz genau mal hier auf, was "gröber"
> bedeutet, und die "erzeugte Topolgie" deifniert ist. Das
> ist dann imo ein Zweizweiler, wenn man die richtigen
> Definitionen hat.
Ok, seien [mm] $\mathfrak{T,T'}$ [/mm] zwei Topologien auf einem Raum [mm] $X\:$. $\mathfrak{T}'$ [/mm] heißt gröber als [mm] $\mathfrak{T}$, [/mm] wenn [mm] $\mathfrak{T}' \subset \mathfrak{T}$.
[/mm]
Ich will nun zeigen: Ist [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] die von [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] auf [mm] $X\:$ [/mm] erzeugte Topologie und [mm] $\mathfrac{T}'$ [/mm] echt gröber als [mm] $\mathfrak{T}$, [/mm] dann ist [mm] $\mathfrak{B} \not\subset \mathfrak{T}'$.
[/mm]
[mm] $\mathfrak{T}'$ [/mm] echt gröber als [mm] $\mathfrak{T} \Rightarrow \exists [/mm] U [mm] \in \mathfrak{T}: [/mm] U [mm] \not\in \mathfrak{T'}$. [/mm] Da aber [mm] $\mathfrak{T}=\{\bigcup U: U \in \{U_1 \cap \cdots \cap U_n: U_1, \ldots, U_n \in \mathfrak{B}\} \cup \{X\}\}$ [/mm] gibt es eine Indexmenge I, sowie [mm] $U_1^i, \ldots, U_n^i \in \mathfrak{B}\: \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I:$
$U = [mm] \bigcup_{i \in I}U_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I}(U_1^i \cap \ldots \cap U_n^i)$.
[/mm]
Wäre nun [mm] $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{T}'$, [/mm] so wäre $U [mm] \in \mathfrak{T}'$, [/mm] da [mm] $U\:$ [/mm] Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] ist [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Widerspruch und damit kann [mm] $\mathfrak{T}'$ [/mm] nicht gröber als [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] sein und gleichzeitig [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] enthalten.
Kann man so argumetieren?
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 12.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Die Aussage ist eigentlich klar: Die von [mm]\mathfrak{B}[/mm]
> > > erzeugte Topologie entsteht ja gerade, indem man die
> > > Elemente aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] als offen definiert und dann noch
> > > alle Teilmengen hinzunimmt von X hinzunimmt, sodass die
> > > entstehende Menge eine zulässige Wahl offener Mengen
> > > darstellt. Konkret nehme ich zu [mm]\mathfrak{B}[/mm] [mm]X\:[/mm] hinzu
> > > sowie alle endlichen Schnitte von Teilmengen von [mm]V\:[/mm], die
> > > in [mm]\mathfrak{B}[/mm] liegen und erhalte so [mm]\mathfrak{B}'[/mm]. Dann
> > > definiere ich alle Teilmengen von [mm]X\:[/mm] als offen, die
> > > Vereinigung von Mengen aus [mm]\mathfrak{B}'[/mm] sind.
> >
> > Sicher, dass dies wieder eine Topologie ist? Solche
> > Vereinigungen muss man noch schneiden dürfen.
>
> Ich habe die Konstruktion der erzeugten Topologie aus
> "Bosch: Algebra" übernommen. Beim Übergang von
> [mm]\mathfrak{B}[/mm] zu [mm]\mathfrak{B}'[/mm] nehme ich ja alle endlichen
> Schnitte von Mengen aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] hinzu. Wenn ich nun
> beliebige Vereinigungen von Teilmengen aus [mm]\mathfrak{B}'[/mm]
> bilde, kann ich diese natürlich wieder schneiden, aber die
> Schnitte dieser Vereinigungen liegen wieder in
> [mm]\mathfrak{B}'[/mm]. [mm]\mathfrak{B}'[/mm] ist dann eine Basis der so
> erzeugten Topologie [mm]\mathfrak{T}[/mm].
>
> d.h. [mm]\mathfrak{T} = \{\bigcup U: U \in \{U_1 \cap \cdots \cap U_n: U_1, \ldots, U_n \in \mathfrak{B}\} \cup \{X\}\}[/mm]
>
> Ist das falsch? Oder habe ich nur unklar formuliert? Oder
> gibt es eine handlichere Definition?
>
> > > Nun ist die Frage, wie ich das nochmal Schritt für Schritt
> > > zeigen kann.
> >
> > Schreibe doch ganz genau mal hier auf, was "gröber"
> > bedeutet, und die "erzeugte Topolgie" deifniert ist. Das
> > ist dann imo ein Zweizweiler, wenn man die richtigen
> > Definitionen hat.
>
> Ok, seien [mm]\mathfrak{T,T'}[/mm] zwei Topologien auf einem Raum
> [mm]X\:[/mm]. [mm]\mathfrak{T}'[/mm] heißt gröber als [mm]\mathfrak{T}[/mm], wenn
> [mm]\mathfrak{T}' \subset \mathfrak{T}[/mm].
>
> Ich will nun zeigen: Ist [mm]\mathfrak{T}[/mm] die von [mm]\mathfrak{B}[/mm]
> auf [mm]X\:[/mm] erzeugte Topologie und [mm]\mathfrac{T}'[/mm] echt gröber
> als [mm]\mathfrak{T}[/mm], dann ist [mm]\mathfrak{B} \not\subset \mathfrak{T}'[/mm].
Das ist viel zu umstaendlich, finde ich. Zeige doch: ist [mm] $\mathfrak{T}'$ [/mm] irgendeine Topologie, die [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] enthaelt, so gilt [mm] $\mathfrak{T} \subseteq \mathfrak{T}'$.
[/mm]
Aus deiner Definition von [mm] $\mathfrak{T}$:
[/mm]
> Da aber [mm]\mathfrak{T}=\{\bigcup U: U \in \{U_1 \cap \cdots \cap U_n: U_1, \ldots, U_n \in \mathfrak{B}\} \cup \{X\}\}[/mm]
folgt das naemlich sofort, wenn du die Axiome einer Topologie benutzt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für deine Antwort.
> Das ist viel zu umstaendlich, finde ich. Zeige doch: ist
> [mm]\mathfrak{T}'[/mm] irgendeine Topologie, die [mm]\mathfrak{B}[/mm]
> enthaelt, so gilt [mm]\mathfrak{T} \subseteq \mathfrak{T}'[/mm].
>
> Aus deiner Definition von [mm]\mathfrak{T}[/mm]:
>
> > Da aber [mm]\mathfrak{T}=\{\bigcup U: U \in \{U_1 \cap \cdots \cap U_n: U_1, \ldots, U_n \in \mathfrak{B}\} \cup \{X\}\}[/mm]
>
> folgt das naemlich sofort, wenn du die Axiome einer
> Topologie benutzt.
Ok, das sehe ich jetzt auch. Wenn [mm] $\mathfrak{T}' \: \mathfrak{B}$ [/mm] enthält, dann auch [mm] $\mathfrak{T}$, [/mm] da [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] aus endlichen Schnitte und Vereinigungen von Elementen aus [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] besteht, und die gehören aufgrunde der Axiome einer Topologie auch zu [mm] $\mathfrak{T}'$. [/mm] Also ist [mm] $\mathfrak{T}'$ [/mm] notwendig feiner als [mm] $\mathfrak{T}$. [/mm] Es kann also keine Topologie geben, die gröber ist als [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] aber [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] enthält.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Sa 12.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]X\:[/mm] eine Menge und [mm]\mathfrak{B}[/mm] ein beliebiges System
> von Teilmengen von [mm]X\:[/mm], [mm]\mathfrak{T}[/mm] sei die von
> [mm]\mathfrak{B}[/mm] auf [mm]X\:[/mm] erzeugts Topologie.
>
> Zeigen Sie: [mm]\mathfrak{T}[/mm] ist die gröbste Topologie bzgl.
> derer die Elemente aus [mm]\mathfrak{B}[/mm] offen sind.
Weisst du schon, dass [mm] $\mathfrak{T}$ [/mm] der Schnitt aller Topologien ist, die [mm] $\mathfrak{B}$ [/mm] enthalten?
Wenn du das hast, ist die Aufgabe sehr einfach.
LG Felix
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