Größe des Stichprobenumfangs < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es gelte [mm] X_i \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2). [/mm] Das arithmetische Mittel [mm] \overline X=\bruch{1}{n}\sum_{i}X_i [/mm] ist dann ebenfalls normalverteilt.
Es sei [mm] \mu=100 [/mm] und [mm] \sigma=10. [/mm] Wie groß muss der Stichprobenumfang gewählt werden, damit
[mm] \IP(|\overline{X}-100|\le [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] 0.98
ist? |
Also ich habe mir dazu überlegt, das ganze mal zu standardisieren, also
[mm] \IP(|\overline{X}-100|\le [/mm] 1) [mm] \gdw \IP(-\bruch{99-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le\bruch{\overline X-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le\bruch{101-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}})=2*\Phi(\bruch{101-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}})-1
[/mm]
Hier verlässt mich aber mein Latein… Stimmt das bisher überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Fr 20.12.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\IP(|\overline{X}-100|\le[/mm] 1) [mm]\gdw \IP(-\bruch{99-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le\bruch{\overline X-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}}\le\bruch{101-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}})=2*\Phi(\bruch{101-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}})-1[/mm]
>
> Hier verlässt mich aber mein Latein… Stimmt das bisher
> überhaupt?
Das sieht gut aus. Setze
[mm]2*\Phi(\bruch{101-\mu}{\bruch{\sigma}{\wurzel{n}}})-1=0.98[/mm]
und loese mit $ [mm] \mu=100 [/mm] $ und $ [mm] \sigma=10$ [/mm] nach $n$ auf.
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Ok, d.h. ja [mm] \Phi( \bruch{\wurzel{n}}{10})=\frac{1.98}{2}
[/mm]
Nun schaue ich in der Tabelle der Normalverteiung für welches Argument ich als Ergebnis 0.99 erhalte, und finde 2.3. D.h. [mm] \bruch{\wurzel{n}}{10} [/mm] muss gleich 2.33 sein.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 24.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist okay so. Das Ganze mal 10 nehmen und quadrieren und Du hast Dein n.
Viele Grüße,
Infinit
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ok, danke!
Wieso findet man überall eigentlich nur die Standardisierung ohne den [mm] \wurzel{n}-Faktor?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 24.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Grund ist ein recht simpler. n kann man einfach ablesen und daraus alles Mögliche weitere herleiten. Bei Funktionen von n ist das eventuell nicht mehr ganz so einfach möglich, je nach Aufgabenstellung. Insofern ist die Angabe von n einfach universaler und damit besser einsetzbar.
Viele Grüße und schöne Weihnachten,
Infinit
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