Größtmöglicher Abstand < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich muss den größtmöglichen Abstand zwischen zwei Punkten, welche auf zwei verschiedenen Funktionsgraphen liegen, ermitteln. |
Ich hätte das auf die einfache Tour mit der ersten Ableitung gemacht! Der Punkt ist, dass ich die nicht hernehmen darf, sondern anderswärtig auf die Lösung kommen soll.
Aber wie kann ich das dann machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich muss den größtmöglichen Abstand zwischen zwei
> Punkten, welche auf zwei verschiedenen Funktionsgraphen
> liegen, ermitteln.
> Ich hätte das auf die einfache Tour mit der ersten
> Ableitung gemacht! Der Punkt ist, dass ich die nicht
> hernehmen darf, sondern anderswärtig auf die Lösung
> kommen soll.
>
>
> Aber wie kann ich das dann machen?
Sollst du das in ganz allgemeiner Form machen ?
Dies könnte allenfalls recht kompliziert werden.
Für manche (häufigen) Fälle allerdings auch
fast läppisch einfach ...
Andernfalls verrate uns doch bitte das Beispiel.
Wir werden dir auch so nicht gleich die servier-
bereite Lösung präsentieren, sondern dir einen
möglichst leichten Schubs in deren Richtung geben ...
LG , Al-Chwarizmi
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Wenn die Gleichung C D (x) = −0,25x +1,25x + 7 den Abstand zwischen C und D beschreibt, wie bekomme ich dann den größtmöglichen Abstand zwischen diesen zwei Punkten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Gleichung C D (x) = −0,25x +1,25x + 7 den
Es lautet wohl
D (x) = [mm] −0,25x^2 [/mm] +1,25x + 7
Edit: natürlich: D (x) = − [mm] 0,25x^2 [/mm] +1,25x + 7
oder nicht ?
Wenn ja, so ist der Hochpunkt des Graphen von D zu bestimmen, also der Scheitelpunkt ........
FRED
> Abstand zwischen C und D beschreibt, wie bekomme ich dann
> den größtmöglichen Abstand zwischen diesen zwei Punkten?
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Das Minus stimmt leider vor den 0,25! Kann ich dann auch einfach den Scheitelpunkt bestimmen? Aber wie mache ich das ohne die Ableitung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das Minus stimmt leider vor den 0,25!
Oh, das hab ich verschlampert, also:
D (x) = − [mm] 0,25x^2 [/mm] +1,25x + 7
Und das "Minus" ist auch gut so, anderenfalls gäbe es keinen Hochpunkt.
> Kann ich dann auch
> einfach den Scheitelpunkt bestimmen?
Ja.
Aber wie mache ich das
> ohne die Ableitung?
Das lernt man in der Mittelstufe. Tipp: quadratische Ergänzung.
FRED
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D. h.:
[mm] -0,25(x^2-5x+28)=
[/mm]
[mm] -0,25(x^2-5x+6,25+21,5)=
[/mm]
[mm] -0,25(x^2-5x+6,25)-5,375
[/mm]
Kann das stimmen?
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Also dann halt [mm] -0,25(x-2,5)^2-5,375.
[/mm]
Das habe ich vergessen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> D. h.:
>
> [mm]-0,25(x^2-5x+28)=[/mm]
Hier sollte [mm]-0,25(x^2-5x-28)=[/mm]
stehen.
FRED
> [mm]-0,25(x^2-5x+6,25+21,5)=[/mm]
> [mm]-0,25(x^2-5x+6,25)-5,375[/mm]
>
> Kann das stimmen?
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Wenn Dummheit weh tun würde, hätte ich Schmerzen!!! Na klar!!!
Dann heißt das Ergebnis also:
[mm] -0,25(x^2-5x+6,25-34.25)=
[/mm]
-0,25(x-2,5)2+8,56
Mensch, vielen Dank für Eure super Hilfe!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wenn Dummheit weh tun würde, hätte ich Schmerzen!!! Na
> klar!!!
>
> Dann heißt das Ergebnis also:
>
> [mm]-0,25(x^2-5x+6,25-34.25)=[/mm]
> -0,25(x-2,5)2+8,56
Na ja, es lautet so:
[mm] -0,25(x-2,5)^2+8,56
[/mm]
Und ? Wo ist nun der Scheitel (Hochpunkt) ?
FRED
>
> Mensch, vielen Dank für Eure super Hilfe!!!
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Der Scheitelpunkt liegt dann bei S(2.5/8.56).
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> Ich muss den größtmöglichen Abstand zwischen zwei
> Punkten, welche auf zwei verschiedenen Funktionsgraphen
> liegen, ermitteln.
Hallo Julius,
du hast uns die eigentliche (ganze und richtig
formulierte) Aufgabe in deinen bisherigen
Meldungen immer noch nicht mitgeteilt.
Es scheint, dass es gar nicht um den "maximalen
Abstand zwischen zwei Punkten, welche auf zwei
verschiedenen Funktionsgraphen liegen" geht.
Gemeint war wohl, dass die beiden Punkte
dieselbe x-Koordinate haben sollen.
Ferner müsstest du unbedingt angeben,
in welchem Bereich (einem Intervall auf
der x-Achse) überhaupt gesucht werden soll.
Wenn du z.B. $\ [mm] y_C-y_D\ [/mm] =\ [mm] -0,25(x^2-5x-28) [/mm] $
hast, kann der Abstand der Punkte C und D
beliebig groß werden. Dazu müsstest du nur
für x eine (positive oder negative) Zahl mit
genügend großem Betrag nehmen !
Denn: auch wenn [mm] y_C -y_D [/mm] negativ ist, ist der
Abstand a der beiden Punkte positiv.
LG Al-Chw.
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Aber das ist doch schon das Ergebnis, dass bei der x-Koordinate der maximale Abstand zwischen C und D ist, welcher 8,56 beträgt.
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Aber Sie habe Recht, ja, die beiden Punkte haben die selbe x-Koordinate! Das war eine Teilaufgabe von einer größeren Aufgabe, deswegen konnte ich nicht die ganze Aufgabe abschreiben!
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> Aber das ist doch schon das Ergebnis, dass bei der
> x-Koordinate der maximale Abstand zwischen C und D ist,
> welcher 8,56 beträgt.
Na, setze doch mal x=100 ein und berechne für
diesen Fall den Abstand der Punkte C und D !
LG
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Jetzt bin ich wieder durcheinander! Die Gleichung
C D (x) = −0,25x +1,25x + 7
beschreibt den Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen. Nun soll ich ermitteln, wo bei gleicher x-Koordinate, der größte Abstand zwischen den zwei Funktionsgraphen ist.
Nun ist CD(x) eine Parabel, welche einen Scheitelpunkt hat. Dieser Scheitelpunkt gibt mir an, an, dass an dieser Stelle der Abstand zwischen den beiden Graphen maximal ist. Aber das haben wir doch jetzt bereits berechnet.
Da eine Quadratische Fuktion nur ein Maximum hat, kann es doch nicht beliebig größere Werte geben!
Auf was ich mit meiner Frage hinaus wollte, ist, dass an der Stelle (2,5/8,56) der Abstand zwischen C und D am größten ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich vermute: Du hast 2 Funktionen f und g auf einem gemeinsamen Definitonsbereich B.
Für x [mm] \in [/mm] B ist der Abstand der Funktionswerte =|f(x)-g(x)|
Betrag !
Dann mußt Du also die Funktion d(x)=|f(x)-g(x)| maximieren.
Erzähle uns: was ist f ? Was ist g ? Und was ist D ?
Dann reden wir weiter.
FRED
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[mm] f(x)=−0,25x^2 [/mm] +1,5x + 3,75
g(x)=0,25x −3,25
Der Punkt C liegt auf dem Graphen von g und D liegt auf dem Graphen von f.
Der Abstand der beiden Punkte hängt von x ab. Nun soll man berechnen für welchen Bereich der Abstand am größten ist.
Betrachtet man f und g, dann muss man zwischen den beiden Graphen den maximalen Abstand finden. [Dateianhang nicht öffentlich] Das wäre hier im Bereich von ungefähr -3,5 und 4,5.
Und der maximale Abstand ist bei x=2,5, denn da ist der Abstand 8,65, das habt ihr mir ja schon erklärt. [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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[mm] f(x)=−0,25x^2 [/mm] +1,5x + 3,75
g(x)=0,25x −3,25
Der Punkt C liegt auf dem Graphen von g und D liegt auf dem Graphen von f.
Der Abstand der beiden Punkte hängt von x ab. Nun soll man berechnen für welchen Bereich der Abstand am größten ist.
Betrachtet man f und g, dann muss man zwischen den beiden Graphen den maximalen Abstand finden. Das wäre hier im Bereich von ungefähr -3,5 und 4,5.
Und der maximale Abstand ist bei x=2,5, denn da ist der Abstand 8,65, das habt ihr mir ja schon erklärt.
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> [mm]f(x) = −0,25 x^2[/mm] + 1,5 x + 3,75 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> g(x) = 0,25 x −3,25
Jede der beiden obigen Gleichungen enthält ein
seltsames Zeichen, das du vermeintlich als Minuszeichen
verstanden hast, das aber von Latex nicht als solches
erkannt wird. In der Gleichung für g hast du allerdings
Latex gar nicht bemüht, weshalb dort das Zeichen
sichtbar geblieben ist.
Schreibt man beide Gleichungen mit Latex, so
erscheinen sie folgendermaßen:
mit dem Spezialsymbol von deiner Tastatur:
$\ f(x)\ =\ [mm] −0.25\,x^2+1.5\,x [/mm] + 3.75$
$\ g(x)\ =\ [mm] 0.25\,x [/mm] − 3.25$
(die vermeintlichen Minuszeichen sind also verschwunden !)
mit dem richtigen Minuszeichen sehen sie so aus:
$\ f(x)\ =\ [mm] -\,0.25\,x^2+1.5\,x [/mm] + 3.75$
$\ g(x)\ =\ [mm] 0.25\,x [/mm] - 3.25$
> Der Punkt C liegt auf dem Graphen von g und D liegt auf dem
> Graphen von f.
>
> Der Abstand der beiden Punkte hängt von x ab. Nun soll man
> berechnen für welchen Bereich der Abstand am größten
> ist.
>
> Betrachtet man f und g, dann muss man zwischen den beiden
> Graphen den maximalen Abstand finden. Das wäre hier im
> Bereich von ungefähr -3,5 und 4,5.
>
> Und der maximale Abstand ist bei x=2,5, denn da ist der
> Abstand 8,65, das habt ihr mir ja schon erklärt.
Hallo,
einen wichtigen Punkt scheinst du leider immer
noch nicht ganz verstanden zu haben.
Einen (absolut !) maximalen Abstand (in y-Richtung
gemessen) gibt es bei den vorliegenden beiden
Graphen einfach nicht, denn dieser Abstand strebt
sowohl für [mm] x\to\infty [/mm] als auch für [mm] x\to-\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] .
Wenn du dich auf das Intervall beschränken willst,
in welchem die Parabel oberhalb der Geraden liegt,
dann ist dies eine Wahl, die in der Aufgabenstellung
nicht vorgegeben war.
In Bezug auf die auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten Funktionen
f und g weist der Abstand an der Stelle 2.5 zwar ein
lokales, aber eben kein globales Maximum
auf.
LG , Al-Chw.
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