Grundaufgabe zur Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Do 17.05.2007 | | Autor: | thomasXS |
| Aufgabe | An jedem der 20 Handelstage eines Monats kann eine Aktie steigen
,,1 oder eben nicht steigen ,,0. Eine Zahlenfolge, die aus 20 Eisen oder
Nullen besteht, beschreibt die Kursentwicklung der Aktie f¨ur den betrachteten Zeitraum.
1. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen sind denkbar?
2. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen mit genau 16 Kursanstiegen sind denkbar?
3. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen mit mindestens 16 Kursanstiegen sind denkbar? |
Hallo,
ich versuche die oben geannte Aufgabe zu lösen, jedoch bin ich mir bei meinen Berechnungen nicht ganz sicher.
1) n = 20 (Handelstage); k = 2 (Kursentwicklung "up" oder "down")
[mm] \vektor{20 \\ 2} [/mm] = 190 verschiedene Kursentwicklungen denkbar.
Wenn ich mir eine Urne vorstelle, dann wäre das doch ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge?
2) n = 20 (Handelstage); k = 16 (Kursentwicklung, 16 mal "up")
[mm] \vektor{20 \\ 16} [/mm] = 4845
Hier bin ich mir sehr unsicher, das Ergebnis stimmt wahrscheinlich auch nicht. Habe ich k überhaupt richtig festgelegt, oder muss ich hier mit Fakultät arbeiten?
3) n = 20 (Handelstage); k = 16,17,18,19,20 (mind. 16 mal Kursentwicklung "up")
Ich hätte jetzt für jedes k [mm] \vektor{20 \\ 16} [/mm] , [mm] \vektor{20 \\ 17} [/mm] gerechnet und diese addiert. Aber da kommt ein viel zu großes Ergebnis raus! Was muss ich bei "mindestens" hier rechnen?
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas!
> An jedem der 20 Handelstage eines Monats kann eine Aktie
> steigen
> ,,1 oder eben nicht steigen ,,0. Eine Zahlenfolge, die
> aus 20 Eisen oder
> Nullen besteht, beschreibt die Kursentwicklung der Aktie
> f¨ur den betrachteten Zeitraum.
>
> 1. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen sind denkbar?
Soviele, wie 0/1-Zahlenfolgen mit 20 Stellen zu bilden sind. Für jede Stelle hat man zwei Möglichkeiten, d.h. man hat insgesamt [mm]2^{20} = 1048576[/mm] mögliche Kursentwicklungen.
> 2. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen mit genau 16
> Kursanstiegen sind denkbar?
Soviele wie man 16 Einsen auf 20 Stellen verteilen kann. Das entspricht einer Ziehung von 16 Stellen aus 20 möglichen, die man mit einer 1 versieht. Deine Lösung ist richtig: es sind [mm]\vektor{20 \\ 16} = 4845[/mm].
> 3. Wieviele verschiedene Kursentwicklungen mit mindestens
> 16 Kursanstiegen sind denkbar?
Soviele wie man 16 und 17 und ... und 20 Einsen auf 20 Stellen verteilen kann, also
[mm]\vektor{20 \\ 16} + \vektor{20 \\ 17} + \vektor{20 \\ 18} + \vektor{20 \\ 19} + \vektor{20 \\ 20} = 4845 + 1140 + 190 + 20 + 1 = 6196[/mm]
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 17.05.2007 | | Autor: | thomasXS |
Hallo Karsten0611,
danke für Deine Antwort.
Alle Lösungen bis auf 1) sind mir klar.
Wie bist Du auf die Lösung gekommen? n = 20 Handelstage und k = 2 Möglichkeiten "hoch" oder "runter". Laut meiner Tabelle wäre das dann "mit Wiederholung" und "mit Beachtung der Reihenfolge", so wie bei einer Passwortaufgabe.
Woher weisst Du jetzt, dass die Reihenfolge beachtet werden muss?
Gruß
Thomas
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> Laut meiner
> Tabelle wäre das dann "mit Wiederholung" und "mit Beachtung
> der Reihenfolge", so wie bei einer Passwortaufgabe.
>
> Woher weisst Du jetzt, dass die Reihenfolge beachtet werden
> muss?
Das liegt daran, daß jeder 0 bzw. 1 ein fester Platz zugeordnet wird, nämlich der k-te Tag. Damit werden die 0'en bzw. 1'en unterscheidbar. Wenn man die Reihenfolge nicht beachten würde, so wären (jetzt mal für nur drei Tage) etwa die Abfolgen 101, 011 und 110 gleichwertig zu behandeln.
Nehmen wir mal wieder nur drei Tage. Nach Deinem Modell würde es dann [mm]\vektor{3 \\ 2} = 3[/mm] mögliche Abfolgen von 0/1 geben. Ich kenne aber mehr:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
also [mm]8 = 2^3[/mm] zulässige Kombinationen von "rauf" und "runter". Klarer geworden?
Grüße
Karsten
P.S.: Die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge ist auch nicht [mm]\vektor{n \\ k}[/mm], sondern [mm]\vektor{n + k - 1 \\ k}[/mm]. 
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