Grundlagen der Mathematik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 03:12 So 01.02.2015 | | Autor: | newb |
Hallo,
hat die Mathematik einen "Anfang"? Kann man die komplette oder einen großen Bereich der Mathematik systematisch aufbauen? Wenn ja, wo befindet sich der "Anfang"? Oder ist es eher eine philosophische Frage? Besteht die Mathematik vielleicht doch aus einzelnen Gebieten, die sich nur gegenseitig durchdringen?
Die Frage stelle ich bewusst in dem Bereich "Logik", denn ich persönlich würde den Anfang hier suchen.
Letztens habe ich mich mit der Aussagenlogik mithilfe eines Buchs beschäftigt. Das Thema wurde als ein einzelnes zu untersuchendes Gebiet der Mathematik und kein Versuch der Begründung der Mathematik aufgefasst. Es wurden Begriffe wie Funktionen vorausgesetzt. Da wo Funktionen sind, sind auch Mengen und da wo Mengen eine gewisses Verständnis der Logik. Zumindest habe ich das immer so wahrgenommen. Von daher finde ich es schwer hier den Anfang zu suchen.
Wie ist es in der Tat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hmm, das habe ich mich auch schon sehr oft gefragt.
Die Aussagenlogik und ihre allgemein anerkannten Schlussregeln sind das grundlegendste, was wir kennen. Weiter runter beweisen geht nicht, zumindest nicht für unsere Anschauung. Ausgehend davon können wir Axiome aufstellen, die wir als gegeben annehmen. Auf diese können wir die Mathematik stellen.
Schau dir doch mal die Principia Mathematica an. Zitat Wikipedia:
Die Principia Mathematica stellen den Versuch dar, alle mathematischen Wahrheiten aus einem wohldefinierten Satz von Axiomen und Schlussregeln (Inferenzregeln der symbolischen Logik) herzuleiten, wie es durch das Hilbertprogramm vorgeschlagen wurde.
Das HilbertProgramm sah vor, alle mathematischen Beweise aufeinander aufbauen zu lassen, sodass ganz unten nur noch ganz wenige Axiome stehen. Die gödelschen Unvollständigkeitssätze widerlegen aber wohl, dass dies vollständig möglich ist. Genau erklären kann ich sie noch nicht, dazu fehlt mir das Wissen, aber ich beschäftige mich gerade mit diesem sehr spannenden Buch dazu:
Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze: Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis (Dirk W. Hoffmann)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 01.02.2015 | | Autor: | felixf |
Moin,
> hat die Mathematik einen "Anfang"? Kann man die komplette
> oder einen großen Bereich der Mathematik systematisch
> aufbauen? Wenn ja, wo befindet sich der "Anfang"? Oder ist
> es eher eine philosophische Frage?
das ist definitiv auch eine philosophische Frage! Allein schon ab wann die Mathematik anfängt und die reine Logik aufhört. Oder ob man die Logik als Teilgebiet der Mathematik ansieht.
> Besteht die Mathematik
> vielleicht doch aus einzelnen Gebieten, die sich nur
> gegenseitig durchdringen?
>
> Die Frage stelle ich bewusst in dem Bereich "Logik", denn
> ich persönlich würde den Anfang hier suchen.
>
> Letztens habe ich mich mit der Aussagenlogik mithilfe eines
> Buchs beschäftigt. Das Thema wurde als ein einzelnes zu
> untersuchendes Gebiet der Mathematik und kein Versuch der
> Begründung der Mathematik aufgefasst. Es wurden Begriffe
> wie Funktionen vorausgesetzt. Da wo Funktionen sind, sind
> auch Mengen und da wo Mengen eine gewisses Verständnis der
> Logik. Zumindest habe ich das immer so wahrgenommen. Von
> daher finde ich es schwer hier den Anfang zu suchen.
Ich glaube es ist sehr schwierig (wenn nicht sogar (fast) unmöglich), alles ganz von Grund auf zu machen, ohne hier und da ein wenig zu "schummeln". Zumindest ist es sehr aufwändig, insbesondere wenn das Ziel ist etwas "interessantes" zu machen.
Apropos, kennst du die Bücher von ![[]](/images/popup.gif) Bourbaki? Die fangen zwar nicht bei Null an, aber doch relativ elementar, und bauen viele Gebiete der Mathematik mehr oder weniger self-contained auf. Für 99.9% der Mathematiker ist das vermutlich auch elementar genug 
LG Felix
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Beachte auch, dass Mathematik letzten Endes (leider, ich habe lange gebraucht, um mich damit abzufinden) immer in unserer physikalischen Realität insbesondere in der Biologie unseres Gehirns verhaftet ist. Die Mengenlehre braucht Axiome, welche in einer Sprache formuliert werden muss, nämlich der Prädikatenlogik. Die Logik braucht Schlussregeln, welche wiederum in einer Sprache formuliert werden muss, lustigerweise nimmt man dafür üblicherweise die naive Mengenlehre (und verwendet dabei sogar so starke Konzepte wie unendliche Mengen, von denen man keineswegs weiß, ob sie nicht sogar in ZFC einmal zu Widersprüchen führen) und die ganze Geschichte wird noch rekursiver, wenn man Logik zur Fundierung der Mengenlehre und Mengenlehre zur Fundierung der Logik verwendet.
Felixf hat ja schon Bourbaki angesprochen. Dass ich ihren Teil über Mengenlehre "genossen" habe ist schon eine Zeit her, aber soweit ich mich erinnern kann wird z.B. im Logik-Kapitel schon so etwas, wie Induktion über die Länge von Formeln gemacht, lange bevor es Mengen oder gar natürliche Zahlen gibt.
Außerdem definiert Bourbaki eine mathematische Aussage als eine spezielle Zeichenkette und wählt damit sozusagen die Kalligraphie als Grundlage, ebenso wie bei der Definition ihres [mm] $\tau$-Operators. [/mm] Wenn sogar Bourbaki so etwas machen musste, zeigt das wohl mehr als deutlich, dass ein "solides" Fundament Wunschtraum des beginnenden zwanzigsten Jahrhunderts ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 01.02.2015 | | Autor: | newb |
Danke für Eure Beiträge. Die Frage ist wahrscheinlich komplizierter als ich es mir am Anfang dachte.
Findet man die Mengenlehre von Bourbaki in der deutschen Sprachen? Leider bis jetzt nichts gefunden
Ich wollte zu dem Thema bisschen googeln und bin auf ein relativ interessantes Interview zum Thema Wahrheit, Methoden und wissenschaftliche Revolution mit einem Philosophie-Professor (prof. Misiek) gestoßen. Leider nicht auf Deutsch, deshalb habe ich einen Teil übersetzt. Die Übersetzung ist nicht die Beste, wiedergibt aber, das was gesagt wurde. Natürlich will ich damit nichts behaupten, da ich zum Thema selber wenig Ahnung habe, nur eine Position zeigen.
"Kann die Wissenschaft ohne Wahrheit existieren?
Ich bin der Meinung, dass die Wissenschaft doch die Wahrheit benötigt. In dem Moment muss ich das Thema wechseln und auf Mathematik zugreifen, die immer die Grundlage der Wissenschaft war, und ich denke, auch heute ist. Klassische Astronomie war Mathematik, die die Planeten beschrieben hat. Ähnlich wie die pythagoreische Theorie der Musik. Die Tatsache, dass die Mathematik den Kern der Wissenschaft bildet und andere Wissenschaften nur wissenschaftlich sind, solange die die Mathematik wirksam nutzen, finde ich als ein grundlegendes Erbe der Antike. Inzwischen im 20. Jahrhundert ist etwas, aus meiner Sicht, schreckliches passiert. Es ist eine philosophische Idee entstanden, die besagt Mathematik wäre keine Wissenschaft, sondern Theoreme der Mathematik sind gewisse analytische Wahrheiten, die die Sprache betreffen. Anders gesagt, diese Disziplin besagt nichts über die Wahrheit – wie Platon behauptet hat – sonder nur über sprachliche Konventionen. Es ist zu einer gefährlichen Situation gekommen, wo die Philosophen die Mathematiker überredeten, dass sie ein eigenartiges Wortspiel treiben, dass sie nur mit formalen Systemen hantieren.
Eine wichtige Rolle spielten wahrscheinlich dabei unter dem Namen Nicolas Bourbaki publizierende Mathematiker. Sie haben versucht nachzuweisen, dass sich die Mathematik auf die Logik und Mengentheorie bringen lässt, was ein schwächeres Programm von Frege und Russell, die versucht haben zu beweisen, dass man sie auf die Logik zurückführen kann, ist. Bourbaki ist es gelungen die Mathematiker, in Polen fast alle, davon zu überzeugen, dass diese Disziplin formale Theorien sind. Wenn wir uns ihre Arbeit angucken, dann sehen wir in ihr eine Schizophrenie: Sie erzählen über Mathematik was völlig anderes, was sie in der Realität ist. Wenn sie Mathematik entfalten, sehen sie fast Objekte, die sie erforschen, wenn sie sie vorlesen, präsentieren sie Mathematik als eine Menge formaler Theorien. Es ist gefährlich beispielsweise, weil so dargestellte Mathematik in der Schule unbeliebt ist, weil sie nicht intuitiv ist. Intuition ist etwas, was man aus der Mathematik, nach Auffassung der genannten Lehre, vertreiben soll.
…
Es ist eine sehr wichtige Frage: wird unser Wissen mithilfe der Sprache aufgebraucht, oder ist es größer? Alle behavioristische Richtungen besagen, dass das Danken eine leise Sprache ist. Mich überzeugt, in Bezug auf die Mathematik, die Position von Brouwer, dass die Mathematik eine außersprachliche Aktivität sei. Sie setzt sich aus Konstruktionen in unserem Gehirn, die nicht gebunden an die Sprache sind. Sprache benutzen wir nur um über die Konstruktionen zu kommunizieren. Wenn wir diese Position annehmen, dann können wir sagen, dass unser Wissen offensichtlich reicher und präziser ist, als das was man mithilfe der Sprache ausdrücken kann. [...]"
http://pressje.pl/media/pressje_shop/article/article_11_issue1.pdf
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> Danke für Eure Beiträge. Die Frage ist wahrscheinlich
> komplizierter als ich es mir am Anfang dachte.
>
> Findet man die Mengenlehre von Bourbaki in der deutschen
> Sprachen? Leider bis jetzt nichts gefunden
So weit ich weiß gibt es Bourbaki nur im Französischen Original und auf Englisch.
> Ich wollte zu dem Thema bisschen googeln und bin auf ein
> relativ interessantes Interview zum Thema Wahrheit,
> Methoden und wissenschaftliche Revolution mit einem
> Philosophie-Professor (prof. Misiek) gestoßen. Leider
> nicht auf Deutsch, deshalb habe ich einen Teil übersetzt.
> Die Übersetzung ist nicht die Beste, wiedergibt aber, das
> was gesagt wurde. Natürlich will ich damit nichts
> behaupten, da ich zum Thema selber wenig Ahnung habe, nur
> eine Position zeigen.
>
> "Kann die Wissenschaft ohne Wahrheit existieren?
>
> Ich bin der Meinung, dass die Wissenschaft doch die
> Wahrheit benötigt. In dem Moment muss ich das Thema
> wechseln und auf Mathematik zugreifen, die immer die
> Grundlage der Wissenschaft war, und ich denke, auch heute
> ist. Klassische Astronomie war Mathematik, die die Planeten
> beschrieben hat. Ähnlich wie die pythagoreische Theorie
> der Musik. Die Tatsache, dass die Mathematik den Kern der
> Wissenschaft bildet und andere Wissenschaften nur
> wissenschaftlich sind, solange die die Mathematik wirksam
> nutzen, finde ich als ein grundlegendes Erbe der Antike.
> Inzwischen im 20. Jahrhundert ist etwas, aus meiner Sicht,
> schreckliches passiert. Es ist eine philosophische Idee
> entstanden, die besagt Mathematik wäre keine Wissenschaft,
Hier würde ich einhaken und sagen, dass das auch stimmt. Für mich ist Mathematik eher Kunst als Wissenschaft. Für mich hat Wissenschaft einen Gegenstand, dessen Wissenschaft sie ist, und den sie erforscht. Zum Beispiel gibt es Literatur (die durch Künstler entstanden ist, aber das ist nicht wichtig), und wer Literatur untersucht ist Literaturwissenschaftler. Es gibt die Natur, wer die untersucht ist Naturwissenschaftler. Es gibt Landwirtschaft (die von Landwirten betrieben wird, aber das ist nicht wichtig) und wer Prinzipien der Landwirtschaft untersucht ist Agrarwissenschaftler.
Es "gibt" aber nicht die natürlichen Zahlen, zu denen man hingehen und sie untersuchen könnte. Die natürlichen Zahlen entstehen dadurch, dass jemand Axiome hinschreibt und manipuliert. Mathematik ist ein Schaffensprozess, kein Untersuchungsprozess. Ein Naturwissenschaftler schafft keine Natur. Ein Literaturwissenschaftler kann zwar Literatur schaffen, aber dann tut er das in der Rolle eines Literaten, die er parallel innehaben kann. Wenn er ein Werk untersucht, dann eines, das schon vorher da war.
> sondern Theoreme der Mathematik sind gewisse analytische
> Wahrheiten, die die Sprache betreffen.
>
> Anders gesagt, diese
> Disziplin besagt nichts über die Wahrheit – wie Platon
> behauptet hat – sonder nur über sprachliche
> Konventionen. Es ist zu einer gefährlichen Situation
> gekommen, wo die Philosophen die Mathematiker überredeten,
> dass sie ein eigenartiges Wortspiel treiben, dass sie nur
> mit formalen Systemen hantieren.
Ich denke, das Gegenteil ist gefährlich. Zu denken, dass etwas zur Wahrheit würde, indem man es mathematisch beweist. Wenn ich beweise, dass 2+2=4, dann heißt das NICHT, dass man vier Äpfel erhält, wenn man zuerst zwei nimmt und dann dazu nimmt, das ist reiner Zufall. Ich frage mich, was diejenigen Menschen sagen, die Mathematik für Wahrheit halten, sagen, wenn wir mal einen Widerspruch finden sollten. Natürlich, Mathematik bietet großartige Möglichkeiten, um unser Verständnis für die Wirklichkeit voranzubringen. Aber sie kann nicht die Wirklichkeit beschreiben oder gar erfassen. Es gibt mathematische Sätze, die, wenn richtig interpretiert, sich mit unserer Wahrnehmung der Realität decken. Aber was machen wir mit dem Banach-Tarski-Paradoxon? Das war einer der Gründe, dass Physiker das Auswahlaxiom angegriffen haben. Aber lasse ich mir als Mathematiker das Auswahlaxiom wegnehmen, weil irgendeine Interpretation irgendeines Satzes sich nicht mit der Realität deckt? Nein! Ich möchte, dass meine Vektorräume eine Basis besitzen, ich möchte eine schöne Theorie, ich bin Künstler!
> Eine wichtige Rolle spielten wahrscheinlich dabei unter dem
> Namen Nicolas Bourbaki publizierende Mathematiker. Sie
> haben versucht nachzuweisen, dass sich die Mathematik auf
> die Logik und Mengentheorie bringen lässt, was ein
> schwächeres Programm von Frege und Russell, die versucht
> haben zu beweisen, dass man sie auf die Logik
> zurückführen kann, ist. Bourbaki ist es gelungen die
> Mathematiker, in Polen fast alle, davon zu überzeugen,
> dass diese Disziplin formale Theorien sind. Wenn wir uns
> ihre Arbeit angucken, dann sehen wir in ihr eine
> Schizophrenie: Sie erzählen über Mathematik was völlig
> anderes, was sie in der Realität ist.
Das stimmt. Mathematik ist lebendige Schönheit, sind haufenweise verschiedene Objekte, die miteinander auf überraschendste Art und Weise interagieren, das haben Bourbaki mit ihrem Formalismus und ihrer sakrifizierten Mengenlehre verkannt. Mathematik ist mehr, Mathematik ist das, was jemand darin sieht, der eine mathematische Theorie entwickelt, sie ist nicht diese Theorie.
Interessanterweise war ja ein Großteil der Bourbaki-Mitglieder, von denen ja viele in der damals überaus aktiven Szene der französischen algebraischen Geometrie aktiv waren, diesen mengentheoretischen Weg schon bald wieder verworfen, weil klar wurde, dass Kategorientheorie die Zukunft der algebraischen Geometrie und verwandter Gebiete bestimmen würde. Aber weil Bourbaki ja nur tote Theorie verschriftlichte, musste man in dieser Monografie daran festhalten, was sie heute an vielen Stellen so hoffnungslos veraltet macht
> Wenn sie Mathematik
> entfalten, sehen sie fast Objekte, die sie erforschen, wenn
> sie sie vorlesen, präsentieren sie Mathematik als eine
> Menge formaler Theorien. Es ist gefährlich beispielsweise,
> weil so dargestellte Mathematik in der Schule unbeliebt
> ist, weil sie nicht intuitiv ist.
Jetzt wird nur noch als Mathematik zugelassen, was die Mehrheit der Schüler intuitiv findet? Na dann...
> Intuition ist etwas, was
> man aus der Mathematik, nach Auffassung der genannten
> Lehre, vertreiben soll.
Das stimmt nicht. Aber man muss die Intuition von der Realität lösen, die in keinem direkten Verhältnis zur Mathematik steht. Grothendieck hatte eine fantastische Intuition für kategorientheoretische Konzepte, hat Topostheorie und Homologische Algebra fast im Alleingang um Jahrzehnte vorangetrieben und man tut sich heute noch schwer, seine Gedanken in voller Tiefe zu verstehen. Ist das jetzt verboten, weil 99,999% der Menschen das nicht intuitiv findet, oder es sich nicht mit der Realität deckt?
> Es ist eine sehr wichtige Frage: wird unser Wissen mithilfe
> der Sprache aufgebraucht, oder ist es größer? Alle
> behavioristische Richtungen besagen, dass das Danken eine
> leise Sprache ist. Mich überzeugt, in Bezug auf die
> Mathematik, die Position von Brouwer, dass die Mathematik
> eine außersprachliche Aktivität sei. Sie setzt sich aus
> Konstruktionen in unserem Gehirn, die nicht gebunden an die
> Sprache sind. Sprache benutzen wir nur um über die
> Konstruktionen zu kommunizieren. Wenn wir diese Position
> annehmen, dann können wir sagen, dass unser Wissen
> offensichtlich reicher und präziser ist, als das was man
> mithilfe der Sprache ausdrücken kann. [...]"
Mathematik ist mehr, als wir sprachlich ausdrücken können, Mathematik ist aber vor allem auch mehr, als sich mit Intuition über die uns umgebende physikalische Realität verstehen lässt.
> http://pressje.pl/media/pressje_shop/article/article_11_issue1.pdf
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 So 01.02.2015 | | Autor: | newb |
> Hier würde ich einhaken und sagen, dass das auch stimmt.
> Für mich ist Mathematik eher Kunst als Wissenschaft. Für
> mich hat Wissenschaft einen Gegenstand, dessen Wissenschaft
> sie ist, und den sie erforscht. Zum Beispiel gibt es
> Literatur (die durch Künstler entstanden ist, aber das ist
> nicht wichtig), und wer Literatur untersucht ist
> Literaturwissenschaftler. Es gibt die Natur, wer die
> untersucht ist Naturwissenschaftler. Es gibt Landwirtschaft
> (die von Landwirten betrieben wird, aber das ist nicht
> wichtig) und wer Prinzipien der Landwirtschaft untersucht
> ist Agrarwissenschaftler.
>
> Es "gibt" aber nicht die natürlichen Zahlen, zu denen man
> hingehen und sie untersuchen könnte. Die natürlichen
> Zahlen entstehen dadurch, dass jemand Axiome hinschreibt
> und manipuliert. Mathematik ist ein Schaffensprozess, kein
> Untersuchungsprozess. Ein Naturwissenschaftler schafft
> keine Natur. Ein Literaturwissenschaftler kann zwar
> Literatur schaffen, aber dann tut er das in der Rolle eines
> Literaten, die er parallel innehaben kann. Wenn er ein Werk
> untersucht, dann eines, das schon vorher da war.
>
UniversellesObjekt, ich persönlich sehe das ein wenig anders. Mathematik ist eine Wissenschaft und das hat nichts mit deiner Empfindung zu tun. Du kannst die Mathematik auch als Kunst oder Musik bezeichnen, aber das wird in der Tatsache nichts ändern. Ich finde, die Mathematik hat selbstverständlich einen Gegenstand und das wäre mehr oder weniger die Realität. Die natürlichen Zahlen wurden im Kopf zwar geschaffen, aber der Vorgang wurde in enger Verbindung zur Realität vorgenommen.
> Ich denke, das Gegenteil ist gefährlich. Zu denken, dass
> etwas zur Wahrheit würde, indem man es mathematisch
> beweist. Wenn ich beweise, dass 2+2=4, dann heißt das
> NICHT, dass man vier Äpfel erhält, wenn man zuerst zwei
> nimmt und dann dazu nimmt, das ist reiner Zufall. Ich frage
> mich, was diejenigen Menschen sagen, die Mathematik für
> Wahrheit halten, sagen, wenn wir mal einen Widerspruch
> finden sollten. Natürlich, Mathematik bietet großartige
> Möglichkeiten, um unser Verständnis für die Wirklichkeit
> voranzubringen. Aber sie kann nicht die Wirklichkeit
> beschreiben oder gar erfassen. Es gibt mathematische
> Sätze, die, wenn richtig interpretiert, sich mit unserer
> Wahrnehmung der Realität decken. Aber was machen wir mit
> dem Banach-Tarski-Paradoxon? Das war einer der Gründe,
> dass Physiker das Auswahlaxiom angegriffen haben. Aber
> lasse ich mir als Mathematiker das Auswahlaxiom wegnehmen,
> weil irgendeine Interpretation irgendeines Satzes sich
> nicht mit der Realität deckt? Nein! Ich möchte, dass
> meine Vektorräume eine Basis besitzen, ich möchte eine
> schöne Theorie, ich bin Künstler!
Natürlich beschreibt die Mathematik die Wahrheit - siehe Physik. Hier kann man nicht zweifeln. Das ist kein reiner Zufall mit dem Apfel, sondern ein enger Bezug zur Realität. Du kannst nicht den Schülern sagen, dass sie keine Mathematik in der Grundschule treiben, da sie mithilfe von Äpfeln addieren.
> Das stimmt nicht. Aber man muss die Intuition von der
> Realität lösen, die in keinem direkten Verhältnis zur
> Mathematik steht. Grothendieck hatte eine fantastische
> Intuition für kategorientheoretische Konzepte, hat
> Topostheorie und Homologische Algebra fast im Alleingang um
> Jahrzehnte vorangetrieben und man tut sich heute noch
> schwer, seine Gedanken in voller Tiefe zu verstehen. Ist
> das jetzt verboten, weil 99,999% der Menschen das nicht
> intuitiv findet, oder es sich nicht mit der Realität
> deckt?
Es geht überhaupt nicht darum zu sagen, dass die Intuition nichts mit Mathematik zu tun hat, sondern dass sich die Mathematik so aufbauen lässt, wie manche dies versucht haben. Somit würde man vielleicht die Intuition in meisten Fällen für unnötig halten und die Mathematik auslaugen.
Mir ist übrigens auch nicht ganz klar, warum der systematische Aufbau, wie anscheinend der Professor behauptet, den wissenschaftlichen Charakter der Mathematik ändern würde.
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> UniversellesObjekt, ich persönlich sehe das ein wenig
> anders. Mathematik ist eine Wissenschaft und das hat nichts
> mit deiner Empfindung zu tun. Du kannst die Mathematik auch
> als Kunst oder Musik bezeichnen, aber das wird in der
> Tatsache nichts ändern.
An der Tatsache, dass deine Meinung und meine auseinandergehen nicht, das stimmt
> Ich finde, die Mathematik hat
> selbstverständlich einen Gegenstand und das wäre mehr
> oder weniger die Realität. Die natürlichen Zahlen wurden
> im Kopf zwar geschaffen, aber der Vorgang wurde in enger
> Verbindung zur Realität vorgenommen.
Ja, dass die Inspiration im Falle natürlicher Zahlen aus der Realität stammt, ist richtig. Aber wenn jemand topos-theoretische Logik, oder was weiß ich betreibt, würde ich das bezweifeln. Und obwohl es mit der Realität rein gar nichts zu tun hat, ob in irgendeinem dahergelaufenen Topos Tertium non Datur gilt oder nicht, hat keine Auswirkungen auf irgendjemandes Sicht auf die Realität. Dennoch gehört es genauso zur Mathematik wie Differentialgeometrie und all das, was Physiker gebrauchen, wenn sie die Realität im Hinterkopf haben.
> > Ich denke, das Gegenteil ist gefährlich. Zu denken, dass
> > etwas zur Wahrheit würde, indem man es mathematisch
> > beweist. Wenn ich beweise, dass 2+2=4, dann heißt das
> > NICHT, dass man vier Äpfel erhält, wenn man zuerst zwei
> > nimmt und dann dazu nimmt, das ist reiner Zufall. Ich frage
> > mich, was diejenigen Menschen sagen, die Mathematik für
> > Wahrheit halten, sagen, wenn wir mal einen Widerspruch
> > finden sollten. Natürlich, Mathematik bietet großartige
> > Möglichkeiten, um unser Verständnis für die Wirklichkeit
> > voranzubringen. Aber sie kann nicht die Wirklichkeit
> > beschreiben oder gar erfassen. Es gibt mathematische
> > Sätze, die, wenn richtig interpretiert, sich mit unserer
> > Wahrnehmung der Realität decken. Aber was machen wir mit
> > dem Banach-Tarski-Paradoxon? Das war einer der Gründe,
> > dass Physiker das Auswahlaxiom angegriffen haben. Aber
> > lasse ich mir als Mathematiker das Auswahlaxiom wegnehmen,
> > weil irgendeine Interpretation irgendeines Satzes sich
> > nicht mit der Realität deckt? Nein! Ich möchte, dass
> > meine Vektorräume eine Basis besitzen, ich möchte eine
> > schöne Theorie, ich bin Künstler!
>
> Natürlich beschreibt die Mathematik die Wahrheit - siehe
> Physik. Hier kann man nicht zweifeln. Das ist kein reiner
> Zufall mit dem Apfel, sondern ein enger Bezug zur
> Realität. Du kannst nicht den Schülern sagen, dass sie
> keine Mathematik in der Grundschule treiben, da sie
> mithilfe von Äpfeln addieren.
Zunächst einmal würde ich die Sicht von Grundschülern als eher nebensächlich einstufen, wenn man mathematikphilosophisch debattiert. Wir fragen ja auch keine Konditoren oder Ingenieure nach dem Wesen der Mathematik. Ausgewählte Bereiche stimmen richtig interpretiert mit der Realität überein, soweit wir das überblicken können. Andere Teile lassen sich überhaupt nicht interpretieren, noch andere, Banach-Tarski habe ich erwähnt, widersprechen, legt man dieselbe (!) Interpretation zugrunde.
Natürlich sehe ich, dass Physik funktioniert. Mein GPS-führt mich dahin, wo ich möchte, weil Einstein davon ausgegangen ist, dass die Mathematik, die er verwendet hat, die Realität beschreibt. Da bin ich auch froh drum, und es rechtfertigt, Mathematik für die Beschreibung der Realität zu verwenden. Aber daraus kann ich nicht ablesen, dass die natürlichen Zahlen, die ich im Kopf habe, wenn ich Zahlentheorie betreibe, mit der Realität verbandelt sind.
> > Das stimmt nicht. Aber man muss die Intuition von der
> > Realität lösen, die in keinem direkten Verhältnis zur
> > Mathematik steht. Grothendieck hatte eine fantastische
> > Intuition für kategorientheoretische Konzepte, hat
> > Topostheorie und Homologische Algebra fast im Alleingang um
> > Jahrzehnte vorangetrieben und man tut sich heute noch
> > schwer, seine Gedanken in voller Tiefe zu verstehen. Ist
> > das jetzt verboten, weil 99,999% der Menschen das nicht
> > intuitiv findet, oder es sich nicht mit der Realität
> > deckt?
>
> Es geht überhaupt nicht darum zu sagen, dass die Intuition
> nichts mit Mathematik zu tun hat, sondern dass sich die
> Mathematik so aufbauen lässt, wie manche dies versucht
> haben. Somit würde man vielleicht die Intuition in meisten
> Fällen für unnötig halten und die Mathematik auslaugen.
>
> Mir ist übrigens auch nicht ganz klar, warum der
> systematische Aufbau, wie anscheinend der Professor
> behauptet, den wissenschaftlichen Charakter der Mathematik
> ändern würde.
Ja, das sehe ich auch nicht. Ich finde nicht ganz klar, was er jetzt genau kritisiert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 01.02.2015 | | Autor: | newb |
> An der Tatsache, dass deine Meinung und meine
> auseinandergehen nicht, das stimmt
Es geht hier nicht um Meinung, sondern um eine allgemein anerkannte Tatsache.
> Ja, dass die Inspiration im Falle natürlicher Zahlen aus
> der Realität stammt, ist richtig. Aber wenn jemand
> topos-theoretische Logik, oder was weiß ich betreibt,
> würde ich das bezweifeln. Und obwohl es mit der Realität
> rein gar nichts zu tun hat, ob in irgendeinem
> dahergelaufenen Topos Tertium non Datur gilt oder nicht,
> hat keine Auswirkungen auf irgendjemandes Sicht auf die
> Realität. Dennoch gehört es genauso zur Mathematik wie
> Differentialgeometrie und all das, was Physiker gebrauchen,
> wenn sie die Realität im Hinterkopf haben.
Zum Thema Topos-theoretische Logik o.ä. kann ich nichts sagen. Das man etwas in der Realität nicht direkt widerspiegeln kann, bedeutet nicht, dass es direkt oder sogar indirekt auf bestimmten Wahrnehmungen der Realität aufbaut. Ein einfaches Beispiel sind die n-dimensionen, die man in der Realität nicht findet. Auch dass es Bereiche der Mathematik gibt die (noch) nicht oder nie in der Wirklichkeit gespiegelt werden, bedeutet nicht, dass das was sich in der Realität widerspiegeln lässt keine Mathematik ist. Anders gesagt, die Mathematik ist älter als irgendwelche Formalismen, Definitionen und Vorgehensweisen. Wenn wir sie (die Formalismen etc.) benutzten, dann erschaffen wir keine "neue Mathematik" oder erklären die alte für ungültig.
> Zunächst einmal würde ich die Sicht von Grundschülern
> als eher nebensächlich einstufen, wenn man
> mathematikphilosophisch debattiert. Wir fragen ja auch
> keine Konditoren oder Ingenieure nach dem Wesen der
> Mathematik. Ausgewählte Bereiche stimmen richtig
> interpretiert mit der Realität überein, soweit wir das
> überblicken können. Andere Teile lassen sich überhaupt
> nicht interpretieren, noch andere, Banach-Tarski habe ich
> erwähnt, widersprechen, legt man dieselbe (!)
> Interpretation zugrunde.
Wie gesagt, rechnen mit Äpfeln oder mit irgendwelchen Rechenhilfsmitteln war genauso eine Mathematik wie heute. Wir haben sie durch irgendwelche Formalismen nicht ungültig gemacht.
> Natürlich sehe ich, dass Physik funktioniert. Mein
> GPS-führt mich dahin, wo ich möchte, weil Einstein davon
> ausgegangen ist, dass die Mathematik, die er verwendet hat,
> die Realität beschreibt. Da bin ich auch froh drum, und es
> rechtfertigt, Mathematik für die Beschreibung der
> Realität zu verwenden. Aber daraus kann ich nicht ablesen,
> dass die natürlichen Zahlen, die ich im Kopf habe, wenn
> ich Zahlentheorie betreibe, mit der Realität verbandelt
> sind.
Man könnte Fragen, würden die natürlichen Zahlen in deinem Kopf existieren, wenn es die Realität nicht geben würde? Das eine Frage die wahrscheinlich keiner beantworten kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 01.02.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Ausgewählte Bereiche stimmen richtig
> interpretiert mit der Realität überein, soweit wir das
> überblicken können. Andere Teile lassen sich überhaupt
> nicht interpretieren, noch andere, Banach-Tarski habe ich
> erwähnt, widersprechen, legt man dieselbe (!)
> Interpretation zugrunde.
Ich sehe das Banach-Tarski-Paradoxon nicht als Widerspruch zur Realität.
In der Realität ist es anscheinend schlichtweg nicht möglich, Kugeln in nicht messbarer Weise zu teilen; die Mengen aus dem Banach-Tarski-Paradoxon sind in der physikalischen Realität anscheinend nicht wiederfindbar.
Insofern würde ich dieses Paradoxon dem Bereich zuordnen, der sich gar nicht in der Realität interpretieren lässt.
Viele Grüße
Tobias
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> Zunächst einmal würde ich die Sicht von Grundschülern
> als eher nebensächlich einstufen, wenn man
> mathematikphilosophisch debattiert. Wir fragen ja auch
> keine Konditoren oder Ingenieure nach dem Wesen der
> Mathematik.
Hallo U.O.
ich befürchte, dass du die Beziehung von Ingenieuren zur
Mathematik nicht richtig einschätzt. Zu einer Diskussion
über das Wesen, die Bedeutung und auch die Schönheit
der Mathematik würde ich unbedingt auch Ingenieure
einladen. Schließlich sind die Ingenieurwissenschaften
an einem ganz zentralen Punkt zwischen Mathematik
und ihren vielfältigen Einsatzmöglichkeiten für praktische
Zwecke. Auch die (mathematikhistorischen) Wurzeln
sehr vieler geometrischen und algebraischen Frage-
stellungen, die zur Entwicklung der mathematischen
Ideenwelt führten, gehen auf Leute zurück, die man
in heutiger Begrifflichkeit am besten als "Ingenieure"
(wenigstens im Nebenberuf) bezeichnen würde, oder
auf Mathematiker, die sich in sehr fruchtbarer Weise
von praktischen Fragestellungen aus der Technik zu
mathematischen Theorien anregen liessen. Ich nenne
da stellvertretend nur mal:
Archimedes, Heron von Alexandria, Leonardo da Vinci,
Galilei, Huygens, Simon Stevin, Robert Hooke, Euler,
Jakob und Daniel Bernoulli, Coulomb, Karl Culmann.
Ich weiß, es gibt leider auch "Ingenieure", die Mathe-
matik nur als ein notwendiges Übel betrachten.
Solchen Exemplaren der Zunft sollte man aber keine
Verantwortung über wichtige (und sicherheitsrelevante)
Werke überlassen !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mi 04.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hier würde ich einhaken und sagen, dass das auch stimmt.
> > Für mich ist Mathematik eher Kunst als Wissenschaft. Für
> > mich hat Wissenschaft einen Gegenstand, dessen Wissenschaft
> > sie ist, und den sie erforscht. Zum Beispiel gibt es
> > Literatur (die durch Künstler entstanden ist, aber das ist
> > nicht wichtig), und wer Literatur untersucht ist
> > Literaturwissenschaftler. Es gibt die Natur, wer die
> > untersucht ist Naturwissenschaftler. Es gibt Landwirtschaft
> > (die von Landwirten betrieben wird, aber das ist nicht
> > wichtig) und wer Prinzipien der Landwirtschaft untersucht
> > ist Agrarwissenschaftler.
> >
> > Es "gibt" aber nicht die natürlichen Zahlen, zu denen man
> > hingehen und sie untersuchen könnte. Die natürlichen
> > Zahlen entstehen dadurch, dass jemand Axiome hinschreibt
> > und manipuliert. Mathematik ist ein Schaffensprozess, kein
> > Untersuchungsprozess. Ein Naturwissenschaftler schafft
> > keine Natur. Ein Literaturwissenschaftler kann zwar
> > Literatur schaffen, aber dann tut er das in der Rolle eines
> > Literaten, die er parallel innehaben kann. Wenn er ein Werk
> > untersucht, dann eines, das schon vorher da war.
> >
>
> UniversellesObjekt, ich persönlich sehe das ein wenig
> anders. Mathematik ist eine Wissenschaft und das hat nichts
> mit deiner Empfindung zu tun. Du kannst die Mathematik auch
> als Kunst oder Musik bezeichnen, aber das wird in der
> Tatsache nichts ändern. Ich finde, die Mathematik hat
> selbstverständlich einen Gegenstand und das wäre mehr
> oder weniger die Realität. Die natürlichen Zahlen wurden
> im Kopf zwar geschaffen, aber der Vorgang wurde in enger
> Verbindung zur Realität vorgenommen.
diese ganze Diskussion ist hier doch sehr philosophisch. Einfach mal meine
Gedanken und mein Erleben dazu:
1. Ich arbeite und habe schon mit Ingenieuren, Informatikern, Physikern
etc. zusammengearbeitet. Ich kann nicht sagen, dass man Vereinheitlichen
kann, wie jemand die Mathematik *empfindet*. In der Praxis merkt man
halt oft, dass die *Praktiker* (sagen wir mal experimentelle Physiker) *meist*
die Mathematik *benutzen* wollen. Die darf ruhig auch theoretisch genutzt
werden, aber meist interessiert eher, ob etwas *funktioniert*, als dass
Interesse da ist, wo es denn herkommt. Oder sagen wir es mal so: Theorie,
die in der Praxis nicht so funktioniert, wie sie es doch laut Theorie sollte,
interessiert nicht. Wenn Theorie und Praxis in Einklang stehen, dann kann
auch die Theorie mal interessant sein.
(Das ist für mich nicht selbstverständlich; wenn bei mir Theorie und Praxis
nicht in Einklang stehen, suche ich meist danach, wo ich denn da in der
Theorie etwas falsch gemacht habe oder wie sich das erklären läßt. Ich
orientiere mich also erst an der Theorie, danach an der Praxis und verlasse
mich eher auf die Theorie als auf die Praxis!)
2. Es gibt Physiker, die teilweise theoretisch besser arbeiten als mancher
Mathematiker. Meiner Erfahrung nach haben diese aber gerade das, was
ich in Punkt 1 sagtte, dann doch: Bei denen ist die Theorie und die
praktische Erfahrung so verbandelt, dass sie meist in keinem der beiden
Gebiete großartige Fehler (Trugschlüsse) machen.
(Und so mancher theoretische Physiker ist doch genauso Mathematiker;
manchmal sogar mehr Mathematiker, als einer, der sich Mathematiker
schimpft. Numeriker sind, so glaube ich jedenfalls beobachtet zu haben,
lieber praxisorientiert. Machen viele Informatiker aber auch. Aber auch
da gibt es (sicher genug) Ausnahmen....)
3. Und das ist jetzt mehr meine Sicht: Meiner Meinung nach betreiben wir
jeden Tag Mathematik, und zwar jeder. Ein Standardbeispiel steht meist
dabei, wenn man injektive oder bijektive Funktionen *vorstellt*:
- Für jede Person gibt es einen Sitzplatz (im Idealfall bleibt kein Stuhl leer)
Dass man Mathematik in der Realität betreibt, heißt jetzt nicht, dass
die Realität nur Mathematik ist (man kann es auch andersherum formulieren).
Man versucht, *Konzepte* zu entwickeln. Ingenieure bzw. praktische
Physiker sind sicherlich überwiegend daran interessiert, dahingehend
etwas zu betreiben, was *auch etwas bringt*. Man kann es aber auch
rein aus Spaß machen (Rätsel lösen mache ich auch aus Spaß; und
strenggenommen bringt mir persönlich das ja auch etwas, von daher
kann man sagen, dass Mathematik irgendwie einem immer etwas bringt;
und wenn es nur der Frust oder doch die Lust ist  ).
Von daher sehe ich es so, dass man gar nicht direkt sagen kann, was
es nun ist. Für mich ist es einerseits so, wie UniOb es sagt: Man schafft
schon irgendwie etwas, und dafür braucht man auch gewisse Tricks und
Kniffe, wie ein Zauberer. Wirkt auf jedenfall schon wie *Kunst*.
Andererseits empfinde ich die Mathematik auch stark als Wissenschaft
(nehmen wir es doch mal Wort für Wort: da wird (meist theoretisches)
Wissen geschafft!);
sie schafft neue theoretische Erkenntnisse (manchmal wirken sie
*komisch*, wenn man sie in die Realität übernehmen will; aber ist da
dann nicht vielleicht der Fehler der, dass wir die Wirklichkeit, die sicher
kompliziert genug ist, doch nur als Modell bearbeiten wollen; wer weiß,
welche Aspekte wir in der Realität haben, die in unserem Modell fehlen;
Physiker machen doch auch nicht umsonst *Modellannahmen*, und dann
*Modellweiterentwicklungen* bzw. *Modellverfeinerungen*).
Im Endeffekt komme ich nur zu dem Schluss: Wenn ich persönlich sagen
will, was die Mathematik mit der Wirklichkeit und die Wirklichkeit mit der
Mathematik zu tun hat, so lehne ich mich doch sehr weit aus dem Fenster.
Sagen kann ich, was ich will, ich kann auch über mein persönliches Erleben
und meine Erfahrungen reden und daher meine Tendenz erklären. Aber
zu behaupten, dass ich das ganz genau weiß: Also ich bin der Meinung,
dass ich das erst darf, wenn ich die Wirklichkeit bis ins kleinste Detail
erforscht habe. Und dann wäre ich, was mein Wissen betrifft, gottesgleich.
Das will ich mir nicht anmaßen.
Von daher: Ich zähle die Mathematik am liebsten zu den Strukturwissenschaften.
Und das muss ich nicht so ernst nehmen, wie es definiert wird. Ich versuche,
falls notwendig, sowohl die Realität als auch meine Gedanken so in eine
Struktur zu bringen, dass ich damit *arbeiten* oder meinetwegen auch
*spielen* kann.
Denn was mir hier irgendwie auch ein wenig fehlt, ist das, was Einstein mal
sagte, ein wenig anders interpretiert: Man kann auch mit der Mathematik
*spielen*. Zu meiner Schulzeit habe ich Mathematik eigentlich fast immer
spielerisch betrieben, heutzutage ist es ein mehr oder weniger ernsteres
Spiel geworden. Aber die Spielregeln sind auch teilweise *strenger*, und
ich denke mir auch nicht mehr so oft manchen spielerischen Blödsinn aus.
P.S. Übrigens sagte mein Physiklehrer damals meist: "Sehen Sie, wie dieses
Modell und die Realität zusammenpassen? Da haben wir doch ein schönes
Modell gefunden, um, jedenfalls für unsere Zwecke, die Realität *gut*
approximieren zu können."
Er hat sich auch nicht angemaßt, zu sagen, dass wir nun die Realität
beschreiben. Strenggenommen muss man sogar sagen, dass die Theorie
und die statistischen Tests uns ein gutes Gefühl gegeben haben, dass
wir nun glaubten, so etwas tun zu können.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 So 01.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi,
ich kann es mir nicht verkneifen, hier auch noch den einen oder anderen Literaturhinweis unterzubringen:
Kamlah/Lorenzen, Logische Propädeutik (Vorschule des vernünftigen Redens)
und
Stegmüller, Metaphysik - Skepsis - Wissenschaft
Der Stegmüller-Titel war eine Empfehlung von Brieskorn, er gehört zu meinen ungelesenen Büchern.
Viel Spaß!
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 So 01.02.2015 | | Autor: | newb |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 01.02.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo newb und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Vielen Dank für deine sehr interessante Frage!
Ich vertrete diesbezüglich eine etwas andere Position als meine Vorredner. Ich lese aus deren Antworten vier Argumente gegen eine solide Grundlegung der Mathematik:
a) Zu großer Aufwand; man kommt zu nichts Interessantem.
b) Mengenlehre braucht Logik, Logik braucht Mengenlehre -> beides eignet sich nicht als Ausgangspunkt einer Grundlegung.
c) Irgendwann geht es nicht weiter runter / Grundlegung mit Zeichenketten ist immer noch unsolide.
d) Prinzipielle Grenzen durch Gödelsche Unvollständigkeits-Sätze.
Alle vier Argumente sprechen für mich nicht gegen eine solide Grundlegung.
Zu a):
Was ist interessant? Eine höchst subjektive Frage.
Ich finde es z.B. uninteressant, wenn der 135.943te nichttriviale Satz entdeckt und bewiesen wird und damit der Schatz des Mathematischen Wissens von 135.942 Resultaten auf 135.943 Resultate anwächst.
Hingegen beschäftigt mich schon seit Beginn meines Studiums bis heute die Frage nach einer befriedigenderen Grundlegung der Mathematik. Wir sind noch nicht einmal in der Lage, die natürlichen Zahlen, wie wir sie aus der Grundschule zu kennen meinen, präzise zu beschreiben!
Bedauerlicherweise wissen das nur die wenigsten Mathematiker und diejenigen, die es wissen, scheinen sich daran nicht zu stören (typische Aussage: "Solche Fragen waren früher mal interessant, heute ist so etwas veraltet.") oder haben schon aufgegeben, hier überhaupt weiter zu forschen ("Wunschtraum zu Beginn des 20. Jahrhunderts").
Mein Appell: Weitere Grundlagenforschung ist wenigstens einen Versuch wert!
Man vergleiche mal den hohen Aufwand, der für Erforschung irgendwelcher mathematischen Spezialgebiete betrieben wird mit den kaum öffentlich wahrnehmbaren Anstrengungen, wenigstens die natürlichen Zahlen aus der Grundschule besser zu erfassen.
Zu b):
PRÄDIKATENlogik der ersten Stufe kann sehr wohl rein syntaktisch inklusive syntaktischem Beweiskalkül ohne Mengenbegriff eingeführt werden.
Damit lassen sich "Spielregeln" bestehend aus einem prädikatenlogischen Kalkül und Mengenlehre-Axiomen formulieren, mit denen große Teile der heutigen Mathematik erfassbar sind.
Zu c):
Ich finde klare Spielregeln, die auf dem Begriff der Zeichenkette aufbauen, besser als gar keine oder völlig subjektive Spielregeln.
Zu d):
In der Tat zeigt der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz prinzipielle Grenzen oben von mir angedeuteten Spielregeln auf: Wir können leider mit ihnen im Falle der Konsistenz von ZFC leider nicht alles, was für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen tatsächlich gilt, für die (vermeintlichen) natürlichen Zahlen innerhalb der Mengenlehre beweisen.
Das spricht aber keineswegs gegen das Aufstellen der Spielregeln: Sie geben unsere derzeitigen Methoden der Untersuchung der natürlichen Zahlen wieder.
Wenn neue Methoden (z.B. neue Axiome für die natürlichen Zahlen oder gar ein Ersatz der Prädikatenlogik durch ein besseres Konzept) entdeckt werden sollten, kann man ja immer noch die Spielregeln anpassen.
Die Auseinandersetzung mit den Spielregeln würde auch dabei helfen, sich folgendes bewusst zu machen: Wenn es uns nicht gelingt, eine für die gewöhnlichen natürlichen Zahlen wahre arithmetische Aussage zu beweisen, kann es auch daran liegen, dass sie in ZFC nicht beweisbar ist, also unsere Methoden gar nicht ausreichen. Dann wäre es zwecklos, nach einem Beweis mit bisherigen Methoden zu suchen, sondern man müsste den Blick auf neue Methoden richten.
In diesem Sinne könnte Grundlagenforschung nicht nur einen Beitrag an sich liefern, sondern auch die "normale" mathematische Forschung beeinflussen.
Soweit mein Appell, Grundlagenforschung nicht ad acta zu legen.
Wenn Principia Mathematica und Bourbaki veraltet sind, wird es Zeit, dass neue vergleichbare Werke erscheinen!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 So 01.02.2015 | | Autor: | ne1 |
Hallo tobit09,
kannst Du mir vielleicht ein Buch zum Thema Aussagenlogik/Prädikatenlogik empfehlen, das einen systematischen Charakter hat? Einführung in die Logik von Beckermann fande ich sehr schön, leider wurden die Funktionssymbole weggelassen, deshalb war ich mit dem Buch unzufrieden. Im Endeffekt, weiss ich immer noch nicht warum man die sie in der Prädikatenlogik braucht :D.
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Hallo tobit09,
ich erkenne einige Bezüge auf das, was ich geschrieben habe. Wenn es so rüberkam, als würde ich Grundlegung unwichtig, uninteressant, oder irgendetwas in diese Richtung finden, ist das falsch rübergekommen. Dass ich einer Grundlegung durch die Mengenlehre etwas kritisch sehe ist richtig, weil die minimalistische Sprache, welche nur die Relation [mm] $\in$ [/mm] besitzt, meiner Meinung nach nicht geeignet ist, um das Wesen der Mathematik zu erfassen, selbst wenn es theoretisch möglich ist, alles auf diese Relation zurückzuführen. Viel besser spiegeln meiner Meinung nach kategorielle Rahmen, wie etwa ETCS, die mathematische Wirklichkeit wieder, in der man fast nie (abgesehen von der Mengenlehre) an Elementbeziehungen zwischen verschiedenen Mengen interessiert ist, sondern verschiedene Klassen von Objekten mithilfe von Morphismen in Beziehung setzt (auch in der Mengenlehre!). Ich kann wärmstens empfehlen, einmal den kurzen Artikel Rethinking Set Theory zu lesen. Falls du das tun solltest (es sind nur 10 Seiten), würde mich wirklich einmal deine persönliche Meinung zu den Vorschlägen, die da gemacht werden, interessieren.
Nichts desto trotz finde ich logische Grundlagenforschung furchtbar interessant, besonders in dem Topos-thoeretischen Rahmen, der seit einigen Jahren immer mehr in das Zentrum des Interesses rückt. Ich habe einen winzigen Teil von Sheaves in Geometry and Logic gelesen und ich bin fasziniert durch und durch, wie auf einmal fantastische Beziehungen zwischen Algebraischer Geometrie und Logik aufgedeckt werden. Diese Dinge geben Anlass dazu, alle möglichen alternativen Logiken innerhalb eines Topos zu untersuchen und zeigen, wie wertvoll dieses Feld auf einmal werden kann. Der Beweis zur Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese wird mit diesen Techniken ein Kinderspiel und völlig intuitiv und außerdem völlig anders als mit Forcing (so weit ich das beurteilen kann, da ich davon keine Ahnung habe).
Deinem Apell kann ich mich anschließen und ein modernes Bourbaki wäre großartig! Bourbaki hatte das Pech gerade in den 1940er angefangen zu haben, in der auch Mac Lane und Eilenberg und später Kan, Freyd und Co angefangen haben, die Sprache der reinen Mathematik zu ersetzen. Bourbaki war noch in der alten Sprache geschrieben, und ihre Definition von "Strukturen" (siehe Band 1) haben sie selbst kein einziges mal mehr verwendet, weil auch sie in ihrem mathematischen Alltag die Sprache der Kategorien verwendet haben.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> - Es sind schon umfangreiche Motivationen nötig, dass
> seine Konzepte das "Richtige" codieren. Sie erscheinen mir
> deutlich weniger intuitiv als ZFC. (Vermutlich siehst du
> dies vor dem Hintergrund deines stark
> Kategorien-theoretischen Interesses anders... )
Das mag sein. Dafür sind sie sofort in einer praxisfähigeren Weise formuliert. Den Nutzen sieht man zum Beispiel bei der Definition des Produktes [mm] $X\times [/mm] Y$. Die Elemente $z$ hiervon sind aus klassischer Sicht dadurch charakterisiert, dass es für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ und jedes [mm] $y\in [/mm] Y$ genau ein [mm] $z\in X\times [/mm] Y$ gibt mit $p_1z=x$ und $p_2z=y$, das ist "die Definition" des geordneten Paares. (Nicht die Definition, die man in ZFC benutzen würde, sondern die Definition, die man im ersten Semester erzählt bekommt.) Nun ersetzen wir einfach $x$ und $y$ durch Abbildungen und können daher allgemeiner formulieren: Für jedes [mm] $A\xrightarrow{\ \ f\ \ }X$ [/mm] und jedes [mm] $A\xrightarrow{\ \ g\ \ }Y$ [/mm] existiert genau ein [mm] $A\xrightarrow{\ \ h\ \ }X\times [/mm] Y$ mit $p_1h=f$ und $p_2h=g$. Dieses $h$ schreibe ich als [mm] $\begin{pmatrix}f&g\end{pmatrix}$. [/mm] Den Spezialfall erhalten wir durch [mm] $A=\{\operatorname{pt}\}$ [/mm] wieder.
So funktioniert auch die disjunkte Vereinigung, nur mit Pfeilen in umgekehrter Richtung: Für jedes [mm] $W\xrightarrow{\ \ f\ \ }A$ [/mm] und jedes [mm] $Z\xrightarrow{\ \ g\ \ }A$ [/mm] gibt es genau einen Pfeil [mm] $h=\begin{pmatrix}f\\g\end{pmatrix}\colon W\sqcup Z\longrightarrow [/mm] A$ mit [mm] $hi_1=f$ [/mm] und [mm] $hi_2=g$. [/mm] (Das nennt man Definition durch Fallunterscheidung.)
Was passiert, wenn wir vier Mengen [mm] $X_1,X_2,Y_1,Y_2$ [/mm] haben zusammen mit Abbildungen [mm] $X_1\xrightarrow{f_{11}}Y_1$, $X_1\xrightarrow{f_{12}}Y_2$, $X_2\xrightarrow{f_{21}}Y_1$ [/mm] und [mm] $Y_2\xrightarrow{f_{22}}Y_2$? [/mm] Nun, wir wissen, es gibt einen eindeutigen Pfeil [mm] $X_1\xrightarrow{\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\end{pmatrix}}Y_1\times Y_2$ [/mm] so, dass [mm] $p_1\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\end{pmatrix}=f_{11}$ [/mm] und [mm] $p_2\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\end{pmatrix}=f_{12}$ [/mm] und genauso gibt es einen Pfeil [mm] $X_2\xrightarrow{\begin{pmatrix}f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}}Y_1\times Y_2$. [/mm] Nun können wir die Eigenschaft der disjunkten Vereinigung verwenden und diese beiden Abbildungen zu einer Abbildung [mm] $X_1\sqcup X_2\xrightarrow{\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}\end{pmatrix}}Y_1\times Y_2$ [/mm] zusammensetzen.
Genauso könnten wir erst die Eigenschaft der disjunkten Vereinigung verwenden und dann die des Produktes, dann erhielten wir eine Abbildung
[mm] $X_1\sqcup X_2\xrightarrow{\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}\end{pmatrix}}Y_1\times Y_2$, [/mm] diese sind jedoch gleich, deswegen können wir einfach [mm] $\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}$ [/mm] schreiben.
Kehren wir nun noch einmal zum Anfang zurück und nehmen an, $A,X,Y$ sind Vektorräume und $f$ und $g$ sind linear. Die beiden Projektionen sind es auch, ebenso die Abbildung [mm] $\begin{pmatrix}f&g\end{pmatrix}$, [/mm] deswegen funktioniert das Produkt von Vektorräumen genauso.
Die disjunkte Vereinigung müssen wir jedoch durch die direkte Summe ersetzen, dann ist offensichtlich: Für lineare Abbildungen [mm] $W\xrightarrow{\ \ f\ \ }A$ [/mm] und [mm] $Z\xrightarrow{\ \ g\ \ }A$ [/mm] ist die Abbildung [mm] $W\oplus Z\xrightarrow{\ \ h\ \ }A$, $w+z\longmapsto [/mm] fx+gz$ linear, erfüllt [mm] $hi_1=f$ [/mm] und [mm] $hi_2=g$ [/mm] und ist eindeutig mit dieser Eigenschaft.
Indem wir unsere Argumentation von oben wiederholen, sehen wir: Lineare Abbildungen [mm] $X_1\xrightarrow{f_{11}}Y_1$, $X_1\xrightarrow{f_{12}}Y_2$, $X_2\xrightarrow{f_{21}}Y_1$ [/mm] können wir zu einer Matrix [mm] $X_1\oplus X_2\xrightarrow{\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}}X_1\times X_2$ [/mm] zusammensetzen, welche, wenn wir sie mit $h$ bezeichnen dadurch charakterisiert ist, dass [mm] $p_ihi_j=f_{ij}$ [/mm] für [mm] $i,j\in\{1,2\}$. [/mm] Nehmen wir nun an, dass [mm] $X_1,X_2,Y_1,Y_2$ [/mm] alle durch den Grundkörper $K$ gegeben sind. Die Abbildungen [mm] $K\longrightarrow [/mm] K$ sind dann alle durch ein Element von $K$, nämlich das Bild der Eins bestimmt, das heißt, die Abbildungen [mm] $K\oplus K\longrightarrow K\times [/mm] K$ sind durch vier Elemente aus $K$ bestimmt. Nun wissen wir aber, dass [mm] $K\oplus [/mm] K$ und [mm] $K\times [/mm] K$ kanonisch isomorph sind (präziser: die Matrix [mm] $\begin{pmatrix}{1&0\\0&1}\end{pmatrix}$ [/mm] ist ein Isomorphismus), das heißt wir können auch [mm] $K^2\longrightarrow K^2$ [/mm] schreiben und erhalten unseren üblichen Matrix-Begriff.
Meiner Meinung kann man nur durch eine solche Sichtweise verstehen warum all das funktioniert, was man schon im ersten Semester im Schlaf beherrscht. Und meiner Meinung nach sollte eine gute Definition dafür sorgen, dass man möglichst leicht versteht, warum die Definition das leistet, was sie leisten soll. Ein weiterer Vorteil ist der, dass wir oben gesehen haben, dass die ganze Geschichte, zum Beispiel auch für Mengen funktioniert. Sie funktioniert auch für $K$-Algebren, wenn wir die disjunkte Vereinigung bzw. direkte Summe durch das Tensorprodukt ersetzen. Sie funktioniert allgemeiner immer, wenn wir Produkte und Koprodukte zur Verfügung haben. Haben wir darüber hinaus zwischen je zwei Objekten einen Null-Morphismus (präziser gesprochen, ist unsere Kategorie angereichert über punktierten Mengen), und ist der Pfeil [mm] $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ [/mm] immer ein Isomorphismus, so haben wir Biprodukte und können auch Matrizenmultiplikation und Addition definieren und hieraus die gewohnten Formeln des Matrizenkalküls von Vektorräumen herleiten, anstatt es unmotiviert so einzuführen und nachzurechnen, dass es schöne Eigenschaften hat. Man kann dann Vieles der Linearen Algebra im Allgemeineren Rahmen von Kategorien mit Biprodukten herleiten, was zum Beispiel in der homologischen Algebra, die ja mit abelschen Kategorien arbeitet, welche alle Biprodukte besitzen, enorme Effizienz verspricht und Reslutate der linearen Algebra etwa auf abelsche-Gruppen-wertige Garben von topologischen Räumen anwendbar macht. Und das nur durch eine gute Definition!
Wie man oben sieht braucht man dafür aber nicht die ganze Maschinerie der Kategorientheorie, sondern alles kann auch ganz bescheiden elementar formuliert werden, es führt aber auf eine viel strukturiertere Herangehensweise. Meines Wissens gibt es keine Bücher zur linearen Algebra, die solche Sichtweisen betonen, was ich sehr schade finde. Man könnte aber mit der Mengenlehre, die ja immer noch am Anfang des Studiums steht (und es auch sollte) schon Akzente in die richtige Richtung setzen, was man auf keinen Fall tut, wenn es Aufgaben gibt, wo Studenten sich dumm und dämlich rechnen, um zu zeigen, dass die Kuratowskische Definition des geordneten Paares funktioniert, was ich immer wieder sehen muss.
Nun musste ich bemerken, dass ich sehr sehr weit vom Thema abgekommen bin und mehr geschrieben habe, als ich wollte, aber ich werde es nun stehen lassen, vielleicht kann ich ja den ein oder anderen Grund zur Motivation dieser Definitionen und die Anwendbarkeit in der Alltagsmathematik liefern.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 01.03.2015 | | Autor: | tobit09 |
Man spürt beim Lesen deine Begeisterung!
Wir sind uns anscheinend einig in Zielen wie
1. Praxisfähigkeit
2. Effizienz
3. das Warum verstehen
4. herleiten statt unmotiviert einführen und nachprüfen.
Für meinen Geschmack sprechen gerade diese Ziele gegen deine Herangehensweise und für die übliche Darstellung der linearen Algebra.
Zu 1.: Es gibt sicherlich Spezialgebiete (vermutlich Kategorientheorie und Algebraische Geometrie), in denen diese abstrakten Sichtweisen helfen. Der Großteil der Mathematiker wird aber wohl kaum bei einem intuitiv so einfachen Konzept wie dem des Paares an Dinge wie Kompositionen von Abbildungen und Einpunktmengen denken.
Zu 2.: Ich müsste jede Menge Arbeit investieren, um deine (knapp dargestellte) Argumentation zu durchdenken und zu verifizieren. (Der Beweis, dass das Kuratowskische Konzept des geordneten Paares das Gewünschte leistet, ist dagegen ein Klacks.) Und am Ende herausgekommen ist bei dem Riesenaufwand für die lineare Algebra gerade mal die Darstellung K-linearer Abbildungen [mm] $V\to [/mm] W$ durch Matrizen im Spezialfall [mm] $V=W=K^2$. [/mm] Dies erscheint mir für diese Zwecke äußerst ineffizient.
Zu 3.: Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen erklärt sich bei deiner Herangehensweise im Grunde durch zahlreiche abstrakte Lemmata, die mühsam nachzurechnen wären.
Dabei lässt sich das Warum doch sehr konkret beschreiben: Lineare Abbildungen [mm] $V\to [/mm] W$ sind durch die Bilder von Elementen einer Basis von V eindeutig bestimmt und diese Bilder lassen sich in Koeffizienten bezüglich einer Basis von W darstellen. Indem wir diese Koeffizienten geeignet in einer Matrix anordnen, erhalten wir eine "Repräsentation" der linearen Abbildung.
Zu 4.: Bei deiner Herangehensweise kommen zunächst jede Menge scheinbar unmotivierte Zusammenhänge, bevor die eigentliche Aussage für die lineare Algebra vom Himmel fällt.
Behalte deine Begeisterung für "deine" Herangehensweise! Sie ist zwar für eine Erstsemester-Veranstaltung Lineare Algebra völlig ungeeignet, aber für deine angestrebte mathematische Spezialisierung wird sie dir vermutlich sehr helfen und ist ein großer Schatz!
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Ich möchte ganz kurz noch diese aktuelle Diskussion auf dem Matheplaneten verlinken, die sich in eine ähnliche Richtung wie unsere entwickelt hat, wo auch viele gute Argumente genannt werden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mi 04.03.2015 | | Autor: | tobit09 |
Danke für den interessanten Link!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Mo 02.02.2015 | | Autor: | newb |
Es ist mir aufgefallen, dass mir wahrscheinlich gewisse Grundlagen fehlen um mir Gedanken zu dem Thema zu machen.
Ich habe mir die Themen "Principia Mathematica" und "Gödelscher Unvollständigkeitssatz" kurz angeguckt. Wenn ich das richtig verstanden habe, haben die Mathematiker in der Prinzipia Mathematica versucht die Mathematik auf Basis der Logik mit rein syntaktischen Formeln aufzubauen. Besagt der gödelsche Unvollständigkeitssatz also das es sich nicht beweisen lässt, ob dieser Aufbau der Mathematik sinnvoll ist? Jetzt verstehe ich auch mehr was der Professor gemeint hat: "Die Herleitung der Mathematik aus der Logik sollte einige bis dahin verbreitete Anschauungen über das Wesen mathematischer Erkenntnisse widerlegen, nämlich, dass diese weder empirisch noch synthetisch apriorisch sind (Letzteres hatte Kant angenommen), sondern sprachlicher Natur und damit formallogisch begründbar, also analytisch apriorisch." (wikipedia). Haben Bourbaki auch versucht die Mathematik syntaktisch zu begründen?
Jetzt muss ich aber auch deutlich sagen, dass es mir überhaupt nicht darum ging, als ich das Thema erstellt habe, sich Gedanken zum syntaktischen Aufbau der Mathematik zu machen. Gemeint war eigentlich nur eine kontinuierliche Strukturierung der Mathematik, und die Frage ob sie überhaupt möglich und sinnvoll ist. Damit hatte ich nicht vor den empirischen Bezug zu verlieren. Ich persönlich sehe hier auch keinen Vorteil, auch wenn ich mir vorstellen kann, dass solche Untersuchungen wie Prinzipia Mathematica eine wichtige Rolle für die gesamte Mathematik spielen.
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