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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Für a,b [mm] \in [/mm] R nennt man a Teiler von b (in R), wenn es ein c in R gibt mit b = c [mm] \* [/mm] a, Bezeichnung: a|b. Zeigen Sie, dass für alle a,b,c,d [mm] \in [/mm] R gilt:
Aus a|b und b [mm] \in [/mm] R* folgt a [mm] \in [/mm] R*. |
Ich weiß:
[mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] R mit
b=s [mm] \* [/mm] a , ??? [mm] \Rightarrow
[/mm]
...
... [mm] \Rightarrow [/mm] b = (b [mm] \* a^{-1} [/mm] )a = b
Also a [mm] \in [/mm] R* sieht so aus b = (b [mm] \* a^{-1} [/mm] )a = b.
Wie sieht b [mm] \in [/mm] R* aus?
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Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Für a,b [mm]\in[/mm] R
> nennt man a Teiler von b (in R), wenn es ein c in R gibt
> mit b = c [mm]\*[/mm] a, Bezeichnung: a|b. Zeigen Sie, dass für
> alle a,b,c,d [mm]\in[/mm] R gilt:
>
> Aus a|b und b [mm]\in[/mm] R* folgt a [mm]\in[/mm] R*.
> Ich weiß:
>
> [mm]\exists[/mm] s [mm]\in[/mm] R mit
> b=s [mm]\*[/mm] a , ??? [mm]\Rightarrow[/mm]
> ...
> ... [mm]\Rightarrow[/mm] b = (b [mm]\* a^{-1}[/mm] )a = b
?
>
> Also a [mm]\in[/mm] R* sieht so aus b = (b [mm]\* a^{-1}[/mm] )a = b.
> Wie sieht b [mm]\in[/mm] R* aus?
Du hast doch [mm] $b\in R^\*$ [/mm] gegeben und sollst [mm] $a\in R^\*$ [/mm] folgern:
Nicht andersrum.
Aus Voraussetzung a|b folgt
[mm] $b=c\* [/mm] a$
mit [mm] c\in [/mm] R.
Weiterhin ist [mm] $b\in R^\*$, [/mm] es gibt also [mm] b^{-1} [/mm] mit [mm] b^{-1}*b=1. [/mm] Wende nun [mm] b^{-1} [/mm] linksseitig auf obige Gleichung an.
LG
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> Du hast doch [mm]b\in R^\*[/mm] gegeben und sollst [mm]a\in R^\*[/mm]
> folgern:
> Nicht andersrum.
>
Das stimmt, aber aus der vorigen Teilaufgabe, die ich hier nicht gepostet habe, weiß ich, dass a [mm]\in[/mm] R* so aussieht b = (b [mm] \* a^{-1}[/mm] )a = b.
> Aus Voraussetzung a|b folgt
>
> [mm]b=c\* a[/mm]
>
> mit [mm]c\in[/mm] R.
> Weiterhin ist [mm]b\in R^\*[/mm], es gibt also [mm]b^{-1}[/mm] mit
> [mm]b^{-1}*b=1.[/mm] Wende nun [mm]b^{-1}[/mm] linksseitig auf obige
> Gleichung an.
>
Da kommt aber wieder b=c [mm] \* [/mm] a oder? Wenn ich deine Gleichung umstelle kommt b= [mm] \bruch{1}{b^{-1}} [/mm] =b raus. Soweit war ich aber auch schon, aber damit bin ich nicht zum Ergebnis gekommen.
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:39 Fr 18.11.2011 | | Autor: | schmidti91 |
Ich hatte das als Lösung:
[mm] \exists [/mm] s [mm] \in [/mm] R mit
b=s [mm] \* [/mm] a , b = (a [mm] \* b^{-1} [/mm] )a [mm] \Rightarrow
[/mm]
b=s [mm] \* [/mm] a , b = [mm] \bruch{a^{2}}{b} \Rightarrow
[/mm]
b=s [mm] \* [/mm] a , [mm] b^{2} [/mm] = [mm] a^{2} \Rightarrow
[/mm]
b=s [mm] \* [/mm] a , b = a [mm] \Rightarrow
[/mm]
b = (b [mm]\* a^{-1}[/mm] )a = b
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> > Du hast doch [mm]b\in R^\*[/mm] gegeben und sollst [mm]a\in R^\*[/mm]
> > folgern:
> > Nicht andersrum.
> >
> Das stimmt, aber aus der vorigen Teilaufgabe, die ich hier
> nicht gepostet habe, weiß ich, dass a [mm]\in[/mm] R* so aussieht b
> = (b [mm]\* a^{-1}[/mm] )a = b.
Das ist klar, weil [mm] a^{-1}\*a=1, [/mm] wenn [mm] a\in R^\*
[/mm]
>
>
> > Aus Voraussetzung a|b folgt
> >
> > [mm]b=c\* a[/mm]
> >
> > mit [mm]c\in[/mm] R.
> > Weiterhin ist [mm]b\in R^\*[/mm], es gibt also [mm]b^{-1}[/mm] mit
> > [mm]b^{-1}*b=1.[/mm] Wende nun [mm]b^{-1}[/mm] linksseitig auf obige
> > Gleichung an.
> >
> Da kommt aber wieder b=c [mm]\*[/mm] a oder? Wenn ich deine
> Gleichung umstelle kommt b= [mm]\bruch{1}{b^{-1}}[/mm] =b raus.
> Soweit war ich aber auch schon, aber damit bin ich nicht
> zum Ergebnis gekommen.
Nein, dann steht da
[mm] $b^{-1}\*b=b^{-1}\*c\* [/mm] a$,
also [mm] $1=b^{-1}\*c\* [/mm] a$, weswegen [mm] b^{-1}\*c [/mm] multiplikatives Inverses von a ist.
Gute Nacht!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:12 Fr 18.11.2011 | | Autor: | schmidti91 |
Danke für deine Antwort und sorry, dass ich nochmal frage, aber so ganz hat sich mir die Sache noch nicht erschlossen. Ist meine Lösung aus der Mitteilung auch richtig?
> > Das stimmt, aber aus der vorigen Teilaufgabe, die ich hier
> > nicht gepostet habe, weiß ich, dass a [mm]\in[/mm] R* so aussieht b
> > = (b [mm]\* a^{-1}[/mm] )a = b.
> Das ist klar, weil [mm]a^{-1}\*a=1,[/mm] wenn [mm]a\in R^\*[/mm]
> >
> >
> > > Aus Voraussetzung a|b folgt
> > >
> > > [mm]b=c\* a[/mm]
> > >
> > > mit [mm]c\in[/mm] R.
> > > Weiterhin ist [mm]b\in R^\*[/mm], es gibt also [mm]b^{-1}[/mm] mit
> > > [mm]b^{-1}*b=1.[/mm] Wende nun [mm]b^{-1}[/mm] linksseitig auf obige
> > > Gleichung an.
> > >
> > Da kommt aber wieder b=c [mm]\*[/mm] a oder? Wenn ich deine
> > Gleichung umstelle kommt b= [mm]\bruch{1}{b^{-1}}[/mm] =b raus.
> > Soweit war ich aber auch schon, aber damit bin ich nicht
> > zum Ergebnis gekommen.
> Nein, dann steht da
>
> [mm]b^{-1}\*b=b^{-1}\*c\* a[/mm],
>
> also [mm]1=b^{-1}\*c\* a[/mm], weswegen [mm]b^{-1}\*c[/mm] multiplikatives
> Inverses von a ist.
>
> Gute Nacht!
Kann man das auch in der Form von der vorherigen Teilaufgabe formulieren?
Also so, wie ich das in der Mitteilung gemacht habe?
Ich verstehe nicht, wie man aus der Gleichung einfach das [mm] b^{-1}\*c [/mm] rausnehmen kann. Was passiert dann mit dem a und
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Fr 18.11.2011 | | Autor: | schmidti91 |
Okay, jetzt hat es Klick gemacht. Danke nochmal.
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