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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Gegeben seien die Menge L aller Lösungen einer Gleichung der Form ax + by = 0
(mit Koeffizienten a, b [mm] \in \IR, [/mm] wobei mindestens einer der Koeffizienten a, b von Null verschieden ist):
[mm] L = { (x; y) | x, y \in \IR; ax + by = 0; a, b \in \IR; a \not= 0 \vee b\not= 0}[/mm]
und auf dieser Menge folgende additive Verknüpfung:
(x1; y1) + (x2; y2) := (x1+x2 ; y1+y2).
a) Weisen Sie nach, dass (L,+) eine Gruppe ist.
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Also ich hab damit so meine Probleme:
Generell weiß ich, dass man zeigen muss, dass die Gruppe:
- abgeschlossen ist für alle a,b [mm] \in [/mm] G ist auch a o b [mm] \in [/mm] G. Stimmt hier?: für alle (x1; y1), (x2; y2) [mm] \in [/mm] ist (x1; y1), + (x2; y2) [mm] \in [/mm] (L, +) denn die Addition von 2 reellen Zahlen ergibt eine reelle Zahl
- ein neutrales Element besitzt es ex. ein e [mm] \in [/mm] G mit a o e = a für alle a [mm] \in [/mm] G. Hier?: (0; 0) mit (x1; y1) + (0; 0) = (x1; y1) für alle (x1; y1) [mm] \in [/mm] (L, +).
- Inverse Elemente hat, genauer: zu jedem a [mm] \in [/mm] G ex. ein [mm] a^{-1} [/mm] so, dass a o [mm] a^{-1} [/mm] = e. Hier?: zu jedem (x; y) [mm] \in [/mm] (L, +) ist das inverse dazu (-x; -y) denn (x; y) + (-x; -y) = e = (0; 0).
- assoziativ ist: hier: für alle (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3): gilt:
o ((x1; y1) + (x2; y2)) + (x3; y3) = (x1; y1) + ((x2; y2) + (x3; y3))
o denn es gilt die Assoziativität in R und somit auch hier.
Könnte jemand sagen ob man das soweit stehen lassen kann?
Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | c) Beweisen Sie, dass (L,+) isomorph zu (R, +) ist. Betrachten Sie dabei nur den
Fall, dass beide Koeffizienten a, b von Null verschieden sind. |
Antwort:
Könnte mir jemand weiterhelfen. Ich weiß nicht so recht wie das gehen soll.
Es muss ein bijektiver Homomorphismus zwischen (L, +) und (R, +) existieren. Dann liegt ein Isomorphismus vor. Für einen Gruppenhomomorphismus muss gelten:
f(g1 o g2) = f(g1) o f(g2)
Ich denke ich muss jetzt eine Abbildungsvorschrift angeben:
f(x; y) = x
Wenn ich nun überprüfe ob ein Homom. vorliegt, dann wie folgt?:
f((x1; y1) + (x2; y2)) = f(x1 + x2; y1 + y2) = x1 + x2
und
f(x1; y1) + f(x2; y2) = x1 + x2
Ist das richtig? Und wie zeige ich die Bijektivität? Ich meine ich ahne schon, dass das jedes Bild genau ein Urbild hat aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll. Über Hilfe würde ich mich freuen.
Vielen Dank im voraus.
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> c) Beweisen Sie, dass (L,+) isomorph zu (R, +) ist.
> Betrachten Sie dabei nur den
> Fall, dass beide Koeffizienten a, b von Null verschieden
> sind.
> Antwort:
>
> Könnte mir jemand weiterhelfen. Ich weiß nicht so recht wie
> das gehen soll.
> Es muss ein bijektiver Homomorphismus zwischen (L, +) und
> (R, +) existieren. Dann liegt ein Isomorphismus vor. Für
> einen Gruppenhomomorphismus muss gelten:
>
> f(g1 o g2) = f(g1) o f(g2)
>
> Ich denke ich muss jetzt eine Abbildungsvorschrift
> angeben:
>
> f(x; y) = x
>
> Wenn ich nun überprüfe ob ein Homom. vorliegt, dann wie
> folgt?:
>
> f((x1; y1) + (x2; y2)) = f(x1 + x2; y1 + y2) = x1 + x2
>
> und
>
> f(x1; y1) + f(x2; y2) = x1 + x2
>
> Ist das richtig? Und wie zeige ich die Bijektivität? Ich
> meine ich ahne schon, dass das jedes Bild genau ein Urbild
> hat aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll.
Hallo,
die Surjektivität ist ja völlig klar.
Überlegen muß man die Injektivität.
Nimm also ann, daß es (x,y), (x', y') [mm] \in [/mm] L gibt mit
f(x,y)=f(x',y').
Aufgrund der Def. Deines Homomorphismus f folgt daraus, daß x=x'.
Nun mußt Du noch zeigen, daß auch die zweiten Komponenten übereinstimmen.
Der Schlüssel liegt darin, daß ja (x,y), (x', y') [mm] \in [/mm] L sind.
Es gilt für diese Zahlenpaare also ax+by=0 und a'x+by'=0.
Daß x und x' gleich sind, weißt Du schon...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Angela,
dankschön für Deine freundliche Hilfe.
Also Du sagst: "Die Surjektivität ist ja völlig klar."
Warum ist das so klar? Und reicht es wenn ich das so hinschreiben würde?
Injektivität
Also,
angenommen es gibt (x,y), (x', y') [mm] \in [/mm] L mit f(x,y)=f(x',y').
Aufgrund der Def. des Homomorphismus f folgt daraus, daß x=x'.
Es gilt:
ax+by=0 und
ax+by'=0. Da x und x gleich sind folgt daraus:
ax+by=0 und
a'x+by'=0 sind ebenfalls gleich und somit ist f auch injektiv.
Ist die Injektivität damit gezeigt?
Danke fürs Nachschauen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 18.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Also Du sagst: "Die Surjektivität ist ja völlig klar."
> Warum ist das so klar?
"klar" ist rein subjektiv. Was für Angela klar ist, muß für dich noch lange nicht klar sein.
Was für meinen Prof. "klar" war, kostete mich zT Stunden... das ist ganz normal.
f ist die Projektion auf die erste Koordinate: $f((x,y)) = x$.
Sei nun $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig gewählt.
Da wir gemäß Aufgabenstellung annehmen dürfen, daß $b [mm] \neq [/mm] 0$ gilt, setzen wir $y := [mm] -\frac{a}{b} [/mm] * x$.
Dann ist $(x, y) [mm] \in [/mm] L$ (überprüfe es durch Einsetzen!) und $f((x,y)) = x.$
Damit existiert zu jedem $x [mm] \in \IR$ [/mm] ein $(x,y) [mm] \in [/mm] L$ mit $f((x,y)) = x$ und f ist surjektiv.
> Injektivität
> Also,
>
> angenommen es gibt $(x,y), (x', y') [mm] \in [/mm] L$ mit f(x,y)=f(x',y').
>
> Aufgrund der Def. des Homomorphismus f folgt daraus, daß
> x=x'.
>
> Es gilt:
> ax+by=0 und
> ax+by'=0. Da x und x gleich sind folgt daraus:
bis hierher ist deine Beweisführung sehr schön!
> ax+by=0 und
hier wiederholst du dich.
> a'x+by'=0 sind ebenfalls gleich und somit ist f auch
> injektiv.
das überzeugt mich jetzt nicht mehr.
Du mußt einfach nur zeigen, daß y = y' gilt.
Löse dazu ax + by = 0 nach y auf und ax' + by' = 0 nach y'.
Wegen x = x' hast du es dann.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Will, danke nochmals. Habs jetzt so gemacht wie du es sagtest bezügl. Injektivität:
.
.
.
ax + by = 0
y = -a/b * x
und ax' + by' = 0
y' = -a/b *x
Da x=x' gilt
auch y = y'.
Müsste doch so stimmen und damit c) komplett sein.
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Hallo Fanomos,
> Hallo Will, danke nochmals. Habs jetzt so gemacht wie du es
> sagtest bezügl. Injektivität:
>
> .
> .
> .
> ax + by = 0
> y = -a/b * x
>
> und ax' + by' = 0
> y' = -a/b [mm] *x\red{'}$ [/mm] \ [mm] =-\frac{a}{b}\cdot{}x$
[/mm]
>
> Da x=x' gilt
> auch y = y'. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Müsste doch so stimmen und damit c) komplett sein.
Ja, so passt es
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Dankeschön, schachuzipus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | d) Begründen Sie, dass L = { (x; y) | x, y [mm] \in \IR; [/mm] ax + by + c = 0 ; a, b, c [mm] \in \IR} [/mm] im Allgemeinen keine Gruppe ist.
e) Ist [mm] (L,\circ) [/mm] mit (x1; y1) [mm] \circ [/mm] (x2; y2) := (x1 * x2 ; y1 * y2) eine Gruppe? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Wie muss ich hier vorgehen? Ich kann mir das nicht so recht vorstellen. Bei d) müsste man einfach zeigen können, dass L i. Allg. nicht abgeschlossen oder assoziativ ist. Oder dass ein Element kein inverses besitzt oder kein neutrales Element vorhanden ist. Ich weiß aber nicht wie.
Bei e) hab ich keine Idee. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Großen Dank für die Hilfe.
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> d) Begründen Sie, dass $L = [mm] \{ (x; y) | x, y \in \IR; ax + by + c = 0 ; a, b, c \in \IR\}$ [/mm] im Allgemeinen keine Gruppe
> ist.
>
> e) Ist [mm](L,\circ)[/mm] mit (x1; y1) [mm]\circ[/mm] (x2; y2) := (x1 * x2 ;
> y1 * y2) eine Gruppe? Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> Wie muss ich hier vorgehen? Ich kann mir das nicht so recht
> vorstellen. Bei d) müsste man einfach zeigen können, dass
> L i. Allg. nicht abgeschlossen oder assoziativ ist. Oder
> dass ein Element kein inverses besitzt oder kein neutrales
> Element vorhanden ist. Ich weiß aber nicht wie.
Am einfachsten ist es zu zeigen, dass für [mm] $c\neq [/mm] 0$ offenbar das additive Neutralelement $(0,0)$ von [mm] $(\IR^2,+)$ [/mm] nicht in $L'$ liegt.
> Bei e) hab ich keine Idee. Vielleicht kann mir jemand
> helfen.
Die Antwort auf e) hängt davon ab, ob $x,y$ beliebig [mm] $\in \IR$ [/mm] sind. Falls ja, dann hat $(0,0)$ kein Inverses und es liegt also keine Gruppe vor. Wie aber, wenn [mm] $x,y\in \IR\backslash \{0\}$ [/mm] sind?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo somebody,
wieder einmal herzlichen Dank für Deine Hilfe. Ich hoffe ich hab hier ne Lösung für die Teilaufgabe d.
Antwort:
Für alle (x; y) [mm] \in [/mm] L gilt (x; y) + e = (x; y) mit e = (0; 0)
Zu zeigen ist, dass das Neutralelement in L liegt.
Falls c = 0:
0*x + 0*y + 0 = 0
Falls c [mm] \not= [/mm] 0:
0*x + 0*y + c = 0
c = 0 Widerspruch!
Somit liegt das additive Neutralelement nicht (0; 0) nicht in L und damit ist L keine Gruppe.
Stimmt das?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mo 18.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
inhaltlich gesehen ist das OK.
Von der Form her hättest du es einfacher haben können.
Du mußt keinen "Beweis" führen um eine Allaussage zu widerlegen.
Es reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels:
(0,0) kommt offenbar als einziges Element des [mm] $\IR^2$ [/mm] als neutrales Element von (L, °) in Frage.
Aber $a * 0 + b * 0 + c = c [mm] \neq [/mm] 0$, falls $c [mm] \neq [/mm] 0$ ist und damit $(0,0) [mm] \notin [/mm] L$ für $c [mm] \neq [/mm] 0$. Fertig.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
auch hier großen Dank Will,
Du hast Recht. Immer schön kurz und bündig und dann passt das.
Schöne Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hier meine Umsetzung zur Teilaufgabe e).
Kann sich das mal jemand ansehen?
Falls x,y beliebig [mm] \in [/mm] R sind, so hat (0,0) kein Inverses Element.
D.h. es ex. kein $(0; [mm] 0)^{-1} \in [/mm] L$, sodass [mm](0; 0) o (0; 0)^{-1}=e=(1; 1)[/mm]
--> (1; 1) als neutrales Element in (L, o).
Falls x,y beliebig [mm]\in \IR \backslash 0[/mm] sind?:
In diesem Fall wäre L eine Gruppe denn da die Null ausgeschlossen ist wären die Gruppenaxiome erfüllt.
Vielen Dank für die zahlreichen Mühen.
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> Hier meine Umsetzung zur Teilaufgabe e).
Hallo,
es geht doch hier um folgendes:
man hat a,b [mm] \not=0 [/mm] vorgegeben und betrachtet nun die Menge [mm] L:=\{(x,y)\in \IR² | ax+by=0\}
[/mm]
Weiter ist auf L eine Verknüpfung [mm] \circ [/mm] definiert wie folgt:
[mm] (x_1,x_2)\circ (x_2, y_2):= (x_1x_2 [/mm] , [mm] y_1y_2) [/mm] für alle [mm] (x_1,x_2), (x_2, y_2)\in [/mm] L.
Das erste, was man zu untersuchen hat, wenn man die Frage klären will, ob L mit dieser Verknüpfung eine Gruppe ist, ist doch die Abgeschlossenheit.
Du mußt also schauen, ob für alle [mm] (x_1,x_2), (x_2, y_2)\in [/mm] L auch [mm] (x_1x_2 [/mm] , [mm] y_1y_2) [/mm] in L liegt, und Du wirst feststellen, daß i.d.R. nicht der Fall sein wird.
Überlege Dir zunächst, welche Gestalt die Zahlenpaare aus L haben.
Zu Deiner Lösung:
> D.h. es ex. kein [mm](0; 0)^{-1} \in L[/mm], sodass [mm](0; 0) o (0; 0)^{-1}=e=(1; 1)[/mm]
>
> --> (1; 1) als neutrales Element in (L, o).
Das ist gewagt! Wer garantiert Dir denn, daß (1,1) überhaupt in L ist?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Angela,
danke für Deine Hilfe!
Ich versuche mal das umzusetzen was Du gesagt hast:
Abgeschlossenheit:
Gilt für alle ( [mm] x_1,x_2), (x_2, y_2) \in [/mm] L auch [mm] (x_1x_2, y_1y_2) \in [/mm] L?
Also, es gilt:
[mm] ax_1 [/mm] + [mm] by_1 [/mm] = 0
[mm] ax_2 [/mm] + [mm] by_2 [/mm] = 0
zu zeigen: [mm] a(x_1*x_2)+ b(y_1*y_2)=0 [/mm]?
--> [mm] (ax_1 *ax_2) + (by_1 * by_2)=[/mm]
Ist das der richtige Ansatz? Ich komm aber nicht weiter. Hm. Vielleicht kannst Du mir auf die Sprünge helfen. Das wäre nett.
Vielen Dank.
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> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Hilfe!
>
> Ich versuche mal das umzusetzen was Du gesagt hast:
>
> Abgeschlossenheit:
> Gilt für alle ( [mm]x_1,x_2), (x_2, y_2) \in[/mm] L auch [mm](x_1x_2, y_1y_2) \in[/mm]
> L?
>
> Also, es gilt:
> [mm]ax_1[/mm] + [mm]by_1[/mm] = 0
> [mm]ax_2[/mm] + [mm]by_2[/mm] = 0
>
> zu zeigen: [mm]a(x_1*x_2)+ b(y_1*y_2)=0 [/mm]?
Hallo,
genau, ob dies gilt ist zu prüfen.
>
> --> [mm](ax_1 *ax_2) + (by_1 * by_2)=[/mm]
>
> Ist das der richtige Ansatz?
Nein, Du mußt doch ausrechnen, ob [mm] a(x_1*x_2)+ b(y_1*y_2)=0 [/mm] ist.
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Laß uns an dieser Stelle mal kurz unterbrechen, ich habe nämlich beim Überfliegen des Threads das Gefühl, daß Du dieser Aufgabe etwas hilflos ausgeliefert bist.
Es erinnert mich daran, wie manche Leute von ihren großen Hunden durch die Gegend gezogen werden...
Wir konkretisieren das jetzt mal. Wir nehmen a=2 und b=4.
Dann ist die Menge [mm] L:=\{(x,y)\in \IR^2 | 2x+4y=0\}
[/mm]
Ich hoffe, Du erkennst, daß alle diese Punkte auf einer Geraden liegen.
Am besten schreibst Du jetzt mal ein paar Punkte auf, die in dieser Menge liegen.
(Merkst Du, daß (1,1) nicht in L ist?)
Wie ist die zweite Koordinate für den Punkt mit x=10?
Es sind also nur Punkte/Zahlenpaare einer ganz bestimmten Machart in L.
Jetzt nimm Dir mal zwei der Paare, die Du oben ausgerechnet hast her, aber bitte nicht gerade (0,0).
Verknüpfe sie mit der Verknüpfung [mm] \circ, [/mm] und prüfe, ob sie in L liegen.
Wenn Du bis hierher gekommen bist, solltest Du eigentlich etwas bessr verstanden haben, worum es geht. Nun kannst Du Dich nochmal oben dran setzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
> Wir konkretisieren das jetzt mal. Wir nehmen a=2 und b=4.
>
> Dann ist die Menge [mm]L:=\{(x,y)\in \IR^2 | 2x+4y=0\}[/mm]
>
> Ich hoffe, Du erkennst, daß alle diese Punkte auf einer
> Geraden liegen.
Ja. Erkenne ich.
> Am besten schreibst Du jetzt mal ein paar Punkte auf, die
> in dieser Menge liegen.
--> es gibt unendlich viele Zahlenpaare die, diese Gleichung lösen:
--> (5; -2,5) (-6; 3) (8; -4) (-2; 1)
..
> (Merkst Du, daß (1,1) nicht in L ist?)
Ja, wenn man sich die Zahlenpaare anschaut kann (1, 1) nicht in L sein.
> Wie ist die zweite Koordinate für den Punkt mit x=10?
Mit x=10 lautet die zweite Koordinate y=-5 --> (10; -5)
> Es sind also nur Punkte/Zahlenpaare einer ganz bestimmten
> Machart in L.
Stimmt: (x; y= -$ [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] $)
> Jetzt nimm Dir mal zwei der Paare, die Du oben ausgerechnet
> hast her, aber bitte nicht gerade (0,0).
> Verknüpfe sie mit der Verknüpfung [mm]\circ,[/mm] und prüfe, ob sie
> in L liegen.
z.B.: $(-6; 3), (8; -4) [mm] \in [/mm] L --> [mm] (x_1*x_2; y_1*y_2) \in [/mm] L?$
--> (-48; -12). Also liegt es nicht in L!
es gilt hier:
[mm] ax_1 [/mm] + [mm] by_1 [/mm] = 0 --> 2*(-6) + 4*(3) = 0 --> -12 + 12 = 0
[mm] ax_2 [/mm] + [mm] by_2 [/mm] = 0 --> 2*(8) + 4*(-4) = 0 --> 16 16 = 0
zu zeigen ob [mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b(y_1*y_2) [/mm] = 0 ist.
Hier:
2(-6*8) + 4(3*-4) =
2(-48) + 4(-12) =
-96 + (-48) = -144 [mm] \not= [/mm] 0!!
> Wenn Du bis hierher gekommen bist, solltest Du eigentlich
> etwas bessr verstanden haben, worum es geht. Nun kannst Du
> Dich nochmal oben dran setzen.
Ich muss ja jetzt zeigen, ob
[mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b(y_1*y_2) [/mm] = 0 ist.
Also in dem konkreten Beispiel mit a=2 und b=4 gilt das wie gezeigt nicht.
Anders:
Könnte ich jetzt nicht sagen:
Aufgrund der Verknüpfungsvorschrift, für alle [mm](x_1,y_1) o (x_2, y_2) = (x_1*x_2, y_1*y_2)[/mm] muss dass neutrale Element (1; 1) sein damit gilt:
[mm] (x_1,y_1) [/mm] o (1; 1) = [mm] (x_1*1, y_1*1) [/mm] = [mm] (x_1, y_1).
[/mm]
Zu zeigen wäre noch, ob (1; 1) in L liegt.
eingesetzt in ax + by = 0:
a + b = 0. Dies ist nach Voraussetzung aber nicht möglich da sonst a UND b null sein müssten.
Also ich hoffe ich hab keinen Mist geschrieben. Mir ist das durch Deine Hilfestellung viel klarer geworden. Aber ich konnte jetzt nicht zeigen, dass [mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b(y_1*y_2) [/mm] = 0 nicht gilt.
Aber wäre die Aufgabe, mit dem Nachweis, dass (1; 1) nicht in L liegt, bereits erledigt? Ich danke Dir sehr für die Hilfe. Ich glaube der Hund ist kleiner geworden
Vielen Dank!
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> > 2x+4y=0
> > Es sind also nur Punkte/Zahlenpaare einer ganz bestimmten
> > Machart in L.
> Stimmt: (x; y= -[mm] \bruch{1}{2}x [/mm])
Hallo,
aha!
Und wie sehen die Zahlenpaare aus, die ax+by=0 [mm] (a,b\not=0) [/mm] lösen?
So: (x, [mm] -\bruch{a}{b} [/mm] x).
Wenn also [mm] (x_i, y_i)\in [/mm] L,
dann hat dieses Zahlenpaar die Gestalt [mm] (x_i, y_i)=(x_i, -\bruch{a}{b} x_i) [/mm] !
Nun solltest Du zeigen können, daß i.a. [mm] (x_1, y_1)\circ(x_2, x_2) [/mm] keine Lösung v. ax+by=0 ist.
> Anders:
> Könnte ich jetzt nicht sagen:
> Aufgrund der Verknüpfungsvorschrift, für alle [mm](x_1,y_1) o (x_2, y_2) = (x_1*x_2, y_1*y_2)[/mm]
> muss dass neutrale Element (1; 1) sein damit gilt:
>
> [mm](x_1,y_1)[/mm] o (1; 1) = [mm](x_1*1, y_1*1)[/mm] = [mm](x_1, y_1).[/mm]
> Zu
> zeigen wäre noch, ob (1; 1) in L liegt.
Ja, das könntest Du auch machen.
> eingesetzt in ax + by = 0:
> a + b = 0. Dies ist nach Voraussetzung aber nicht möglich
> da sonst a UND b null sein müssten.
Vorsicht: aus a+b=0 folgt nicht, daß a=b=0 sein muß, sondern es folgt
a=-b.
Für alle Fälle, in denen [mm] a\not=-b [/mm] ist, ist (1/1) [mm] \not\in [/mm] L, und deshalb ist das keine Gruppe.
Zu untersuchen wäre nun noch, ob womöglich die Lösungsmenge der Gleichung ax -ay=0 zusammen mit [mm] \circ [/mm] eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 21.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
> Wenn also [mm](x_i, y_i)\in[/mm] L,
>
> dann hat dieses Zahlenpaar die Gestalt [mm](x_i, y_i)=(x_i, -\bruch{a}{b} x_i)[/mm]
Stimmt.
> Nun solltest Du zeigen können, daß i.a. [mm](x_1, y_1)\circ(x_2, x_2)[/mm]
> keine Lösung v. ax+by=0 ist.
Ich will es versuchen:
[mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b(y_1*y_2) [/mm] =
[mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b((-\bruch{a}{b}*x_1) [/mm] * [mm] (-\bruch{a}{b}*x_2)) [/mm] =
[mm] a(x_1*x_2) [/mm] + [mm] b(\bruch{a^2}{b^2}*x_1*x_2) [/mm] =
[mm] a(x_1*x_2) +\bruch{a^2}{b} *x_1*x_2 [/mm] =
[mm] x_1*x_2*(a [/mm] + [mm] \bruch{a²}{b}) [/mm] = ?
keine Ahnung wie es weitergeht.
Aber zumindest weiß ich ja, dass wenn ich das beachte was Du sagst, man auch anders zeigen kann, dass (L, o) keine Gruppe ist. Danke für Deine Tipps und Hilfe. Aber das da oben geht nicht, bei mir.
Schöne Grüße,
Fanomos
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> [mm]a(x_1*x_2)[/mm] + [mm]b(y_1*y_2)[/mm] =
[...]
> [mm]x_1*x_2*(a[/mm] + [mm]\bruch{a²}{b})[/mm] = ?
>
> keine Ahnung wie es weitergeht.
>
Hallo,
kommt denn da Null raus, egal was Du für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einsetzt?
nein, kommt's nicht, sondern nur, wenn a=0 (was ausgeschlossen ist, wenn ich mich recht entsinne) oder b=-a ist.
Der einzige Fall, in dem L mit der Verknüpfng [mm] \circ [/mm] eine Gruppe sein könnte, ist, wenn L alle Punkte enthält, für die ax-ay=0 ist.
Ob L in diesem Fall wirklich eine Gruppe ist, solltest Du noch untersuchen.
Gruß v. Angela
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> Gegeben seien die Menge L aller Lösungen einer Gleichung
> der Form ax + by = 0
> (mit Koeffizienten a, b [mm]\in \IR,[/mm] wobei mindestens einer
> der Koeffizienten a, b von Null verschieden ist):
> [mm]L = { (x; y) | x, y \in \IR; ax + by = 0; a, b \in \IR; a \not= 0 \vee b\not= 0}[/mm]
>
> und auf dieser Menge folgende additive Verknüpfung:
> (x1; y1) + (x2; y2) := (x1+x2 ; y1+y2).
>
> a) Weisen Sie nach, dass (L,+) eine Gruppe ist.
>
> Also ich hab damit so meine Probleme:
>
> Generell weiß ich, dass man zeigen muss, dass die Gruppe:
>
> - abgeschlossen ist für alle a,b [mm]\in[/mm] G ist auch a o b [mm]\in[/mm]
Die Wahl von $a$ und $b$ hier ist ziemlich unglücklich, weil $a$ und $b$ im Kontext dieser Aufgabenstellung bereits eine andere Bedeutung haben.
> G. Stimmt hier?: für alle (x1; y1), (x2; y2) [mm]\in[/mm] ist (x1;
> y1), + (x2; y2) [mm]\in[/mm] (L, +) denn die Addition von 2 reellen
> Zahlen ergibt eine reelle Zahl
Nein, so geht das nicht. Du musst im Grunde zeigen, dass wenn [mm] $x_1,y_1$ [/mm] und [mm] $x_2,y_2$ [/mm] Lösungen der Gleichung $ax+by=0$ sind auch [mm] $x_1+x_2, y_1+y_2$ [/mm] eine Lösung dieser Gleichung ist. Kurz, Du musst [mm] $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in L\Rightarrow (x_1+x_2,y_1+y_2)\in [/mm] L$ zeigen. Sich nur auf die Gruppeneigenschaften von [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^2$ [/mm] bezüglich koordinatenweiser Addition zu berufen genügt dafür nicht.
>
> - ein neutrales Element besitzt es ex. ein e [mm]\in[/mm] G mit a
> o e = a für alle a [mm]\in[/mm] G. Hier?: (0; 0) mit (x1; y1) + (0;
> 0) = (x1; y1) für alle (x1; y1) [mm]\in[/mm] (L, +).
Du musst zeigen, dass das Neutralelement der Addition von Paaren $(x,y)$, d.h. dass $(0,0)$ in $L$ liegt. Also muss Du primär argumentieren, dass $x=0$ und $y=0$ eine Lösung der Gleichung [mm] $a\cdot x+b\cdot [/mm] y=0$ ist. Dies ist zwar trivial, muss aber klar ausgesprochen werden.
>
> - Inverse Elemente hat, genauer: zu jedem a [mm]\in[/mm] G ex. ein
> [mm]a^{-1}[/mm] so, dass a o [mm]a^{-1}[/mm] = e. Hier?: zu jedem (x; y) [mm]\in[/mm]
> (L, +) ist das inverse dazu (-x; -y) denn (x; y) + (-x; -y)
> = e = (0; 0).
Auch hier: Du musst zeigen, dass, falls $(x,y)$ eine Lösung der Gleichung $ax+by=0$ ist, dann ist auch das additive Inverse $(-x,-y)$ eine Lösung dieser Gleichung.
>
> - assoziativ ist: hier: für alle (x1; y1), (x2; y2), (x3;
> y3): gilt:
> o ((x1; y1) + (x2; y2)) + (x3; y3) = (x1; y1) + ((x2; y2)
> + (x3; y3))
> o denn es gilt die Assoziativität in R und somit auch
> hier.
Gut, Assoziativität ist kein Problem. Dies kann man tatsächlich von [mm] $\IR^2$ [/mm] übernehmen.
>
> Könnte jemand sagen ob man das soweit stehen lassen kann?
Nein, kann ich nicht. Du musst die ganze Argumentation klar auf die Eigenschaften der Gleichung $ax+by=0$ beziehen, sonst geht sie schlicht am Ziel vorbei. Zum Beispiel wäre etwa die Menge der Lösungen von [mm] $ax^2+by=0$ [/mm] in der Regel keine Gruppe, Deine obige Argumenation könnte man aber im exakt gleichen Stile herunterspulen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Sa 16.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Gegeben seien die Menge L aller Lösungen einer Gleichung
> > der Form ax + by = 0
> > (mit Koeffizienten a, b [mm]\in \IR,[/mm] wobei mindestens einer
> > der Koeffizienten a, b von Null verschieden ist):
> > [mm]L = \{ (x; y) | x, y \in \IR; ax + by = 0; a, b \in \IR; a \not= 0 \vee b\not= 0\}[/mm]
Mal eine Anmerkung: Die Aufgabenstellung ist hier sehr, sehr schlecht formuliert! Da die Bedingungen an $a$ und $b$ mit in der Mengenbeschreibung stehen, hoert sich das so an als wenn $(a, b)$ von $(x, y)$ abhaengt. (Dann gehoert da allerdings eigentlich ein Existenz-Quantor hin.) Das ist hier aber sicher nicht gemeint, da in diesem Fall $L = [mm] \IR^2$ [/mm] waere!
Da dies nicht gemeint ist, sollen $a$ und $b$ hier wohl fest sein, und man sollte schreiben ''$L = [mm] \{ (x, y) \mid x, y \in \IR; a x + b y = 0 \}$ [/mm] fuer feste $a, b [mm] \in \IR$, [/mm] $a [mm] \neq [/mm] 0 vee b [mm] \neq [/mm] 0$.
Man kann uebrigens auch feststellen, dass [mm] $\IR^2$ [/mm] ein zweidimensionaler [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist und $a x + b y = 0$ eine nicht-triviale (da $a [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \vee [/mm] b [mm] \neq [/mm] 0$) lineare Gleichung ist, womit der Loesungsraum (der gerade $L$ ist) Dimension 1 ist. Damit ist insbesondere $(L, +)$ eine Gruppe und $L$ als Gruppe (da Vektorraumisomorphismen insb. Gruppenisomorphismen sind) isomorph zu [mm] $(\IR, [/mm] +)$ ist.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo somebody,
danke für deine Unterstützung! Ich will mal das so versuchen wie du es sagst, nämlich meine ganze Argumentation klar auf die Eigenschaften der Gleichung ax+by=0 zu beziehen. Hier mein Vorschlag:
Abgeschlossenheit
Für alle (x1; y1), (x2; y2) [mm] \in [/mm] L ist (x1; y1), + (x2; y2) [mm] \in [/mm] L
Da (x1; y1) und (x2; y2) [mm] \in [/mm] L gilt:
--> ax1 + by1 = 0
--> ax2 + by2 = 0
a(x1+x2) + b(y1+y2) = 0
ax1 + ax2 + by1 + by2 = 0
ax1 + by1 + ax2 + by2 = 0
--> 0 + 0 = 0
Neutrales Element
Existiert ein e [mm] \in [/mm] L so dass für bel. (x; y) [mm] \in [/mm] L gilt:
(x; y) + (0; 0) = (x ; y)
(0; 0) ist eine Lösung der Gleichung ax + by = 0
--> a*0 + b*0 = 0
--> 0 + 0 = 0
Inverse Elemente
zu jedem (x; y) [mm] \in [/mm] L ist das Inverse dazu (-x; -y) denn (x; y) + (-x; -y) = e = (0; 0).
--> ax + by = 0 ist Lsg. der Gleichung
a(x-x) + b(y-y) = 0
0 + 0 = 0
Assoziativiät
für alle (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3): gilt:
((x1; y1) + (x2; y2)) + (x3; y3) = (x1; y1) + ((x2; y2) + (x3; y3)) denn es gilt die Assoziativität in R und somit auch hier.
Und was denkst du?
Viele Grüße und tausend Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mo 18.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Abgeschlossenheit
> Für alle (x1; y1), (x2; y2) [mm]\in[/mm] L ist (x1; y1), + (x2;
> y2) [mm]\in[/mm] L
>
> Da (x1; y1) und (x2; y2) [mm]\in[/mm] L gilt:
>
> --> ax1 + by1 = 0
> --> ax2 + by2 = 0
>
> a(x1+x2) + b(y1+y2) = 0
das ist hier zu zeigen!
Laß einfach das =0 weg und mache mit Termumformungen weiter.
Wenn dann am Ende Null rauskommt, hast du es.
> ax1 + ax2 + by1 + by2 = 0
> ax1 + by1 + ax2 + by2 = 0
> --> 0 + 0 = 0
>
> Neutrales Element
> Existiert ein e [mm]\in[/mm] L so dass für bel. (x; y) [mm]\in[/mm] L
> gilt:
>
> (x; y) + (0; 0) = (x ; y)
>
> (0; 0) ist eine Lösung der Gleichung ax + by = 0
> --> a*0 + b*0 = 0
> --> 0 + 0 = 0
>
> Inverse Elemente
> zu jedem (x; y) [mm]\in[/mm] L ist das Inverse dazu (-x; -y) denn
> (x; y) + (-x; -y) = e = (0; 0).
> --> ax + by = 0 ist Lsg. der Gleichung
>
> a(x-x) + b(y-y) = 0
> 0 + 0 = 0
???
Du mußt hier zeigen, daß $(-x,-y) [mm] \in [/mm] L$ ist!
> Assoziativiät
> für alle (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3): gilt:
> ((x1; y1) + (x2; y2)) + (x3; y3) = (x1; y1) + ((x2; y2) +
> (x3; y3)) denn es gilt die Assoziativität in R und somit
> auch hier.
Falls ihr Untergruppen schon besprochen habt, ginge es etwas einfacher, aber OK.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 18.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Hallo Will,
vielen Dank. Hier die Verbesserungen:
Ab.
Habe die 0 weggelassen. So müsste es passen, oder?
a(x1+x2) + b(y1+y2) =
ax1 + ax2 + by1 + by2 =
ax1 + by1 + ax2 + by2 = 0 + 0 = 0.
Somit ist gezeigt, dass a(x1+x2) + b(y1+y2) = 0 ist.
Inverse Elemente
zu jedem (x; y) [mm] \in [/mm] L ist das Inverse dazu (-x; -y) denn (x; y) + (-x; -y) = e = (0; 0).
zu zeigen, dass (-x; -y) [mm] \in [/mm] L:
--> a(-x) + b(-y) = 0
--> -ax -by = 0
--> -ax -by = 0 <----> ax + by = 0
somit ist (-x; -y) [mm] \in [/mm] L
Stimmt das jetzt? Und vielen Dank nochmals.
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Hallo Fanomos,
> Hallo Will,
>
> vielen Dank. Hier die Verbesserungen:
>
> Ab.
> Habe die 0 weggelassen. So müsste es passen, oder?
Für [mm] $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in [/mm] L$ gilt:
> a(x1+x2) + b(y1+y2) =
> ax1 + ax2 + by1 + by2 =
> [mm] \red{(}ax1 [/mm] + [mm] by1\red{)} [/mm] + [mm] \red{(}ax2 [/mm] + [mm] by2\red{)} [/mm] = 0 + 0 = 0.
>
> Somit ist gezeigt, dass a(x1+x2) + b(y1+y2) = 0 ist.
Und damit [mm] $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\in [/mm] L$
>
> Inverse Elemente
> zu jedem (x; y) [mm]\in[/mm] L ist das Inverse dazu (-x; -y) denn
> (x; y) + (-x; -y) = e = (0; 0).
, wenn du schon gezeigt hast, dass $e=(0,0)$ auch wirklich das neutrale Element in $L$ bzgl. $+$ ist.
Das habe ich in diesem doch relativ unübersichtlichen thread jetzt nicht nachgesucht 
>
> zu zeigen, dass (-x; -y) [mm]\in[/mm] L:
>
> --> a(-x) + b(-y) = 0
Das ist zu zeigen, mach's doch ganz geradeheraus:
$a(-x)+b(-y)=-ax-by=-(ax+by)=0$, da [mm] $(x,y)\in [/mm] L$
> --> -ax -by = 0
> --> -ax -by = 0 <----> ax + by = 0
>
> somit
womit genau?
> ist (-x; -y) [mm]\in[/mm] L
>
> Stimmt das jetzt? Und vielen Dank nochmals.
Ja, stimmen tut's, ich würde es aber noch in eine etwas schönere äußere Form bringen, v.a. wenn ich's als Übung oder in ner Klausur abgeben müsste
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Di 19.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
Vielen Dank Schachuzipus fürs Korrigieren!
Schöne Grüße
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