Gruppe - endliche Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 24.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Man gebe je ein Beispiel einer Gruppe G mit einer Untergruppe U an, derart, dass
(i) U endlich und der Index von U unendlich ist
(ii) U und der Index von U unendlich sind |
Hallo Leute,
wollte nur Fragen, ob meine Überlegungen richtig sind.
(i) U={e} und G ist irgendeine unendlich Gruppe somit wären doch die Nebenklassen z.B. aU=G da U ja nur aus e besteht und das ja nichts mit dem Element a aus G macht, korrekt?
(ii) Könnte ich einfach G wieder eine unendliche Gruppe nehmen und als Untergruppe G selbst, damit wäre doch der Index auch unendlich, denn ich hätte dann eben als Nebenklasse eben nur G selbst oder?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, i) stimmt, aber ii) Es gilt doch [mm][G:U]=\frac{ord(G)}{ord(U)} [/mm], ist U = G, so folgt [mm][G:U]=\frac{ord(G)}{ord(U)} = \frac{ord(G)}{ord(G)} = 1. [/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Sa 25.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort!
Hast du für die (ii) ein passendes Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Sa 25.08.2012 | | Autor: | teo |
Ich weiß nicht obs stimmt, aber ich glaube [mm] G=\IR [/mm] und U = [mm] \IQ [/mm] könnte gehn.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:54 Sa 25.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, danke. Das kommt hin, als Nebenklasse hätte ich ja [mm] a\IQ, [/mm] wobei für verschiedene a unendlich viele Nebenklasse bei rum kommen oder?
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> Ah, danke. Das kommt hin, als Nebenklasse hätte ich ja
> [mm]a\IQ,[/mm] wobei für verschiedene a unendlich viele Nebenklasse
> bei rum kommen oder?
Hallo,
für Deine Chefs müßtest Du noch genauer glaubhaft machen, warum es wirklich unendlich viele verschiedene Nebenklassen sind.
Daß [mm] \bruch{1}{2}\IQ=\bruch{7}{13}\IQ [/mm] ist Dir schon aufgefallen?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Sa 25.08.2012 | | Autor: | teo |
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> > Ah, danke. Das kommt hin, als Nebenklasse hätte ich ja
> > [mm]a\IQ,[/mm] wobei für verschiedene a unendlich viele Nebenklasse
> > bei rum kommen oder?
>
> Hallo,
>
> für Deine Chefs müßtest Du noch genauer glaubhaft
> machen, warum es wirklich unendlich viele verschiedene
> Nebenklassen sind.
> Daß [mm]\bruch{1}{2}\IQ=\bruch{7}{13}\IQ[/mm] ist Dir schon
> aufgefallen?
>
Hallo, du meinst hier sicher [mm]\bruch{1}{2}\IQ=\bruch{7}{14}\IQ[/mm]
lg
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> > > Ah, danke. Das kommt hin, als Nebenklasse hätte ich ja
> > > [mm]a\IQ,[/mm] wobei für verschiedene a unendlich viele Nebenklasse
> > > bei rum kommen oder?
> >
> > Hallo,
> >
> > für Deine Chefs müßtest Du noch genauer glaubhaft
> > machen, warum es wirklich unendlich viele verschiedene
> > Nebenklassen sind.
> > Daß [mm]\bruch{1}{2}\IQ=\bruch{7}{13}\IQ[/mm] ist Dir schon
> > aufgefallen?
> >
> Hallo, du meinst hier sicher
> [mm]\bruch{1}{2}\IQ=\bruch{7}{14}\IQ[/mm]
Hallo,
nein.
Ich meinte wirklich das, was ich schrieb.
LG Angela
>
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:54 So 26.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Warum gilt dies? Ok natrülich gibt es Zahlen in [mm] \IQ, [/mm] dass diese Gleichung gilt, aber was genau sagt mir das?
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> Warum gilt dies? Ok natrülich gibt es Zahlen in [mm]\IQ,[/mm] dass
> diese Gleichung gilt,
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du damit meinst.
> aber was genau sagt mir das?
Was es Dir sagt, weiß ich nicht,
Ich wollte Dir damit sagen, daß Du noch eine Begründung dafür benötigst, daß Du unendlich viele Nebenklassen bekommst, denn offenbar sind ja nicht alle Nebenklassen verschieden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 26.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Naja, da sich [mm] \IQ [/mm] aus dem Bruch von ganzen durch natürlichen Zahlen zusammensetzt und diese beiden Mengen unendlich sind, so ist auch [mm] \IQ [/mm] unendlich, wäre meine Begründung.
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> Naja, da sich [mm]\IQ[/mm] aus dem Bruch von ganzen durch
> natürlichen Zahlen zusammensetzt und diese beiden Mengen
> unendlich sind, so ist auch [mm]\IQ[/mm] unendlich, wäre meine
> Begründung.
Hallo,
wir reden of<span style="font-weight: bold;">fenbar aneinander vorbei:
daß [mm] \IQ [/mm] nicht endlich ist, ist ja klar.
Mir geht es darum, daß Du begründen mußt, daß die Menge der Nebenklassen unendlich ist.
LG Angela
</span>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mo 27.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort erstmal!
Ich habe nur etwas das Problem, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie [mm] \IR/\IQ [/mm] aussieht. [mm] \IZ/2\IZ [/mm] kann ich mir einfach vorstellen, da sind nur die Elemente [mm] 2\IZ [/mm] und [mm] 1+2\IZ [/mm] drin, aber wie sieht das ganze in [mm] \IR/\IQ [/mm] aus?
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> Danke für deine Antwort erstmal!
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> Ich habe nur etwas das Problem, dass ich mir nicht
> vorstellen kann, wie [mm]\IR/\IQ[/mm] aussieht. [mm]\IZ/2\IZ[/mm] kann ich
> mir einfach vorstellen, da sind nur die Elemente [mm]2\IZ[/mm] und
> [mm]1+2\IZ[/mm] drin, aber wie sieht das ganze in [mm]\IR/\IQ[/mm] aus?
Hallo,
Du sagtest ja selbst, daß in [mm] \IR [/mm] / [mm] \IQ [/mm] alle Elemente [mm] a\IQ [/mm] drin sind mit (was Du nicht sagtest) [mm] a\in \IR.
[/mm]
Du betrachtetest hierbei (das schließe ich aus [mm] "a\IQ") \IR [/mm] als Gruppe bzgl. der Multiplikation --- und das schöne Konstrukt kracht zusammen wie ein Kartenhaus!
[mm] \IR [/mm] ist gar keine Gruppe bzgl. der Multiplikation...
Hatte ich verdrängt bisher...
Na gut, ziehen wir den Kopf aus der Schlinge. wir betrachten stattdessen [mm] \IR':=\IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] und [mm] \IQ':=\IQ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] mit der Multiplikation.
In [mm] \IR' [/mm] / [mm] \IQ' [/mm] sind alle Elemente der Gestalt [mm] a\IQ' [/mm] mit [mm] a\in \IR'.
[/mm]
Für ein [mm] a\in \IR' [/mm] ist [mm] a\IQ':=\{aq| q\in \IQ'\}.
[/mm]
Es ist für jedes [mm] a\in \IQ' \qquad a\IQ'=\IQ'.
[/mm]
All die Nebenklassen mit rationalem a sind also gleich.
In [mm] \wurzel{2}\IQ' [/mm] sind alle rationalen Vielfachen von [mm] \wurzel{2}, [/mm] in [mm] \wurzel{3}\IQ' [/mm] sind alle rationalen Vielfachen von [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
Diese beiden Nebenklassen sind verschieden.
In [mm] \pi\IQ' [/mm] sind alle rationalen Vielfachen von [mm] \pi.
[/mm]
---
Betrachtest Du [mm] \IR [/mm] als Gruppe bzgl der Addition und [mm] \IQ [/mm] als eine Untergruppe, so sind in [mm] \IR/\IQ [/mm] alle Elemente der Gestalt [mm] r+\IQ [/mm] mit [mm] r\in \IR.
[/mm]
Auch hier bekommst Du wieder, daß für alle [mm] r\in \IQ [/mm] gilt: [mm] r+\IQ=\IQ.
[/mm]
Aber die Mengen [mm] \wurzel{2}+\IQ, \wurzel{3}+\IQ, \bruch{1}{5}\wurzel{2}+\IQ, \pi+\IQ [/mm] sind verschieden.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Mo 27.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das trifft mein Problem auf den Punkt, vielen Dank, jetzt raffe ich es!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht ist auch [mm] \IC/\IR [/mm] ein ganz gutes Beispiel. Da sieht man vielleicht ganz gut, dass [mm] a\cdot i+\IR [/mm] für jedes a [mm] \in \IR [/mm] eine andere Nebenklasse ist.
Die Elemente von dem Ding sehen eben so aus: Nimm man sich meinetwegen [mm] 3i+\IR, [/mm] dann sind da alle komplexen Zahlen drinnen, die Imaginärteil 3i haben.
Das ist vielleicht auch ein bisschen anschaulicher und einfacher nachzuvollziehen als [mm] \IR/\IQ.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Mo 27.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das ist wirklich gut nachzuvollziehen, vielen Dank!
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