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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:45 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) Es sei (G;*) eine Gruppe und n [mm] \varepsilon \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] G^{n} [/mm] = G [mm] \times [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] ...\times [/mm] G mit der komponentenweisen
Verknüpfung
[mm] (x_{1}; ...;x_{n}) [/mm] * [mm] (y_{1}; [/mm] ... [mm] ;y_{n}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] * [mm] y_{1}; ...;x_{n} [/mm] * [mm] y_{n})
[/mm]
ebenfalls eine Gruppe ist. (* ist irgendeine Verknüpfung)
b) Mit Teil a) sind [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] \IR^{3} [/mm] Gruppen bezüglich komponentenweiser Addition. Zeigen Sie, dass
f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] (x;y; z) [mm] \mapsto [/mm] (x+y;2y-z)
ein Gruppenhomomorphismus ist, und bestimmen Sie Ke( f ). |
Kann mir da jemand helfen?
Also, bei der a.
Man muss doch überprüfen, ob es eine Halbgruppe mit neutralem Element e ist und jedes Element, z.B. z invertiebar ist oder?
Kann ich mir bei der Halbgruppe einfach drei Elemente nehmen und einfach mal klammern und schaun, ob das gleiche rauskommt?
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> a) Es sei (G;*) eine Gruppe und n [mm]\varepsilon \IN.[/mm] Zeigen
Einmal generell [mm]n\in \IN[/mm]. Wenn du auf die Grafik klickst, siehts du auch den LaTeX-Befehl für das Symbol [mm]\in[/mm]. Das ist mir scheon beiden letzten 4 Beiträgen aufgefallen. Es ist auch kürzer zu schreiben^^
Nun zur Aufgabe
> Sie, dass [mm]G^{n}[/mm] = G [mm]\times[/mm] G [mm]\times[/mm] G [mm]...\times[/mm] G mit der
> komponentenweisen
> Verknüpfung
> [mm](x_{1}; ...;x_{n})[/mm] * [mm](y_{1};[/mm] ... [mm];y_{n})[/mm] = [mm](x_{1}[/mm] * [mm]y_{1}; ...;x_{n}[/mm]
> * [mm]y_{n})[/mm]
> ebenfalls eine Gruppe ist. (* ist irgendeine
> Verknüpfung)
> b) Mit Teil a) sind [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]\IR^{3}[/mm] Gruppen bezüglich
> komponentenweiser Addition. Zeigen Sie, dass
> f : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] (x;y; z) [mm]\mapsto[/mm] (x+y;2y-z)
> ein Gruppenhomomorphismus ist, und bestimmen Sie Ke( f ).
>
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Also, bei der a.
>
> Man muss doch überprüfen, ob es eine Halbgruppe mit
> neutralem Element e ist und jedes Element, z.B. z
> invertiebar ist oder?
Ja du sollst alle Gruppenaxiome zeigen:
(G1) [mm]\exists e\in G^n \forall a\in G^n : e*a=a[/mm]
(G2),...
Was ist dein Problem? Das da ein kartesiches Produkt steht?
Sagen wir mal [mm](G,\star )[/mm] ist eine Gruppe und [mm]H:=G\times G\times \ldots \times G = G^n[/mm]. Wie ein Element in H aussieht, steht ja auch da. Das ist ein n-Tupel [mm]x:=(x_1,\ldots, x_n)\in H[/mm]. Die Tatsache, das H eine Gruppe ist liegt in den vererbten Eigenschaften, das jeder Eintrag von einem Element in H in der Gruppe G liegt.
Für die Existenz des inversen Elements [mm]\forall a\in H \; \exists a^{-1}\in H : a\star a^{-1}=e[/mm]
Sei [mm]a:=(a_1,\ldots,a_n) \in H[/mm]. Und sei [mm]b:=(b_1,\ldots,b_n)\in H[/mm] mit [mm]b_i:=a_i^{-1}[/mm]. Dann ist
[mm]a\star b=e':=(e,\ldots,e)[/mm]. Wobei e das neutrale Element in G und e' neutrales Element in H ist. Setze [mm]a^{-1}:=b[/mm]
Also gibt es für jedes a in H eine [mm]a^{-1}\in H[/mm] mit [mm]a\star a^{-1}=e[/mm]
>
> Kann ich mir bei der Halbgruppe einfach drei Elemente
> nehmen und einfach mal klammern und schaun, ob das gleiche
> rauskommt?
Du meinst jetzt das Assoziativgesetzt?
Ja das darfst du auf deinem Schmierzettel und zum Sammeln der Gedanken machen. Was spricht dagegen, es dann so aufzuschreiben
[mm]x(yz)=\ldots=\ldots = (xy)z[/mm]
zur b) ist einfaches Nachrechnen: [mm] $f(a+b)=f(a)+f(b)\;$ [/mm] Das ist ja eine lineare Abbildung.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab die Assoziativität so gezeigt:
(g1,h1) * [(g2,h2) * (g3,h3)] = [(g1,h1) * (g2,h2)] * (g3,h3)
Geht das mit diesem Weg?
Das neutrale Element ist doch (o,o), wenn o das neutrale element in G ist oder?
Und bei der b muss ich nur dieses eine Merkmal zeigen. Das hab ich auch richtig. ;) Wie bestimmt man aber den Kern (ich weiß, was es ist aber wie geht das) Danke.
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> Hab die Assoziativität so gezeigt:
>
> (g1,h1) * [(g2,h2) * (g3,h3)] = [(g1,h1) * (g2,h2)] *
> (g3,h3)
>
> Geht das mit diesem Weg?
Was ist [mm] $g_i$ [/mm] und [mm] $h_i$? [/mm] Klär mich auf.
>
> Das neutrale Element ist doch (o,o), wenn o das neutrale
> element in G ist oder?
Ja. Du darfst es bezeichnen, wie du es möchtest. Nur soll [mm] $\star$
[/mm]
eine beliebige Verknüpfung (inkl. Multiplikation) sein. Da passt manch einmal e besser.
>
> Und bei der b muss ich nur dieses eine Merkmal zeigen. Das
> hab ich auch richtig. ;) Wie bestimmt man aber den Kern
> (ich weiß, was es ist aber wie geht das) Danke.
Dann schreib doch einmal auf, was es ist. Damit können wir weitersehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich hab einfach gesagt, dass gi und hi Elemente von G sind. Die Bezeichnung ist zwar jetzt nicht super toll, aber war für mich besser xD Und ist doch eigentlich auch erlaubt, darfs ja so benennen wie ich möchte?
Wegen diesem Kern: Also, was ich meinte ist, dass das die Faser des neutralen Elements vom Bild ist, hier also von [mm] \IR^{2}. [/mm] Aber wie bestimmt man das?
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Vielleicht reden wir aneinander vorbei. Sei [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n),y=(y_1,\ldots,x_n),z=(z_1,\ldots,z_n)\in [/mm] H$
Dann ist [mm] $x\star(y\starz)$
[/mm]
was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm, versteh nicht ganz
x * y wären dann die kompontenweise Verknüpfung:
also (x1*y1, ..., xn * yn)
oder nicht?
Beim n.E. hab ichs so gemacht:
(g,h) * (Og,Og) =...
Das geht aber so oder?
Naja, wenn ja, versteh ich das mit diesem Kern aber immer noch nicht? Sry xD
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> Hmm, versteh nicht ganz
>
> x * y wären dann die kompontenweise Verknüpfung:
>
> also (x1*y1, ..., xn * yn)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder nicht?
>
> Beim n.E. hab ichs so gemacht:
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> (g,h) * (Og,Og) =...
Wieso hast du nur 2 Komponente?
>
> Das geht aber so oder?
Für das inverse Element habe ich es dir doch vorgemacht, du musst nur es eins zu eins übertragen.
Noch einmall
Seien [mm] x=[x_1,\ldots,x_n],y=[y_1,\ldots,x_n],z=[z_1,\ldots,z_n]\in H [/mm]
Dann ist
[mm]x\star(y\star z):=[x_1,\ldots,x_n]\star [y_1\star z_1,\ldots,y_n\star z_n][/mm]
[mm]=[x_1\star (y_1\star z_1),\ldots,x_n\star (y_n\star z_n)][/mm]
[mm]=[(x_1\star y_1)\star z_1,\ldots,(x_n\star y_n)\star z_n]=[x_1\star y_1,\ldots,x_n\star y_n]\star [z_1,\ldots,z_n]=(x\star y)\star z[/mm]
>
> Naja, wenn ja, versteh ich das mit diesem Kern aber immer
> noch nicht? Sry xD
Schreib doch erst einmal die Definition hin. Und dann noch einmal die Definition mit den konkreten Sachen aus der Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so verstehe. Ähm, muss ich das beim neuralen Element auch so aufschreiben, also
(e1...en)
Und wegem dem Kern. Ich versteh garnicht, WIE ich das anders aufschreiben soll. mir fällt der Anfang schwer.
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Wie ist denn nun die Definition vom Kern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja das hab ich doch eben aufgeschrieben. Der Kern ist die Faser vom neutralen Elements des Bildes und das Bild ist hier [mm] \IR^{2}. [/mm] Aber ich habe keine Ahnung, was sonst noch dazugehört oder wie man das anders aufschreiben kann. Sry.
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Gut den Begriff Faser kannte ich nicht. Also der Kern von f:
[mm]Ker(f):=\{v\in \IR^3 : f(v)=(0,0)\}[/mm]
Das sind also alle Vektoren, die auf Null abgebildet werden.[mm]f : \IR^{3} \to \IR^{2} (x;y; z) \mapsto (x+y;2y-z) [/mm]Wie müssen x,y,z gewählt sein, damit [mm](0,0)=(x+y;2y-z)[/mm] gilt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach so. Muss dann gelten?
x+y = 0
2y -z = 0
Aber wie kriege ich jetzt die Werte. Also, y ist ja -x, aber ich darf doch nicht einfach ein x vorgeben?
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Du solltest du dringend noch einmal anschauen, wie man homogene LGS löst. Das Kernbestimmen ist nichts anderes.
[mm] (0,0)=(x+y;2y-z) [/mm]
Also
> x+y = 0
> 2y -z = 0
[mm]\Rightarrow x=-y[/mm]
[mm]\Rightarrow 2y=z[/mm]
Setze [mm]z:=2t\;[/mm]. Dann ist [mm]y = t\;[/mm] und [mm]x=-t\;[/mm]
Somit ist [mm]Ker(f)=span( (-t,t,2t) )[/mm] mit [mm]t\in \IR[/mm] oder anders hingeschrieben:
[mm]\IR\vektor{-1\\
1\\
2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 12.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, verstehe das sogar xD. Auch wenn ich die Schreibweisen noch nicht kenne (das mit dem Kern ist neues Thema ;)).
Danke nochmal.
P.S. Hab noch ein Problem bei einer anderen Aufgabe. Kannst du mir da auch helfen? Da gehts nämlich auch wieder um Kerne und du scheinst das ja sehr gut zu verstehn.
EDIT: http://www.matheforum.net/read?i=748109 Die Aufgabe meine ich. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das hier basiert auf Freiwilligkeit. Es reagiert jeder, der kann möchte.
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