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Gruppe Einheitengruppe: Richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Fr 07.10.2011
Autor: tinakru

Aufgabe
Sei G = [mm] (\IZ [/mm] / 210 [mm] \IZ )^\times [/mm]

Bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die Elemente g in dieser Gruppe gibt mit ord(g) = n.

Hallo zusammen :)

mal wieder ne Algebrafrage :)

Hier mal mein Lösungsansatz.

210 = 2*3*5*7

Mit  der Eulerschen Phi-Funktion kann man die Kardinalität von G berechnen.
Diese ist: 1*2*4*6 = 48.

Also hat G 48 Elemente. Außerdem ist G abelsch.

Da es bei abelschen Gruppen zu jedem Teiler der Gruppenordnung Untergruppen gibt, gibt es Untergruppen der Ordnungen:
{1,2,3,4,8,12,24,48}

Demzufolge gibt es Elemente dieser Ordnungen und dies sind alle natürlichen Zahlen.

Stimmt das so?

Hab irgendwie ein ungutes Gefühl^^ War mir zu einfach^^

Danke

        
Bezug
Gruppe Einheitengruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Fr 07.10.2011
Autor: felixf

Moin!

> Sei G = [mm](\IZ[/mm] / 210 [mm]\IZ )^\times[/mm]
>
> Bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die Elemente g in
> dieser Gruppe gibt mit ord(g) = n.
>  Hallo zusammen :)
>  
> mal wieder ne Algebrafrage :)
>  
> Hier mal mein Lösungsansatz.
>  
> 210 = 2*3*5*7
>  
> Mit  der Eulerschen Phi-Funktion kann man die Kardinalität
> von G berechnen.
>  Diese ist: 1*2*4*6 = 48.
>  
> Also hat G 48 Elemente. Außerdem ist G abelsch.
>  
> Da es bei abelschen Gruppen zu jedem Teiler der
> Gruppenordnung Untergruppen gibt, gibt es Untergruppen der
> Ordnungen:
>  {1,2,3,4,8,12,24,48}

Das stimmt.

> Demzufolge gibt es Elemente dieser Ordnungen und dies sind
> alle natürlichen Zahlen.

Hier nicht mehr umbedingt: [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] hat 4 Elemente, es gibt Untergruppen der Ordnung 1, 2, 4, jedoch gibt es kein Element der Ordnung 4.

Du musst also genauer hinschauen.

LG Felix


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