Gruppe: endlich oder nicht? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A sei eine nichttriviale Gruppe, nur mit {e} und A selbst als Untergruppe.
Zeigen Sie:
Die Ordnung von A ist eine Primzahl. |
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. *
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe folgendes Problem: Ich habe bereits gezeigt, das die Ordnung von G eine Primzahl ist (war ja auch nicht so schwer :) ). Allerdings muss ich zuvor ja erstmal zeigen, dass G überhaupt endlich ist... und da steh ich momentan irgendwie auf dem Schlauch.
Hat vielleicht jemand einen Tipp?
Danke im Voraus.
Sandra
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Sa 25.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
nimm an $G$ sei unendlich. betrachte nun die von einem element $a [mm] \in [/mm] G [mm] \setminus \{ 1 \}$ [/mm] erzeugte untergruppe [mm] $\left< a \right> [/mm] = [mm] \{a^k: k \in \mathbb{Z} \}$. [/mm] nun muss [mm] $\left< a \right> [/mm] = G$ gelten, da $G$ nur zwei untergruppen besitzt. andererseits muss auch für [mm] $a^2 \not= [/mm] 1$ gelten [mm] $\left< a^2 \right> [/mm] = G$. insbesondere also $a [mm] \in \left< a^2 \right>$, [/mm] es gibt also ein $k [mm] \in \mathbb{Z}:(a^2)^k [/mm] = a$. probiere dadurch einen wiederspruch zur unendlichkeit von $G$ herzuleiten.
grüße
andreas
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:10 Sa 25.11.2006 | | Autor: | sandra.inf |
Ahh, danke, das hat geholfen :)
Schönes Wochenende noch!
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