Gruppe, endliche Ordnung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 03.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe 1 | | Welche komplexen Zahlen können als Eigenwerte einer Matrix in [mm] Gl_2(\IC) [/mm] (Allgemeine Lineare Gruppe mit dem Körper der Komplexen Zahlen) auftreten, die endliche Ordnung hat? |
| Aufgabe 2 | Sei G eine endliche Gruppe, deren Elemente sämtlich eine Ordnung [mm] \le [/mm] 2 haben. Zeigen Sie:
Die Ordnung von G ist eine Potenz von 2. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zur 1. Aufgabe:
Wer kann mir weiterhelfen und eine Lösungsidee liefern?
Ich weiß nur, dass es für eine Matrix, die endliche Ordnung hat, ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, sodass [mm] A^n= [/mm] e, wobei e in diesem Fall die (2x2)-Einheitsmatrix ist, weil die Gruppenoperation innerhalb von [mm] Gl_2(\IC) [/mm] die Matrixmultiplikation ist.
Zur 2. Aufgabe:
Leider habe ich hier gar keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu 1):
Ist [mm] A^n [/mm] = E (=Einheitsmatrix), so gilt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A:
[mm] \lambda^n [/mm] ist Eigenwert von [mm] A^n
[/mm]
Hilft das weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 03.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Leider komme ich damit nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Leider komme ich damit nicht weiter.
Wir hatten: [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \lambda^n [/mm] $ ist Eigenwert von $ [mm] A^n [/mm] $
Da [mm] A^n [/mm] =E, ist also $ [mm] \lambda^n [/mm] $ Eigenwert von $ E$, somit gilt:
$ [mm] \lambda^n [/mm] =1$
Als Eigenwerte von A kommen also nur die n-ten Einheitswurzeln in Frage
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 03.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Schönen Dank für die Hilfe.
Das Brett vor meinem Kopf ist wieder ein bisschen kleiner geworden.
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