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Hallo zusammen
Versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] G={(a,b)\in \IR^2: a+b=1} [/mm] mit Addition in [mm] \IR^2
[/mm]
Ist G eine Gruppe oder eine Halbgruppe?
Also mein Anfang:
Ann.: [mm] (a_1,a_1)^t, (b_1,b_2)^t, (c_1,c_2)^t \in [/mm] G
1) Abgeschlossenheit: a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] G
[mm] (a_1,a_1)^t [/mm] + [mm] (b_1,b_1)^t [/mm] = [mm] (a_1+b_1, a_2+b_2)^t [/mm] = [mm] (1,1)^t [/mm] OK
2) Assoziativität: a+(b+c)=(a+b)+c
[mm] (a_1,a_1)^t+((b_1,b_1)^t+(c_1,c_1)^t)=(a_1,a_1)^t+((b_1+c_1,b_2+c_2)^t) [/mm] = [mm] (a_1+b_1+c_1, a_2+b_2+c_2)^t [/mm]
= [mm] (a_1+b_1,a_2+b_2)^t [/mm] + [mm] (c_1,c_2)^t =((a_1, a_2)^t+(b_1,b_2)^t) +(c_1,c_2)
[/mm]
3) Neutrales Element: a+e=a
Gibt es hier nicht, da ja gilt a+e=1
[mm] \Rightarrow [/mm] G ist weder eine Gruppe noch eine Halbgruppe!
Ist das so korrekt, und würde es so an einer Prüfung ausreichen?
Vielen Dank für eure Hilfe! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo zusammen
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> Versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
> [mm]G={(a,b)\in \IR^2: a+b=1}[/mm] mit Addition in [mm]\IR^2[/mm]
> Ist G eine Gruppe oder eine Halbgruppe?
>
> Also mein Anfang:
> Ann.: [mm](a_1,a_1)^t, (b_1,b_2)^t, (c_1,c_2)^t \in[/mm] G
>
Was sollen die Transpositionszeichen hier ?
Die stehen in der Aufgabe doch auch nicht.
> 1) Abgeschlossenheit: a,b [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in[/mm] G
> [mm](a_1,a_1)^t[/mm] + [mm](b_1,b_1)^t[/mm] = [mm](a_1+b_1, a_2+b_2)^t[/mm] = [mm](1,1)^t[/mm]
> OK
>
Pass auf deine Indizes auf !
Die Summe ist also [mm] (a_1+b_1, a_2+b_2). [/mm]
1. Wieso sollte das (1,1) sein ?
2. Wenn es (1,1) wäre, wieso sollte 1+1=1 sein, was die Voraussetzung für dein OK ist ?
Richtig ist, dass du nachprüfen musst, ob [mm] (a_1+b_1)+(a_2+b_2)=1 [/mm] ist.
Nun ergibt sich aber [mm] (a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=1+1\not=1 [/mm] .
G ist mit dieser Addition nicht abgeschlossen und damit erübrigt sich der Rest (den du übrigens richtig bearbeitet hast).
Gruß Sax.
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Hallo Sax
> Hi,
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> > Hallo zusammen
> >
> > Versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
> > [mm]G={(a,b)\in \IR^2: a+b=1}[/mm] mit Addition in [mm]\IR^2[/mm]
> > Ist G eine Gruppe oder eine Halbgruppe?
> >
> > Also mein Anfang:
> > Ann.: [mm](a_1,a_1)^t, (b_1,b_2)^t, (c_1,c_2)^t \in[/mm] G
> >
>
> Was sollen die Transpositionszeichen hier ?
> Die stehen in der Aufgabe doch auch nicht.
>
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> > 1) Abgeschlossenheit: a,b [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in[/mm] G
> > [mm](a_1,a_1)^t[/mm] + [mm](b_1,b_1)^t[/mm] = [mm](a_1+b_1, a_2+b_2)^t[/mm] =
> [mm](1,1)^t[/mm]
> > OK
> >
>
> Pass auf deine Indizes auf !
>
> Die Summe ist also [mm](a_1+b_1, a_2+b_2).[/mm]
> 1. Wieso sollte das (1,1) sein ?
> 2. Wenn es (1,1) wäre, wieso sollte 1+1=1 sein, was die
> Voraussetzung für dein OK ist ?
>
> Richtig ist, dass du nachprüfen musst, ob
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=1[/mm] ist.
> Nun ergibt sich aber
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=1+1\not=1[/mm] .
> G ist mit dieser Addition nicht abgeschlossen und damit
> erübrigt sich der Rest (den du übrigens richtig
> bearbeitet hast).
>
> Gruß Sax.
Ich verstehe nicht wieso du [mm] (a_1+b_1) [/mm] + [mm] (a_2+b_2)=1 [/mm] schreibst?
Ich muss doch zeigen, dass wenn
[mm] \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] & [mm] \vektor{b_1 \\ b_2} \in [/mm] G [mm] \Rightarrow \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] + [mm] \vektor{b_1 \\ b_2} [/mm] = [mm] \vektor{a_1+b_1 \\ a_2+b_2} \in [/mm] G
Und nach Defintion ist doch a+b=1, also auch [mm] a_1+b_1=1 [/mm] und [mm] a_2+b_2=1
[/mm]
Was verstehe ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Ich verstehe nicht wieso du [mm](a_1+b_1)[/mm] + [mm](a_2+b_2)=1[/mm]
> schreibst?
> Ich muss doch zeigen, dass wenn
> [mm]\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm] & [mm]\vektor{b_1 \\ b_2} \in[/mm] G [mm]\Rightarrow \vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
> + [mm]\vektor{b_1 \\ b_2}[/mm] = [mm]\vektor{a_1+b_1 \\ a_2+b_2} \in[/mm] G
> Und nach Defintion ist doch a+b=1, also auch [mm]a_1+b_1=1[/mm] und
> [mm]a_2+b_2=1[/mm]
>
> Was verstehe ich falsch?
Die Verwirrung kommt wahrscheinlich daher, dass die Buchstaben a und b in der Aufgabenstellung die Koordinaten (a,b) eines Elementes [mm] g\in [/mm] G sind, du jetzt aber diese Buchstaben für die Elemente von G selbst benutzt.
Wenn also [mm] a=(a_1,a_2)\in [/mm] G, dann bedeutet das eben, dass [mm] a_1+a_2=1 [/mm] ist.
Deine Aussage "a+b=1" für Elemente a,b aus G macht also überhaupt keinen Sinn, weil die Addition von Zahlenpaaren wieder ein Zahlenpaar ergibt und nicht eine Zahl.
Gruß Sax.
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Ach sooo.....
Aber jetzt nochmals eine Frage, habe vor ein paar Tagen folgende Frage gestellt: (https://www.vorhilfe.de/read?i=1008123)
Hallo zusammen
Habe so meine Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:
Welche der folgenden Mengen mit binären Verknüfungen sind Halbgruppen oder Gruppen?
a) { [mm] (a,b)\in\IR^{2}: [/mm] a+b=0 } mit Addition in [mm] \IR^{2} [/mm]
Ich nehme nun mal beliebige Vektoren an:
[mm] a=(a_{1},a_{2})^{t}, b=(b_{1},b_{2})^{t}, c=(c_{1},c_{2})^{t} [/mm]
Nun muss ich ja für eine Gruppe zeigen:
1) Abgeschlossenheit:
[mm] a=(a_{1},a_{2})^{t}\in [/mm] G & [mm] b=(b_{1},b_{2})^{t}\in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b = [mm] (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})^{t}=(0,0)^{t} \in [/mm] G
Ist das so korrekt?
2) Assoziativität: a+(b+c)=(a+b)+c
Wie zeige ich den das jetzt, wenn ich es wirklich ausführlich hinschreiben soll. (Es ist ja irgendwie klar das es stimmt...)
3) Neutrales Element: Ist doch hier einfach [mm] (0,0)^{t}, [/mm] oder?
4) Inverses Element: Ist hier für [mm] (a_{1},a_{2})^{t}: (-a_{1},-a_{2})^{t}, [/mm] oder?
Hoffe mir kann da jemand helfen... :/
Nun da wurde mir gesagt, dass es richtig ist, wie ich es oben aufgeschrieben habe.
Aber ich habe ja auch dort bei der Abgeschlossenheit falsch begründet. Es sollte doch in dem Fall heissen:
[mm] a=(a_{1},a_{2})^{t}\in [/mm] G & [mm] b=(b_{1},b_{2})^{t}\in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b = [mm] (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})^{t}=(a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2})=(a_{1}+a_{2}+b_{1}+b_{2})= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] G
Oder nicht?
Und beim Neutralen Elment, reicht es aus, wenn ich das einfach so hinschreibe, oder muss ich das noch genauer erklären? Wenn ja, wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was soll das
> Ach sooo.....
am Anfang deiner Frage, wenn du am Schluss
> Nun da wurde mir gesagt, dass es richtig ist, wie ich es oben
> aufgeschrieben habe.
> Aber ich habe ja auch dort bei der Abgeschlossenheit falsch begründet.
> Es sollte doch in dem Fall heissen:
> [mm] a=(a_{1},a_{2})^{t}\in [/mm] G & [mm] b=(b_{1},b_{2})^{t}\in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b = [mm] (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})^{t}=(a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2})=(a_{1}+a_{2}+b_{1}+b_{2})= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] G
doch wieder alles falsch machst ?
> Oder nicht?
Allerdings NICHT !
Das erste Gleichheitszeichen ist in Ordnung, das zweite ist Blödsinn. Es wird komponentenweise addiert, ein Zahlenpaar bleibt ein Zahlenpaar. Deshalb macht auch das letzte Enthaltenseins-Zeichen keinen Sinn. 0 kann nicht in G liegen, weil G gar nicht aus Zahlen besteht, sondern aus Zahlenpaaren ! (allenfalls [mm] (0,0)\in [/mm] G wäre eine sinnvolle Aussage )
Gruß Sax.
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Also ich verstehe gar nichts mehr!
Du schreibst doch oben:
> Richtig ist, dass du nachprüfen musst, ob
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=1[/mm] ist.
> Nun ergibt sich aber
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=1+1\not=1[/mm] .
> G ist mit dieser Addition nicht abgeschlossen und damit
> erübrigt sich der Rest (den du übrigens richtig
> bearbeitet hast).
Also muss ich doch bei jetzt nachprüfen, ob
[mm] (a_1+b_1)+(a_2+b_2)=0 [/mm] Dann ergibt sich:
[mm] (a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=0+0=0
[/mm]
Stimmt das jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Also ich verstehe gar nichts mehr!
Das tut mir leid.
> Du schreibst doch oben:
> > Richtig ist, dass du nachprüfen musst, ob
> > [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=1[/mm] ist.
> > Nun ergibt sich aber
> > [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=1+1\not=1[/mm] .
> > G ist mit dieser Addition nicht abgeschlossen und damit
> > erübrigt sich der Rest (den du übrigens richtig
> > bearbeitet hast).
> Also muss ich doch bei jetzt nachprüfen, ob
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=0[/mm] Dann ergibt sich:
> [mm](a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=0+0=0[/mm]
>
> Stimmt das jetzt?
Das stimmt jetzt. Aber vielleicht nur weil du's einfach abgeschrieben hast ohne es zu verstehen ?
[mm] \IR^2 [/mm] besteht aus Zahlenpaaren, die ich Komponenten nenne.
In [mm] \IR^2 [/mm] ist eine Addition definiert, die so geht : Die erste Komponente der Summe erhält man, indem man die ersten Komponenten der einzelnen Zahlenpaare addiert, entsprechend für die zweite Komponente.
G ist eine Teilmenge von [mm] \IR^2, [/mm] die diejenigen Zahlenpaare enthält, die eine gewisse Gleichung erfüllen, nämlich dass die Summe der Komponenten eines Zahlenpaares 1 (bzw 0 in der anderen Aufgabe) ist.
Ich habe das jetzt mal absichtlich alles ohne Buchstaben aufgeschrieben, dadurch wirkt es zwar sehr umständlich, aber für dich vielleicht deutlicher.
Wenn also [mm] a,b\in\IR^2 [/mm] , dann ist [mm] a+b=c\in\IR^2.
[/mm]
[mm] a=(a_1,a_2) [/mm] , [mm] b=(b_1,b_2) [/mm] und [mm] c=(c_1,c_2). [/mm] c berechnet man nach der Vorschrift [mm] c_1=a_1+b_1 [/mm] sowie [mm] c_2=a_2+b_2. [/mm] (Immer erste Komponente + 1. Komponente = 1. Komponente.)
Entscheidungskriterium dafür, ob a oder b oder c in G liegen, ist, ob das Kriterium [mm] g=(g_1,g_2)\in G\gdw g_1+g_2=1 [/mm] erfüllt ist. (bzw. [mm] g_1+g_2=0 [/mm] in der anderen Diskussion).
Wenn wir also wissen wollen, ob [mm] a+b\in [/mm] G ist, müssen wir prüfen, ob [mm] c\in [/mm] G ist. Letzteres läuft darauf hinaus, zu prüfen, ob [mm] c_1+c_2=1 [/mm] ist. Weil [mm] c_1=a_1+b_1 [/mm] ist (entsprechend für [mm] c_2), [/mm] erhalten wir [mm] c_1+c_2=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)=[Umsortieren]=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=[die [/mm] erste Klammer ist 1, weil a in G liegt, die zweite ...]=1+1=2 (bzw. 0+0=0 für die andere Aufgabe).
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Do 06.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Vielen lieben Dank! Jetzt verstehe ich es wirklich!!! Merci!
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