Gruppe und Untergruppe < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Abbildungen:
(a) Für jedes [mm] \Phi \in [0,2\pi] [/mm] die Drehung um [mm] \Phi, [/mm] d.h. [mm] d_{\Phi}: \IC \to \IC, d_{\Phi}(z)=e^{i\Phi}z
[/mm]
(b) Die komplexe Konjugation c: [mm] \IC \to \IC, [/mm] c(z)=z*
(c) Für jedes [mm] \Phi \in [0,2\pi) [/mm] die Drehung um [mm] \Phi [/mm] mit anschließender komplexer Konjugation d* [mm] _{\Phi}:=c \circ d_{\Phi}, [/mm] also d* [mm] _{\Phi}: \IC \to \IC, [/mm] d* [mm] _{\Phi}(z)=(e^{i\Phi}z)*
[/mm]
Es seien D die Mengen aller Drehungen [mm] D:={d_{\Phi}: \Phi \in [0,2\pi)} [/mm] und D* die Menge aller Drehungen mit anschließender komplexer Konjugation D* := {d* [mm] _{\Phi}: \Phi \in [0,2\pi)}
[/mm]
Zeigen Sie: Die Menge G:= D [mm] \cup [/mm] D* ist zusammen mit der Kompostion von Abbildungen (also (G, [mm] \circ)) [/mm] eine nicht-kommutative Gruppe. Geben Sie das neutrale Element und für jedes Element das Inverse an.
Welches Element beschreibt eine Spiegelung an der imaginären Achse, welches eine Spiegelung an der reellen Achse?
Zeigen Sie: D ist eine Untergruppe von G, aber D* ist keine Untergruppe von G.
Erinnerung: Die Komposition von Abbildungen f: [mm] \mathcal{D} \to \mathcal{Z} [/mm] und g: [mm] \mathcal{Z} \to \mathcal{W} [/mm] ist eine Abbildung definiert über g [mm] \circ [/mm] f : [mm] \mathcal{D} \to \mathcal{W}, [/mm] x [mm] \mapsto g\circ [/mm] f(x) = g(f(x)) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathcal{D} [/mm] |
Ich würde sagen, dass die Spiegelung an der reellen Achse die komplexe Konjugation und die Spiegelung an der imaginären Achse die Drehung ist.
Beim Rest weiß ich leider überhaupt nciht, wie ich das machen soll. Kann mir das jemand erklären?
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe die Aufgabe jetzt auch ein paar mal durchgelesen, um einen Sinn drin zu erkennen (es ist ja auch noch früh am Morgen.  ).
Ich denke, da werden einfach Drehungen und Spiegelungen an der reelle Achse gleichwertig als eine Verknüpfung betrachtet (die Elemente dieser Gruppe bestehen somit aus Drehungen und Spiegelungen an der reellen Achse). Es gibt also theoretisch für zwei hintereinander ausgeführte Abbildungen bereits vier Möglichkeiten, um welche von beiden es sich jetzt handelt. Die Schwierigkeit wird hier also darin bestehen, das Assoziativgesetz nachzurechnen. Wenn du dir zu Nutze machst, dass man d* auch als Drehung auffassen kann, so wird das allerdings auch einfach.
Das neutrale Element dürfte eigentlich kein Problem sein?
Beim Inversen betrachtest du Drehungen und Konjugationen getrennt. Bei der Drehung ist das Inverse klar; was ist das Inverse zur Konjugation?
Richtig erkannt hast du, dass die Konjugation der Spiegelung an der reellen Achse entspricht. Die Spiegelung an der imaginären Achse lässt sich durch eine Komposition einer Drehung und einer Konjugation darstellen. Wenn du mal allgemein nachrechnest, was diese Komposition mit dem Argument einer komplexen Zahl machst, so dürfte es ein Leichtes sein, den Drehwinkel zu bestimmen.
Zum guten Schluss: sind dir die Untergruppenkriterien bekannt? Denn damit siehst du schnell ein, dass die Konjugation komplexer Zahlen D* keine Untergruppe von G sein kann.
So, ich hoffe, ich konnte dir ein wenig auf die Sprünge helfen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Das neutrale Element müsste doch eigentlich die 0 sein, oder?
Und hab ich das richtig verstanden, dass ich für das Inverse zwei angeben muss? Also nicht eines für Drehung und komplexe Konjugation zusammen, sondern getrennt?
Leider hab ich immer noch keine Ahnung, wie man das mit der kommutativen Gruppe nachweisen soll. Es wäre ja eigentlich ganz leicht, wenn man ne Gurppentafel machen könnte, allerding weiß ich nicht, wie ich die am Besten aufstelle...oder gibts nich ne andere Möglichkeit?
|
|
|
| |
|
Hatte ich ganz vergessen..
Also wir haben die Definition von Untergruppen folgendermaßen aufgeschrieben:
Sei (G, [mm] \circ [/mm] ) eine Gruppe.
Eine nicht-leere Teilmenge U [mm] \subset [/mm] G heißt Untergruppe von G
[mm] \gdw [/mm] a) [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] U: a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
b) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] U: [mm] a^{-1} \in [/mm] U
|
|
|
| |
|
Hallo,
das ist so richtig, und es ist also zu prüfen ob jeweils beide Kriterien erfüllt sind.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Gruppe ist doch gar nicht kommutativ. Das neutrale Element ist eine Dreheiung um den Winkel 0, so vile Zeit muss sein . Und nachzuweisen, dass jedes Element ein Inverses besitzt mache dir klar, dass [mm]d^{\*}(z)\circ d^{\*}(z)=z[/mm] ist. Welche Drehung ist invers zu einer Drehung um den Winkel [mm] \phi?
[/mm]
Wie gesagt: das Hauptroblem besteht meiner Ansicht nach darin, das Assoziativgesetz zu zeigen. Und da ist es wiederum meiner bescheidenen Meinung nach hilfreich, die Konjugation erstmal als Drehung zu schreiben.
Eine Gruppentafel bringt dir hier überhaupt nichts, da es sich nicht um eine endliche Gruppe handelt.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
