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| Aufgabe | Es sei [mm] G:=\IR^{2}\ \{0,0\} [/mm] die Menge aller geordneten Paare (x,y) [mm] \in \IR^{2}\ \{0,0\} [/mm] mit reelen Zahlen [mm] x,y,x^{2}+y^{2}>0. [/mm] Wir betrachten die Verknüpfung [mm] \circ, [/mm] die durch
[mm] \forall(x,y),(u,v) \in [/mm] G: [mm] (x,y)\circ(u,v) [/mm] := (x*u - y*v , x*v + y*u)
definiert ist. Zeigen sie [mm] (G,\circ) [/mm] ist eine abelsche Gruppe!
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Hallo Leute,
ich bin gerade dabei mir selbst das Thema Gruppen näherzubringen (Ferien-Vorkurs von der TU München).
Leider ist zum Thema Gruppen keine konkrete Beispielaufgabe in meinen Unterlagen und daher kann ich die Aufgaben mehr schlecht als recht bearbeiten!
Bei dieser Aufgabe geht es um die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen!
Soweit ich bis jetzt verstanden habe muss ich um das zu beweisen die Assoziativität, das existieren eines inversen Elements und eines neutralen Elements sowie die Kommutativität zeigen.
Kommutativität und Assoziativität habe ich einfach so gezeigt:
x*u = u*x ... ( Kommutativ ) und x*u - y*v = - y*v + x*u ....
Reicht das schon als Beweis aus?
aber wie man das mit dem neutralen und inversen Element konkret zeigt ist mich nicht wirklich klar!
Man kann ja nicht einfach schreiben es existiert ein neutr. Element [mm] x\circ [/mm] e = x , oder?
Vielen Dank im Voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und guten Tag,
> Es sei [mm]G:=\IR^{2}\ \{0,0\}[/mm] die Menge aller geordneten Paare
> (x,y) [mm]\in \IR^{2}\ \{0,0\}[/mm] mit reelen Zahlen
> [mm]x,y,x^{2}+y^{2}>0.[/mm] Wir betrachten die Verknüpfung [mm]\circ,[/mm]
> die durch
>
> [mm]\forall(x,y),(u,v) \in[/mm] G: [mm](x,y)\circ(u,v)[/mm] := (x*u - y*v ,
> x*v + y*u)
>
> definiert ist. Zeigen sie [mm](G,\circ)[/mm] ist eine abelsche
> Gruppe!
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> Soweit ich bis jetzt verstanden habe muss ich um das zu
> beweisen die Assoziativität, das existieren eines inversen
> Elements und eines neutralen Elements sowie die
> Kommutativität zeigen.
>
Sic est.
> Kommutativität und Assoziativität habe ich einfach so
> gezeigt:
>
> x*u = u*x ... ( Kommutativ ) und x*u - y*v = - y*v + x*u
> ....
>
Nein, noch nicht. Du musst ja zeigen, dass
[mm] (x,y)\circ [/mm] (u,v) = [mm] (u,v)\circ [/mm] (x,y) ist.
Dabei musst Du die Kommutativitat der Multiplikation der reellen Zahlen benutzen, aber auch deutlich machen, wo genau Du diese benutzt und
wo die Definition der neuen Verknüpfung [mm] \circ [/mm] eingeht. Die Kommutativität der Addition auf [mm] \IR [/mm] brauchst Du an der Stelle nicht, sondern erst bei der zweiten Komponente.
> Reicht das schon als Beweis aus?
>
> aber wie man das mit dem neutralen und inversen Element
> konkret zeigt ist mich nicht wirklich klar!
> Man kann ja nicht einfach schreiben es existiert ein
> neutr. Element [mm]x\circ[/mm] e = x , oder?
Du musst das [mm] e=(x_e,y_e) [/mm] angeben und zeigen, dass es dann auch wirklich
[mm] \forall (x,y)\in \ldots e\circ [/mm] (x,y)=(x,y)
erfüllt.
Wie wäre es mit e= [mm] (1,\ldots [/mm] ) ?
Gruss,
Mathias
>
> Vielen Dank im Voraus!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Ich bin leider noch immer nicht drauf gekommen!
Um die Kommutativität zu beweisen muss ich zeigen (x*u - y*v = x*v + y*u) oder?
Bei mir komm ich dann immer auf x (u-v) = y (v+u)!
Oder ist der Ansatz schon falsch?
Abgesehen davon check ich das mit neutralen Element auch noch nicht!
e (1,1) ist doch falsch,oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 21.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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