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Gruppen: kleiner Satz on Fermat
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Di 03.05.2005
Autor: Reaper

Hallo
Hab ein Problem zu einem Beispiel.

a.)Zeigen Sie für endliche Gruppen G mir neutralen Element 1 und g in G:
Die Menge <g> := { [mm] 1,g,g^{2},.. [/mm] }ist eine Untergruppe von G (die von g erzeugte zyklische Untergruppe)
Also g ist Erzeuger dieser zyklischen Untergruppe.
2 Untergruppenkriterien:
<g> != {}  .....klar
[mm] \forall g_{1},g_{2} \in [/mm] <g>: [mm] g_{1} [/mm] o [mm] g_{2}^{-1} \in [/mm] <g>

Angenommen:
[mm] g_{1} [/mm] = [mm] g^{m} [/mm]
[mm] g_{2} [/mm] = [mm] g^{n} [/mm]

[mm] (g_{2})^{-1} [/mm] = [mm] g^{n-1} [/mm]

[mm] g^{m} [/mm] o [mm] g^{n-1} [/mm] = [mm] g^{n-1+m} [/mm] -> in <g> also Untergruppe

Stimmt mein Beweis?

b.)
Zeigen Sie unter obigen Vorraussetzungen: [mm] g^{|G|} [/mm] = 1 ("kleiner Satz von Fermat")
Hier blick ich irgendwie nicht durch.
Als Tip steht ein Satz aus dem Skript der folgendes besagt:
Ist K ein Normalteiler von der Gruppe A. (sprich K ist ein Kern) so ist
h:K -> a o K, k -> a o k bijektiv. (A teilt sich in verschiedene Nebenklassen auf wovon a jeweils der Repräsentant der Nebenklasse ist, der die Untergruppe k jeweils um a verschiebt. Wenn ich das richtig verstanden habe werden die Elemente der Untergruppe auf die Nebenklasse projeziert.
a spielt hierbei keine Rolle da er ja nur den Unterraum verschiebt. Also wird
K wieder in K projeziert was bijektiv ist). Alle Nebenklassen a o K sind gleichmächtig. Die Anzahl der verschiedenen Nebenklassen von A bzgl. K heißt der Index von K in A und wird mit [A : K] bezeichnet. Es gilt damit
|K|*[A : K] = |A|...Anzahl der Elemente in A
Ist A endlich so gilt [A:K]=|A|/|K| und |K| muss |A| teilen (Satz von Lagrange)



        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Di 03.05.2005
Autor: praetorA

Zum Thema:
https://matheraum.de/read?i=59382

In Kurzform:
Der zitierte Satz von Lagrange gilt nicht nur für Normalteiler.

Zum ersten Teil:
[mm] (g_{2})^{-1} [/mm]  =  [mm] g^{n-1} [/mm]
kann nicht einfach angenommen werden. (was ist n?)
Versuch den Beweis der Invertierbarkeit aller Elemente über einen Widerspruchsbeweis! Abgeschlossenheit ist klar und dein Beweis passt auch!

Bezug
                
Bezug
Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Di 03.05.2005
Autor: Reaper

Hallo, eine Frage hätte ich da: Wenn die Gruppe invertierbar ist heißt dass dann das jede Operation also g o g o g.......nmal  = 1 ist?
Eigentlich schon denn sonst wäre es ja keine Gruppe
Ansonsten wäre bei a.) alles klar.
b.)

Ich nehme mir ein k aus g her: min{n in N: [mm] g^{n} [/mm] = 1} = |<g>|

|G| = |<g>| * |G : <g>|

1 = [mm] g^{||} [/mm] = ......(weiß ich nicht).........= [mm] g^{|G|} [/mm]

Wie zeige ich jetzt dass <g> ein Teiler von <G> ist?

Bezug
                        
Bezug
Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Di 03.05.2005
Autor: Jay-G

Es gibt einen Satz das die Anzahl der Elemente einer beliebigen  Untergruppe einer endlichen Gruppe die Anzahl der Elemente der Gruppe teilt.
Beweis leicht mit Nebenklassen (siehe google oder so).
Dann schaust dir die Menge
[mm] \{k,g(k),g^2(k), ... g^(n-1),g^n=k \} [/mm]
an.
Dies sollte eine Untergruppe von G sein.
Also hast du was du willst.

Bezug
                        
Bezug
Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mi 04.05.2005
Autor: Julius

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Reaper!

> Hallo, eine Frage hätte ich da: Wenn die Gruppe
> invertierbar ist heißt dass dann das jede Operation also g
> o g o g.......nmal  = 1 ist?

[haee]

>  Eigentlich schon denn sonst wäre es ja keine Gruppe
>  Ansonsten wäre bei a.) alles klar.

Du hattest bei a) schon Recht, es war nur schwer lesen.

Sind

$g_1=g^m$

und

$g_2=g^n$,

dann gilt (mit den üblichen Notationen):

$g_1 \circ g_2^{-1} = g^m \circ \left(g^n\right)^{-1} = g^m \circ g^{-n} = g^{m-n} \in \langle g \rangle$.

>  b.)
>  
> Ich nehme mir ein k aus g her: min{n in N: [mm]g^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= 1} =

> |<g>|
>  
> |G| = |<g>| * |G : <g>|
>
> 1 = [mm]g^{||}[/mm] = ......(weiß ich nicht).........= [mm]g^{|G|}[/mm]
>  
> Wie zeige ich jetzt dass <g> ein Teiler von <G> ist?

Das steht doch oben! [kopfkratz]

Aus

$|G| = |<g>| * |G : <g>|$

folgt doch sofort (nach Definition!), dass [mm] $|\langle [/mm] g [mm] \rangle|$ [/mm] ein Teiler von $|G|$ ist!

Ist jetzt alles klar mit der Aufgabe oder hast du noch Fragen?

Viele Grüße
Julius

Bezug
                                
Bezug
Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 04.05.2005
Autor: Reaper

Danke.....alles klar.

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