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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Di 12.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
| Aufgabe | Sei G = {(a, b) [mm] \in \IR [/mm] × [mm] \IR [/mm] | a [mm] \not= [/mm] 0} [mm] \subseteq \IR [/mm] × [mm] \IR. [/mm] Für alle (a, b), (c, d) [mm] \in [/mm] G definieren wir eine Multiplikation durch (a, b)(c, d) = (ac, ad+b), wobei die Verknüpfungen in den Klammern die aus [mm] \IR [/mm] sind.
(a) Beweisen Sie, dass G mit dieser Multiplikation eine Gruppe ist.
(b) Beweisen Sie, dass K = {(1, b) | b [mm] \in \IR} [/mm] ein Normalteiler von G ist. |
Guten Morgen,
könnte mir bitte jmd helfen, diese Aufgabe zu lösen ?
Ich weiß, dass eine Gruppe folgendermaßen definiert ist:
ist assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
es gibt ein neutrales Element in G: a * e = e * a = a
für jedes a gibt es ein inverses Element: a * a-1 = a-1 * a = e
wenn dann zusätzlich noch a * b = b * a gilt dann ist die Gruppe abelsch
Aber wie kann ich dass jetzt herausfinden ?
Wie wird die Gleichung denn aufgestellt ? Ich scheitere hier schon am ersten Schritt, da ich absolut nicht weiß wie ich diese Gleichung aufgestellt bekomme.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß Jenny
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei G = {(a, b) [mm]\in \IR[/mm] × [mm]\IR[/mm] | a [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0} [mm]\subseteq \IR[/mm]
> × [mm]\IR.[/mm] Für alle (a, b), (c, d) [mm]\in[/mm] G definieren wir eine
> Multiplikation durch (a, b)(c, d) = (ac, ad+b), wobei die
> Verknüpfungen in den Klammern die aus [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sind.
> (a) Beweisen Sie, dass G mit dieser Multiplikation eine
> Gruppe ist.
> (b) Beweisen Sie, dass K = {(1, b) | b [mm]\in \IR}[/mm] ein
> Normalteiler von G ist.
> Guten Morgen,
>
> könnte mir bitte jmd helfen, diese Aufgabe zu lösen ?
> Ich weiß, dass eine Gruppe folgendermaßen definiert ist:
>
> ist assoziativ: a * (b * c) = (a * b) * c
> es gibt ein neutrales Element in G: a * e = e * a = a
> für jedes a gibt es ein inverses Element: a * a-1 = a-1 *
> a = e
> wenn dann zusätzlich noch a * b = b * a gilt dann ist die
> Gruppe abelsch
>
> Aber wie kann ich dass jetzt herausfinden ?
> Wie wird die Gleichung denn aufgestellt ? Ich scheitere
> hier schon am ersten Schritt, da ich absolut nicht weiß
> wie ich diese Gleichung aufgestellt bekomme.
Hallo,
die Bedingungen für "Gruppe" gibst Du sehr verkürzt an.
Oft reicht das, hier reicht es für Dich aber offenbar nicht.
Schauen wir mal die Assoziativität an:
Wenn [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe ist, dann gilt
für alle Elemente a,b,c aus G: a * (b * c) = (a * b) * c.
Nun zu Deinem Beispiel.
Du mußt natürlich das obige zeigen.
Seien also [mm] a,b,c\in [/mm] G.
Wie sehen denn die Elemente aus G aus?
Es sind Zahlenpaare!
Wir können also schreiben:
Seien [mm] a:=(a_1,a_2), b:=(b_1, b_2), c:=(c_1, c_2) \in [/mm] G.
Es ist
a * (b * [mm] c)=(a_1,a_2)\*[(b_1,b_2)\*(c_1,c_2)]
[/mm]
[mm] =(a_1,a_2)\*(b_1c_1,b_1c_2+b_2) \qquad [/mm] nach Def. der Verknüpfung
[mm] =(a_1(b_1c_1); a_1(b_1c_2+b_2)+a_2)\qquad [/mm] nach Def. der Verknüpfung
=...
und es ist
(a * b) * [mm] c=[(a_1,a_2)\*[(b_1,b_2)]\*(c_1,c_2)=...
[/mm]
Nun rechnest Du das nach Verknüpfungsvorschrift aus und guckst, ob wirklich am Ende dasselbe dasteht.
Zum neutralen Element.
Nimm erstmal einen geheimen Schmierzettel.
Wenn [mm] a:=(a_1, a_2) [/mm] ein beliebiges Element aus G ist, dann suchst Du nun ein Element [mm] e:=(e_1, e_2) [/mm] mit [mm] a\*e=e\*a=a. [/mm] Führe die Verknüpfung aus und überlege Dir, wie e aussehen muß.
Wenn Du das hast, nimmst Du einen nicht geheimen Zettel und schreibst:
"Sei [mm] a:=...\in [/mm] G. Für e:=... gilt [mm] a\*e=...a [/mm] und [mm] e\*a=...=a. [/mm] Also ist e das neutrale Element von G bzgl [mm] \*."
[/mm]
Wen Dir dies geglückt ist, kannst du ja auch schon einen Versuch fürs Inverse starten.
Gruß v. Angela
EDIT: überprüfe die Aufgabenstellung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 12.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
ich stehe gerade glaube ich etwas auf dem schlauch.
ich kapier nur noch abfahrt und bahnhof.
das neutrale element müsste dann ja wohl die 1 sein oder ?
aber wie komme ich denn dahinter dass diese Multiplikation die Gruppe ist.
d.h. ich muss assoziativgesetz auf a,b,c,d anwenden oder ?
(a, b)(c, d) = (ac, ad+b)
ich mein die Verknüfungstabelle von
* a b c
a a² ab ac
b ab b² bc
c ac bc c²
es tut mir leid aber ich steh wirklich gerade total auf dem Schlauch.
Bitte hilft mir und erklärt mir den 1. Teil dieser Aufgabe damit ich zumindest mal weiß wie man an so eine Aufgabe ran geht. Wäre diese Verknüpfungstabelle für den 1. Teil korrekt ?
danke
gruß jenny (bin deprimiert dass ich kaum noch solche Matheaufgaben gelöst bekomme) das kann ja sicher alles nicht so schwer sein.
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> das neutrale element müsste dann ja wohl die 1 sein oder ?
Hallo,
ganz sicher nicht, denn die Elemente Deiner Gruppe G sind doch Zahlenpaare. Also muß doch das neutrale Element, sofern es wirklich eins gibt, auch ein Zahlenpaar sein.
>
> aber wie komme ich denn dahinter dass diese Multiplikation
> die Gruppe ist.
> d.h. ich muss assoziativgesetz auf a,b,c,d anwenden oder ?
Nein, Du mußt es auf das anwenden, was ich zuvor schrieb.
Ich habe meine vorherige Antwort etwas bearbeitet und mal den Anfang vorgemacht.
Schau dort nochmal, vielleicht wird's dann klarer.
Aber mal etwas anderes: bist Du Dir sicher, daß die gepostete Aufgabenstellung stimmt?
Ich habe den Eindruck, daß die Verknüpfung eigentlich anders heißen sollte. (So, wie es jetzt dasteht, ist's keine Gruppe.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 12.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Hallo,
vielen Dank erstmal für diese Informationen.
Ich habe gerade einen Screenshot der Aufgabenstellung gemacht.
Allerdings ist ja die Frage ob es sich um eine Gruppe handelt, somit kann es ja auch sein, dass es keine Gruppe ist... wobei ich das eigentlich auch eher als unwahrscheinlich erachte....
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
die Aufgabenstellung ist i.O.
Ich hatte mich vertan.
Du kannst zeigen, daß es eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 13.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Guten Morgen Angela,
vielen Dank für deine liebe Unterstützung gestern. Ich glaube gestern abend (sehr spät) hat es bei mir klick gemacht.
Ich habe hier eine Datei angehängt, in der meine Lösung der Aufgabe 1a steht. Würdest du das bitte kurz einmal korrektur lesen und mir mitteilen ob das so stimmt oder nicht.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Aufgabe1a
Ich werde dann versuchen heute oder morgen noch den Teil b zu lösen. Ich muss mir dazu noch ein paar Sachen durchlesen. Ich wäre aber froh, wenn du mir auch diesen Teil dann noch korrigieren könntest.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Gruß Jenny
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Jenny,
schöner wäre es, wenn du die Rechnungen hier eintippen würdest, dann könnte man Bemerkungen direkt dran schreiben ...
Nun denn, es ist alles richtig bis auf die Sache mit den Inversen.
Und hattest du die Abgeschlossenheit schon gezeigt?
Ansonsten musst du das noch tun!
Für die Inversen musst du nochmal nachrechnen.
Du musst zu jedem Element [mm](a_1,a_2)[/mm] ein Element [mm](b_1,b_2)[/mm] finden mit [mm](a_1,a_2)(b_1,b_2)=(b_1,b_2)(a_1,a_2)=(1,0)[/mm]
Schreibe dazu einfach [mm](a_1,a_2)(b_1,b_2)[/mm] mal aus und vergleiche komponentenweise mit dem neutralen Element [mm](1,0)[/mm]
Erste Komponente muss 1 sein, die zweite 0, damit kannst du [mm]b_1,b_2[/mm] bestimmen.
Prüfe dann aber auch, ob mit den so gefundenen [mm]b_1,b_2[/mm] denn auch [mm](b_1,b_2)(a_1,a_2)=(1,0)[/mm] ist ...
Schreibe das aber dann bitte direkt hier rein ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 13.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Hey
sorry, soweit habe ich garnicht gedacht.
werde den Text jetzt hier posten.
was bzw wie zeige ich den die Abgeschlossenheit ?
Inverse habe ich jetzt so angefangen:
[mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] * [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] = (1,0) dann wieder Def. der Verknüpfungsregel darauf angewandt.
-->
[mm] (a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2} [/mm] + [mm] a_{2}) [/mm] = (1,0) ist der Schritt richtig ?
und jetzt muss ich schauen, wann
[mm] a_{1} b_{1} [/mm] = 1
und
[mm] a_{1} b_{2} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] = 0
ist das richtig ?
und dann muss ich die ganze Rechnung noch machen für
[mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] * [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] = (1,0)
[mm] (b_{1} a_{1}, b_{1} a_{2} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] ) = (1,0) Lt. Definition der Verknüpfung
wäre das die korrekte Vorgehensweise ?
Gruß Jenny
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Hallo nochmal,
> Hey
> sorry, soweit habe ich garnicht gedacht.
> werde den Text jetzt hier posten.
>
> was bzw wie zeige ich den die Abgeschlossenheit ?
Du musst zeigen, dass die Verknüpfung von 2 Elementen [mm] $(a_1,a_2), (b_1,b_2)\in [/mm] G$ wieder in $G$ landet!
Nimm dir 2 (beliebige) Elemente aus G her, verrechne die und prüfe, ob das Ergebnistupel die Bedingung(en) von G erfüllt
>
> Inverse habe ich jetzt so angefangen:
>
> [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] * [mm](b_{1}, b_{2})[/mm] = (1,0) dann wieder Def.
> der Verknüpfungsregel darauf angewandt.
>
> -->
> [mm](a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2}[/mm] + [mm]a_{2})[/mm] = (1,0) ist der
> Schritt richtig ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und jetzt muss ich schauen, wann
> [mm]a_{1} b_{1}[/mm] = 1
> und
> [mm]a_{1} b_{2}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] = 0
> ist das richtig ?
Ja, das löse dann mal nach [mm] $b_1$ [/mm] bzw. [mm] $b_2$ [/mm] auf!
> und dann muss ich die ganze Rechnung noch machen für
>
> [mm](b_{1}, b_{2})[/mm] * [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] = (1,0)
> [mm](b_{1} a_{1}, b_{1} a_{2}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] ) = (1,0) Lt. Definition
> der Verknüpfung
Hier musst du nur kontrollieren, ob mit den oben bestimmten [mm] $b_1,b_2$ [/mm] dann [mm] $(b_1,b_2)(a_1,a_2)=(1,0)$ [/mm] ist.
>
> wäre das die korrekte Vorgehensweise ?
Ja!
>
> Gruß Jenny
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mi 13.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Guten Abend,
vielen Dank für deine Hilfe,
also: ich habe jetzt herausbekommen, dass das inverse Element [mm] (1/a_{1}, [/mm] - [mm] (a_{2}/a_{1})) [/mm] ist.
Berechnung
[mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] * [mm] (b_{1},b_{2}) [/mm] = (1,0)
[mm] a_{1} b_{1}, a_{1}b [/mm] _{2} + [mm] a_{2} [/mm] = (1,0)
daraus folgt:
[mm] a_{1} b_{1} [/mm] = 1 aufgelöst nach [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] b_{1} [/mm] := 1/ [mm] a_{1}
[/mm]
[mm] a_{1} b_{2} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] = 0
[mm] b_{2} [/mm] = - [mm] a_{2}/ a_{1}
[/mm]
somit ergibt sich das inverse Element . Die Prüfung hat auch funktioniert
wenn ich in
[mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] * [mm] (a_{1},a_{2}) [/mm] = (1,0)
für b die berechneten Werte einsetze dann stimmen die Tupel mit dem neutralen Element überein.
daraus folgt
[mm] (b_{1} a_{1}, b_{1}a_{2} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] )= (1,0)
[mm] 1/a_{1} [/mm] * [mm] a_{1} [/mm] = 1
1 = 1
und
[mm] b_{1} a_{2} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] = 0
1/ [mm] a_{1} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] + (- [mm] a_{2}/a_{1}) [/mm] = 0
[mm] a_{2}/ a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] / [mm] a_{1} [/mm] = 0
0 = 0
Ich denke das sollte jetzt auch richtig sein oder ? 
womit ich leider immer noch Probleme habe ist damit die Abgeschlossenheit zu zeigen.
ich habe folgendermaßen angefangen:
a= [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] b = [mm] (b_{1}, b_{2});
[/mm]
a = (1,1) b = (2,2)
das ganze eingesetzt in
[mm] (a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2} +a_{2} [/mm] ergibt dann ein Tupel
(2,3)
und wie geht das dann weiter ?
Und könntest du mir möglicherweise noch erklären, wie ich den Aufgabenteil b anfangen kann. Man soll beweisen, dass K = (1,b) | b [mm] \in \IR [/mm] ein Normalteiler von G ist.
Danke
Gruß Jenny
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Hallo nochmal,
> Guten Abend,
>
> vielen Dank für deine Hilfe,
>
> also: ich habe jetzt herausbekommen, dass das inverse
> Element [mm](1/a_{1},[/mm] - [mm](a_{2}/a_{1}))[/mm] ist.
> Berechnung
> [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] * [mm](b_{1},b_{2})[/mm] = (1,0)
> [mm]a_{1} b_{1}, a_{1}b[/mm] _{2} + [mm]a_{2}[/mm] = (1,0)
> daraus folgt:
> [mm]a_{1} b_{1}[/mm] = 1 aufgelöst nach [mm]b_{1}[/mm]
> [mm]b_{1}[/mm] := 1/ [mm]a_{1}[/mm]
>
> [mm]a_{1} b_{2}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] = 0
> [mm]b_{2}[/mm] = - [mm]a_{2}/ a_{1}[/mm]
>
> somit ergibt sich das inverse Element .
Das zu [mm](a_1,a_2)[/mm] inverse Element!
> Die Prüfung hat
> auch funktioniert
> wenn ich in
> [mm](b_{1}, b_{2})[/mm] * [mm](a_{1},a_{2})[/mm] = (1,0)
> für b die berechneten Werte einsetze dann stimmen die
> Tupel mit dem neutralen Element überein.
> daraus folgt
> [mm](b_{1} a_{1}, b_{1}a_{2}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] )= (1,0)
> [mm]1/a_{1}[/mm] * [mm]a_{1}[/mm] = 1
> 1 = 1
>
> und
> [mm]b_{1} a_{2}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] = 0
> 1/ [mm]a_{1}[/mm] * [mm]a_{2}[/mm] + (- [mm]a_{2}/a_{1})[/mm] = 0
> [mm]a_{2}/ a_{1}[/mm] - [mm]a_{2}[/mm] / [mm]a_{1}[/mm] = 0
> 0 = 0
>
> Ich denke das sollte jetzt auch richtig sein oder ?
Ja, gut!
> womit ich leider immer noch Probleme habe ist damit die
> Abgeschlossenheit zu zeigen.
> ich habe folgendermaßen angefangen:
>
> a= [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] b = [mm](b_{1}, b_{2});[/mm]
> a = (1,1) b =
> (2,2)
>
> das ganze eingesetzt in
> [mm](a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2} +a_{2}[/mm] ergibt dann ein Tupel
> (2,3)
>
> und wie geht das dann weiter ?
Du musst beliebige ELemente nehmen und verknüpfen!
Wann ist ein Element in G?
Wenn die erste Komponente eine reelle Zahl [mm]\neq 0[/mm] ist und die zweite eine bel. reelle Zahl.
Passt das?
>
> Und könntest du mir möglicherweise noch erklären, wie
> ich den Aufgabenteil b anfangen kann. Man soll beweisen,
> dass K = (1,b) | b [mm]\in \IR[/mm] ein Normalteiler von G ist.
Dazu schaue dir die Definition einer NT an!
Wann ist eine Untergruppe ein NT?
Zeige, dass [mm]K[/mm] Untergruppe von [mm]G[/mm] ist und dann die NT-Eigenschaft(en)
>
> Danke
> Gruß Jenny
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 14.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Guten Tag,
vielen dank für die schnelle Antwort gestern Abend.
> > Abgeschlossenheit zu zeigen.
> > ich habe folgendermaßen angefangen:
> >
> > a= [mm](a_{1}, a_{2})[/mm] b = [mm](b_{1}, b_{2});[/mm]
> > a = (1,1) b =
> > (2,2)
> >
> > das ganze eingesetzt in
> > [mm](a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2} +a_{2}[/mm] ergibt dann ein Tupel
> > (2,3)
> >
> > und wie geht das dann weiter ?
>
> Du musst beliebige ELemente nehmen und verknüpfen!
>
> Wann ist ein Element in G?
>
> Wenn die erste Komponente eine reelle Zahl [mm]\neq 0[/mm] ist und
> die zweite eine bel. reelle Zahl.
>
> Passt das?
Ja meiner Meinung nach passt das.
Also ist es eine Gruppe. Das ist ja richtig oder ?
und dann zu dem zweiten Teil mit dem Normalteiler:
K = (1,b) ist das eine Untergruppe von G
Ja K ist eine Untergruppe von G weil
assoziativ, Neutrales Element (1,0), Inverses Element (1, -b) getestet das hat funktioniert, abgeschlossenheit ebenfalls getestet, meiner Meinung nach soweit alles in Ordnung.
Nun ist die Frage ist K auch ein Normalteiler von G ?
Definition Normalteiler:
Die Untergruppe N heißt ein Normalteiler von G, wenn eine der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist, die paarweise äquivalent sind:
1. Für jedes g gilt gNg − 1 = N. Man sagt auch: N ist invariant unter der Konjugation gNg − 1.
2. Für jedes g stimmt die linke mit der rechten Nebenklasse von N überein: gN = Ng.
3. Die Menge N ist eine Vereinigung von Konjugationsklassen der Gruppe G.
4. Es existiert ein Gruppenhomomorphismus aus G, dessen Kern N ist.
Um den 1. Punkt der Definition zu testen, bin ich folgendermaßen vorgegangen:
g * Ng = N --> N = der Normalteiler g ein Element der Gruppe
[mm] (a_{1}, a_{2} [/mm] ) (1,b) [mm] (a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}) [/mm] = (1,b)
wie wird denn hier jetzt korrekterweise vorgegangen, muss ich Ng zuerst einma ausmultiplizieren, oder wird das ebenfalls nach der Verknüpfungsregel dann ausgerechnet, also ich bin jetzt nach Def der Verknüpfung vorgegangen und bin dann zu folgendem gekommen:
[mm] (a_{1}, a_{2} [/mm] ) * [mm] (a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1} [/mm] + b) = (1,b)
[mm] (a_{1} [/mm] * [mm] a_{1}^{-1} [/mm] , [mm] a_{1} [/mm] * [mm] (a_{2}^{-1} [/mm] + b) + [mm] a_{2} [/mm] = (1,b)
1, ??? = (1,b)
und hier scheitere ich da ich nicht auf b komme
Um den 2. Punkt der Definition zu testen, bin ich folgendermaßen vorgegangen:
gN = Ng
[mm] (a_{1}, a_{2} [/mm] ) * (1,b) = (1,b) * [mm] (a_{1}, a_{2} [/mm] )
[mm] a_{1} [/mm] * 1 , [mm] a_{1} [/mm] * b + [mm] a_{2} [/mm] = 1 * [mm] a_{1} [/mm] , 1 * [mm] a_{2} [/mm] + b
[mm] a_{1} [/mm] , [mm] a_{1} [/mm] * b + [mm] a_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] , [mm] a_{2} [/mm] + b)
meiner meinung nach ist die 2. Komponente nicht gleich zu bekommen zumindest hängt hier dann mal wieder mein Problem. Kann es sein, dass K kein Normalteiler ist ?
Punkt 3 und 4 stehe ich auf dem Schlauch wie berechnet man das ?
Gruß Jenny
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> Nun ist die Frage ist K auch ein Normalteiler von G ?
> Definition Normalteiler:
> Die Untergruppe N heißt ein Normalteiler von G, wenn eine
> der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist, die paarweise
> äquivalent sind:
>
> 1. Für jedes g gilt gNg − 1 = N. Man sagt auch: N ist
> invariant unter der Konjugation gNg − 1.
>
> Um den 1. Punkt der Definition zu testen, bin ich
> folgendermaßen vorgegangen:
> [mm] gNg^{-1} [/mm] = N --> N = der Normalteiler g ein Element der
> Gruppe
> [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) (1,b) [mm](a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1})[/mm] = (1,b)
Hallo,
an dieser Zeile sieht man, daß Du einiges nicht verstanden hast.
1.
[mm] gNg^{-1}=N [/mm] bedeutet nicht: "Für alle [mm] n\in [/mm] N und für alle [mm] g\in [/mm] G gilt [mm] gng^{-1}=n."
[/mm]
In [mm] gNg^{-1}=N [/mm] haben wir es mit der Gleichheit von Mengen zu tun.
Wenn [mm] gNg^{-1}=N, [/mm] dann gilt [mm] gNg^{-1}\subseteq [/mm] N und [mm] N\subseteq gNg^{-1}.
[/mm]
Anders ausgedrückt: wenn die Gleichheit [mm] gNg^{-1}=N [/mm] gilt,
dann ist für jedes [mm] n\in [/mm] N das Element [mm] gng^{-1}\in [/mm] N,
und jedes [mm] n\in [/mm] N kann man schreiben als [mm] n=gn'g^{-1} [/mm] mit passenden [mm] n'\in [/mm] N.
2.
Sei nun [mm] g:=(g_1,g_2)\in [/mm] G und [mm] (1,b)\in [/mm] K.
Du mußt überprüfen, ob [mm] (g_1,g_2)(1,b)(g_1,g_2)^{-1} [/mm] in K liegt, also die Gestalt (1, c) hat.
[mm] (g_1,g_2)^{-1} [/mm] ist das inverse Element von [mm] (g_1, g_2). [/mm] Es ist [mm] (g_1,g_2)^{-1}\not=(g_1^{-1}, g_2^{-1}). [/mm] Sondern? Du hattest es doch zuvor ausgerechnet!
Gruß v. Angela
> wie wird denn hier jetzt korrekterweise vorgegangen, muss
> ich Ng zuerst einma ausmultiplizieren, oder wird das
> ebenfalls nach der Verknüpfungsregel dann ausgerechnet,
> also ich bin jetzt nach Def der Verknüpfung vorgegangen
> und bin dann zu folgendem gekommen:
>
> [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) * [mm](a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}[/mm] + b) = (1,b)
> [mm](a_{1}[/mm] * [mm]a_{1}^{-1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm] * [mm](a_{2}^{-1}[/mm] + b) + [mm]a_{2}[/mm] =
> (1,b)
> 1, ??? = (1,b)
> und hier scheitere ich da ich nicht auf b komme
>
> Um den 2. Punkt der Definition zu testen, bin ich
> folgendermaßen vorgegangen:
> gN = Ng
> [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) * (1,b) = (1,b) * [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] )
> [mm]a_{1}[/mm] * 1 , [mm]a_{1}[/mm] * b + [mm]a_{2}[/mm] = 1 * [mm]a_{1}[/mm] , 1 * [mm]a_{2}[/mm] + b
> [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm] * b + [mm]a_{2}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{2}[/mm] + b)
>
> meiner meinung nach ist die 2. Komponente nicht gleich zu
> bekommen zumindest hängt hier dann mal wieder mein
> Problem. Kann es sein, dass K kein Normalteiler ist ?
>
> Punkt 3 und 4 stehe ich auf dem Schlauch wie berechnet man
> das ?
>
> Gruß Jenny
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Fr 15.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
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> > Nun ist die Frage ist K auch ein Normalteiler von G ?
> > Definition Normalteiler:
> > Die Untergruppe N heißt ein Normalteiler von G, wenn eine
> > der folgenden vier Bedingungen erfüllt ist, die paarweise
> > äquivalent sind:
> >
> > 1. Für jedes g gilt gNg − 1 = N. Man sagt auch: N ist
> > invariant unter der Konjugation gNg − 1.
>
> >
> > Um den 1. Punkt der Definition zu testen, bin ich
> > folgendermaßen vorgegangen:
> > [mm]gNg^{-1}[/mm] = N --> N = der Normalteiler g ein Element der
> > Gruppe
> > [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) (1,b) [mm](a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1})[/mm] = (1,b)
>
> Hallo,
>
> an dieser Zeile sieht man, daß Du einiges nicht verstanden
> hast.
Ja das kann duraus sein, leider steht in meinem Skript auch nicht mehr drin, als die vier Punkte die ich hier bereits gepostet habe. und nach 5 Jahren kein Mathe mehr fällt es mir derzeit einfach etwas schwer.
Aber trotzdem danke...
>
> 1.
> [mm]gNg^{-1}=N[/mm] bedeutet nicht: "Für alle [mm]n\in[/mm] N und für alle
> [mm]g\in[/mm] G gilt [mm]gng^{-1}=n."[/mm]
>
> In [mm]gNg^{-1}=N[/mm] haben wir es mit der Gleichheit von Mengen zu
> tun.
> Wenn [mm]gNg^{-1}=N,[/mm] dann gilt [mm]gNg^{-1}\subseteq[/mm] N und
> [mm]N\subseteq gNg^{-1}.[/mm]
>
> Anders ausgedrückt: wenn die Gleichheit [mm]gNg^{-1}=N[/mm] gilt,
>
> dann ist für jedes [mm]n\in[/mm] N das Element [mm]gng^{-1}\in[/mm] N,
> und jedes [mm]n\in[/mm] N kann man schreiben als [mm]n=gn'g^{-1}[/mm] mit
> passenden [mm]n'\in[/mm] N.
>
> 2.
> Sei nun [mm]g:=(g_1,g_2)\in[/mm] G und [mm](1,b)\in[/mm] K.
> Du mußt überprüfen, ob [mm](g_1,g_2)(1,b)(g_1,g_2)^{-1}[/mm] in
> K liegt, also die Gestalt (1, c) hat.
>
> [mm](g_1,g_2)^{-1}[/mm] ist das inverse Element von [mm](g_1, g_2).[/mm] Es
> ist [mm](g_1,g_2)^{-1}\not=(g_1^{-1}, g_2^{-1}).[/mm] Sondern? Du
> hattest es doch zuvor ausgerechnet!
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
>
>
>
> > wie wird denn hier jetzt korrekterweise vorgegangen, muss
> > ich Ng zuerst einma ausmultiplizieren, oder wird das
> > ebenfalls nach der Verknüpfungsregel dann ausgerechnet,
> > also ich bin jetzt nach Def der Verknüpfung vorgegangen
> > und bin dann zu folgendem gekommen:
> >
> > [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) * [mm](a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}[/mm] + b) = (1,b)
> > [mm](a_{1}[/mm] * [mm]a_{1}^{-1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm] * [mm](a_{2}^{-1}[/mm] + b) + [mm]a_{2}[/mm]
> =
> > (1,b)
> > 1, ??? = (1,b)
> > und hier scheitere ich da ich nicht auf b komme
> >
> > Um den 2. Punkt der Definition zu testen, bin ich
> > folgendermaßen vorgegangen:
> > gN = Ng
> > [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] ) * (1,b) = (1,b) * [mm](a_{1}, a_{2}[/mm] )
> > [mm]a_{1}[/mm] * 1 , [mm]a_{1}[/mm] * b + [mm]a_{2}[/mm] = 1 * [mm]a_{1}[/mm] , 1 * [mm]a_{2}[/mm] + b
> > [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm] * b + [mm]a_{2}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{2}[/mm] + b)
> >
> > meiner meinung nach ist die 2. Komponente nicht gleich zu
> > bekommen zumindest hängt hier dann mal wieder mein
> > Problem. Kann es sein, dass K kein Normalteiler ist ?
> >
> > Punkt 3 und 4 stehe ich auf dem Schlauch wie berechnet man
> > das ?
> >
> > Gruß Jenny
> >
> >
> >
> >
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