Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Sei M die Menge aller bijektiven Abbildungen von R nach R. Die Verkettung zweier bijektiver
Abbildungen ist wieder bijektiv, d. h. die Verknüpfung
◦ : M × M → M,
(f ◦ g)(x) := f (g(x))
ist wohldefiniert. Sei weiterhin N die Menge aller Abbildungen von R+ := {x ∈ R : x >
0} nach R+ . Da die Multiplikation zweier positiver Zahlen wieder eine positive Zahl ist, ist
offensichtlich auch die Verknüpfung
∗ : N × N → N,
(f ∗ g)(x) := f (x) · g(x)
a) Geben Sie jeweils das neutrale Element e in (M, ◦) und e in (N, ∗) an und begründen Sie
̃
Ihre Wahl.
b) Wie lauten die inversen Elemente zu f : M → M, f (x) = x + 1 und g : M → M, g(x) =
̃
̃
x3 in (M, ◦)? Und wie lauten die inversen Elemente zu f : N → N, f (x) = x + 1 und
3
g : N → N, g (x) = x in (N, ∗)?
̃
̃
c) Sind (M, ∗) bzw (N, ∗) kommutativ? Begründen Sie. |
Hi,
die Aufgabe scheint mir zu einfach um mir selbst zu glauben...
a)
(i) x ° e = x, [mm] \forallx\in\IR
[/mm]
Da jedes Element mit e verknüpft sich selbst ergibt.
(ii) x * ẽ = x [mm] \Rightarrow [/mm] ẽ = x/x [mm] \Rightarrow [/mm] ẽ = 1, [mm] \forallx\in\IR+
[/mm]
b)
(i) (x+1) ° [mm] (x+1)^{-1} [/mm] = e, mit [mm] (x+1)^{-1} [/mm] als inverses Element [mm] \forallx\in\IR
[/mm]
[mm] x^{3} [/mm] ° [mm] (x^{3})^{-1} [/mm] = e, mit [mm] (x^{3})^{-1} [/mm] als inverses Element [mm] \forallx\in\IR
[/mm]
(ii) [mm] (x+1)(x+1)^{-1} [/mm] = [mm] (x+1)\bruch{1}{x+1} [/mm] = 1, [mm] \forallx\in\IR+
[/mm]
[mm] x^{3}(x^{3})^{-1} [/mm] = [mm] x^{3}\bruch{1}{x^{3}} [/mm] = 1, [mm] \forallx\in\IR+
[/mm]
c) a*b = b*a
[mm] \Rightarrow [/mm] a*b*a*b = a*b*b*a
[mm] \Rightarrow [/mm] (a*b)a*b = (a*b)b*a
[mm] \Rightarrow (a*b)^{-1}(a*b)a*b [/mm] = [mm] (a*b)^{-1}(a*b)b*a
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a*b = b*a
Diese Aufgabe soll 20 von 100 Punkte einbringen. Ich glaub das nicht sorecht.
Vielleicht muss ich bei c) beweisen das es sowohl für [mm] \IR [/mm] als auch für [mm] \IR+ [/mm] gilt?
Und die a) bringt 6 Punkte, aber wofür? (i) hab ich ja mit (ii) bewiesen für die Multiplikation.
Da wir in a) (i) aber "allgemein" mit ° denken ist doch was ich hingeschrieben hab allgemein und somit richtig.
Ich bin verwirrt.
gruß,
maurizz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Maurizz,
> Sei M die Menge aller bijektiven Abbildungen von R nach R.
> Die Verkettung zweier bijektiver
> Abbildungen ist wieder bijektiv, d. h. die Verknüpfung
> ◦ : M × M → M,
> (f ◦ g)(x) := f (g(x))
> ist wohldefiniert. Sei weiterhin N die Menge aller
> Abbildungen von R+ := {x ∈ R : x >
> 0} nach R+ . Da die Multiplikation zweier positiver Zahlen
> wieder eine positive Zahl ist, ist
> offensichtlich auch die Verknüpfung
> ∗ : N × N → N,
> (f ∗ g)(x) := f (x) · g(x)
>
> a) Geben Sie jeweils das neutrale Element e in (M, ◦) und
> e in (N, ∗) an und begründen Sie
> ̃
> Ihre Wahl.
> b) Wie lauten die inversen Elemente zu f : M → M, f (x)
> = x + 1 und g : M → M, g(x) =
> ̃
> ̃
> x3 in (M, ◦)? Und wie lauten die inversen Elemente zu f
> : N → N, f (x) = x + 1 und
> 3
> g : N → N, g (x) = x in (N, ∗)?
> ̃
> ̃
> c) Sind (M, ∗) bzw (N, ∗) kommutativ? Begründen Sie.
> Hi,
>
> die Aufgabe scheint mir zu einfach um mir selbst zu
> glauben...
>
> a)
> (i) x ° e = x, [mm]\forallx\in\IR[/mm]
> Da jedes Element mit e verknüpft sich selbst ergibt.
indem du den Buchstaben e hinschreibst, gibst du nicht das neutrale Element an! Beachte: Die Elemente in (M,°) sind bijektive Abbildungen und die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung.
Du sollst eine bijektive Abbildung [mm]e\colon \mathbb R\rightarrow \mathbb R[/mm] finden, so dass für jede Abbildung [mm]f\in M[/mm] gilt: [mm](f\circ e)(x)=f(e(x))=f(x)=e(f(x))=(e\circ f)(x)[/mm]
Für [mm]\tilde e[/mm] analog. Hier ist die Verknüpfung jedoch die Multiplikation der entsprechenden Funktionen.
> (ii) x * ẽ = x [mm]\Rightarrow[/mm] ẽ = x/x [mm]\Rightarrow[/mm] ẽ = 1,
> [mm]\forallx\in\IR+[/mm]
>
>
> b)
> (i) (x+1) ° [mm](x+1)^{-1}[/mm] = e, mit [mm](x+1)^{-1}[/mm] als inverses
> Element [mm]\forallx\in\IR[/mm]
> [mm]x^{3}[/mm] ° [mm](x^{3})^{-1}[/mm] = e, mit [mm](x^{3})^{-1}[/mm] als
> inverses Element [mm]\forallx\in\IR[/mm]
Nein, wenn [mm]f(x)=x+1[/mm] ist, sollst du eine Funktion g finden mit [mm]f(g(x))=e[/mm] bzw. [mm]g(f(x))=e[/mm] (wobei e das neutrale Element ist). [mm]g(x)=(x+1)^{-1}[/mm] erfüllt das nicht, denn [mm]f(g(x))=f((x+1)^{-1})=(x+1)^{-1} +1 \neq e[/mm]
> (ii) [mm](x+1)(x+1)^{-1}[/mm] = [mm](x+1)\bruch{1}{x+1}[/mm] = 1,
> [mm]\forallx\in\IR+[/mm]
> [mm]x^{3}(x^{3})^{-1}[/mm] = [mm]x^{3}\bruch{1}{x^{3}}[/mm] = 1,
> [mm]\forallx\in\IR+[/mm]
>
> c) a*b = b*a
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a*b*a*b = a*b*b*a
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a*b)a*b = (a*b)b*a
> [mm]\Rightarrow (a*b)^{-1}(a*b)a*b[/mm] = [mm](a*b)^{-1}(a*b)b*a[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a*b = b*a
Und was soll das zeigen?
Nochmal: es geht hier um Abbildungen! Gilt für beliebige [mm] $f,g\in [/mm] M$ die Gleichung $f(g(x))=g(f(x))$? Begründe dies oder gib ein Gegenbeispiel an.
> Diese Aufgabe soll 20 von 100 Punkte einbringen. Ich glaub
> das nicht sorecht.
> Vielleicht muss ich bei c) beweisen das es sowohl für [mm]\IR[/mm]
> als auch für [mm]\IR+[/mm] gilt?
>
> Und die a) bringt 6 Punkte, aber wofür? (i) hab ich ja mit
> (ii) bewiesen für die Multiplikation.
> Da wir in a) (i) aber "allgemein" mit ° denken ist doch
> was ich hingeschrieben hab allgemein und somit richtig.
> Ich bin verwirrt.
Ich merk's 
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Hm also ein bisschen spanisch kommt es mir immernoch vor.
(f°g°e)(x) = f(g(e(x))) = f(g(x)) = e(f(g(x))) = (e°f(g(x))) = (e°f°g)(x) = (f°g)(x)??
Ich verstehe nicht den Aufbau dahinter. Ich kann es nicht mit dem bereits erlernten in Einklang bringen...
f(x) * ẽ(x) = f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] ẽ(x) = [mm] f(x)\f(x) \Rightarrow [/mm] f(x) * g(x) * e(x) = f(x) * g(x)
Oder da 1(x) kein Sinn macht vielleicht: (f*g)(x)? Das macht aber auch kein Sinn.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst eine Funktion e(x) so dass f(e(x))=x ist
stell dir vor [mm] f(x)=x^2+2x+3
[/mm]
dann muss [mm] f(e(x)=e^2(x)+2e(x)+3=x^2+2x+3 [/mm] sein. was fällt dir dann für e(x) ein?
im 2. ten Fall f(x)*e(x)=f(x) dabei ist das malzeichen das normale . also etwa [mm] f(x)=x^2 [/mm] g(x)=x für [mm] x\ge0 f*g=x^3
[/mm]
denk dran, es gibt sehr einfache Funktionen!
f(x)=17 ist z.B eine Funktion f(x)=ax a beliebig auch.
Wenn dir was schwerfällt, nimm erstmal ein Beispiel
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
e(x) hat kein Effekt. Weder so e(f(x)) noch so f(e(x)).
Dann ist e(x) die einfachste Funktion. Einfacher als f(x)=0. Denn es hat keine "Funktion".
Außer andere Funktionen und deren Variablen unverändert zu lassen.
Schaue ich mir jetzt eine bijektive Verkettung f(g(x)) = (f°g)(x) an.
Dann muss [mm] g^{-1}(f^{-1}(x)) [/mm] die inverse Verkettung sein.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist diese Verkettung hier f(g(x)), die Verkettung
zwei beliebiger bijektiver Abbildungen aus einer unendlichen Menge von bijektiven Abbildungen in [mm] \IR.
[/mm]
Dann ist (f(g(x))) ° [mm] (g^{-1}(f^{-1}(x))) [/mm] = e, falls die Eigenschaften xe=x und [mm] xx^{1}=e [/mm] auf Funktionen übertragen werden können
und man zwei Verkettungen so miteiander Verknüpfen kann. Wobei ich ja hier die elemente aus den Verkettungen verknüpfe, also solllte es gehen.
Aber damit hab ich noch nicht die Funktion e(x).
Aber im Text steht geben sie das neutrale Element in (M, °) und (M, *).
Oder heißt das jetzt das neutrale Element ist hier eine neutrale Funktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> e(x) hat kein Effekt. Weder so e(f(x)) noch so f(e(x)).
> Dann ist e(x) die einfachste Funktion. Einfacher als
> f(x)=0. Denn es hat keine "Funktion".
ich hab' keine Ahnung, was Du da machst oder meinst. Du wirst Dir zwar
in den Hintern beißen, aber ich sag' Dir nun, nach was gefragt ist:
Schonmal was von der Identitätsabbildung (bzgl. einer gegebenen Menge
[mm] $M\,$) [/mm] gehört? (Wie die nun aussieht, das kannst Du selbst nachgucken,
oder versuche es, aus untigem zu erschließen!)
Machen wir mal ein Beispiel:
Wenn $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gegeben ist durch [mm] $f(x):=x^3:$
[/mm]
Setzen wir mal [mm] $id_{\IR}: \IR \to \IR$ [/mm] fest durch [mm] $id_{\IR}(x):=x$ [/mm] für alle
$x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Zeige nun: Es gilt [mm] $(id_\IR \circ f)(x)=x^3$ [/mm] und es gilt $(f [mm] \circ id_\IR)(x)=x^3\,.$
[/mm]
So: Und nun verallgemeinere das mal alles!
P.S. Bei der [mm] $\*$-Aufgabe: [/mm] Man will dort $(e [mm] \* f)(x)=f(x)\,$ [/mm] und auch
$(f [mm] \* [/mm] e)(x)=f(x)$ stets haben. Außerdem weiß man $(e [mm] \* f)(x)=e(x)*f(x)\,$
[/mm]
und auch $(f [mm] \* e)(x)=f(x)*e(x)\,.$ [/mm]
Wenn man nun [mm] $e\,$ [/mm] so definieren will, dass [mm] $f(x)*e(x)=e(x)*f(x)=f(x)\,$
[/mm]
gilt, und man daran denkt, dass [mm] $f(x)*1=1*f(x)=f(x)\,$ [/mm] (hier rechnen wir
ja nur in [mm] $\IR_+$ [/mm] und die [mm] $1\,$ [/mm] hier ist die [mm] $1\,$ [/mm] in [mm] $\IR_+$) [/mm] gilt:
Wie kann man wohl [mm] $e(x)\,$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] setzen? Also:
Wie ist dann $e: [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] zu definieren?
(Tipp: Das ist eine konstante Funktion - aber nicht(!!!) die Nullfunktion,
sondern?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich hab jetzt folgendes geschrieben.
a) Für [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] gilt:
[mm] (id_{\IR}°f)(x) [/mm] = [mm] id_{\IR}(f(x)) [/mm] = f(x) = [mm] (f°id_{\IR})(x) [/mm] = [mm] f(id_{\IR})(x)
[/mm]
mit [mm] id_{\IR} [/mm] als neutrales Element.
[mm] id_{\IR} [/mm] definiert als: [mm] id_{\IR}: \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x. Somit gilt für jedes x aus [mm] \IR: id_{\IR} [/mm] = x.
Für (N, *) gilt, mit [mm] f:\IR_{+} \rightarrow \IR_{+}.
[/mm]
(ẽ*f)(x) = f(x) sowie (f*ẽ)(x) = f(x).
ẽ(x)*f(x) = f(x), f(x)*ẽ(x) = f(x).
Mit ẽ(x) = 1 für jedes [mm] x\in\IR_{+}.
[/mm]
b) Da bijektivität gilt:
f(x) = x+1 [mm] \Rightarrow f^{-1}(y) [/mm] = y-1
mit [mm] f(x)°f^{-1}(x) [/mm] = [mm] id_{M}.
[/mm]
Analog für f(x) = [mm] x^{3}:
[/mm]
f(x) = [mm] x^{3} \Rightarrow f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \wurzel[3]{y}.
[/mm]
für (N, *) gilt:
[mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+1}, [/mm] bzw [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^{3}} \Rightarrow \bruch{1}{f(x)}
[/mm]
mit ẽ(x) = 1. So, dass f(x) * ẽ(x) = f(x) gilt.
Wenn ich es jetzt immernoch nicht verstanden habe kann man mir auch nicht mehr helfen, denn die Zeit rennt mir davon
und ich sollte das Arbeitsblatt schon fertig haben müssen.
kleine Frage zur c)
Hier soll ich beweisen das f(x)*g(x) = g(x)*f(x) gilt für [mm] \IR_{+} [/mm] und [mm] \IR.
[/mm]
Laut Wikipedia sind Verkettungen nicht Kommutativ.
Aber unter der Annahme das ich hier keine Verkettung betrachte sondern einfach f(x) mal g(x),
dann betrachte ich deren Funktionswerte.
Also kann ich sagen f(x) = a und g(x) = b.
und das spiel mit a*b=b*a fortsetzen und kommutativität beweisen.
Irre ich mich schon wieder?
Auf meinem Blatt hab ich einfach beides gezeigt. Zum einen das (f*g)(x) [mm] \not= [/mm] (g*f)(x)
und die andere Variante.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab jetzt folgendes geschrieben.
>
> a) Für [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] gilt:
> [mm](id_{\IR}°f)(x)[/mm] = [mm]id_{\IR}(f(x))[/mm] = f(x) =
> [mm](f°id_{\IR})(x)[/mm] = [mm]f(id_{\IR})(x)[/mm]
anstatt des ° solltest Du [mm] $\circ$ [/mm] verwenden - vor allem,
damit man unter Latex auch erkennt, was Du meinst:
> Für [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] gilt:
> [mm](id_{\IR} \circ f)(x)[/mm] = [mm]id_{\IR}(f(x))[/mm] = f(x) =
> [mm](f\circ id_{\IR})(x)[/mm] = [mm]f(id_{\IR})(x)[/mm]
[mm] $\red{\;\;=f(x)\;\;} \forall [/mm] x [mm] \in \IR \text{ solltest Du noch ergänzen}$
[/mm]
> mit [mm]id_{\IR}[/mm] als neutrales Element.
>
> [mm]id_{\IR}[/mm] definiert als: [mm]id_{\IR}: \IR \rightarrow \IR,[/mm]
> [mm]x \red{\;\Rightarrow\;}[/mm]x.
Rein symbolisch: Du meinst $x [mm] \mapsto x\,.$ [/mm] (Wenn Du mit der Maus über
die Formeln fährst, siehst Du, wie das geschrieben wird!)
> Somit gilt für jedes x aus [mm]\IR: id_{\IR}[/mm] =
> x.
Du meinst
[mm] $id_\IR\red{(x)}=x$
[/mm]
nach dem Doppelpunkt (der rote Teil fehlt bei Dir). Den letzten Satz kannst
Du erwähnen, musst Du aber nicht:
Durch
[mm] $id_\IR: \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \;\;\;(x \in \IR)$
[/mm]
ist [mm] $id_\IR$ [/mm] vollständig definiert.
>
> Für (N, *) gilt, mit [mm]f:\IR_{+} \rightarrow \IR_{+}.[/mm]
>
> (ẽ*f)(x) = f(x) sowie (f*ẽ)(x) = f(x).
> ẽ(x)*f(x) = f(x), f(x)*ẽ(x) = f(x).
> Mit ẽ(x) = 1 für jedes [mm]x\in\IR_{+}.[/mm]
Genau. Das ist richtig, ich sage Dir nur mal, wie man es "überzeugend"
notiert (vielleicht auch nur "wie üblich"):
Wir definieren die Abbildung [mm] $\tilde{e}: \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] durch
[mm] $\tilde{e}(x):=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR_+\,.$
[/mm]
Man beachte dabei, dass $1 [mm] \in \IR_+$ [/mm] gilt. Zu zeigen ist nun, dass
[mm] $\tilde{e}$ [/mm] dann (das) neutrale(s) Element in [mm] $(N,\*)$ [/mm] ist (eigentlich
könnten wir ja erst von Eindeutigkeit reden, wenn wir schon etwa den
Gruppencharakter wüßten - aber halten wir uns mal an die
Aufgabenstellung und glauben das hier einfach):
(Erinnerung: Es war [mm] $N=\{f: \IR_+ \to \IR_+\}$ [/mm] und [mm] $\*: [/mm] N [mm] \times [/mm] N [mm] \to [/mm] N$
definiert durch $(f [mm] \* g)(x):=f(x)*g(x)\,$ [/mm] für alle $f,g [mm] \in N\,.$)
[/mm]
Sei dazu $f [mm] \in N\,.$ [/mm] Wie gesehen ist auch [mm] $\tilde{e} \in N\,.$ [/mm] Nach
Definition von [mm] $\*$ [/mm] sind dann $f [mm] \* \tilde{e}$ [/mm] und auch [mm] $\tilde{e} \* [/mm] f$
beides Funktionen, die in [mm] $N\,$ [/mm] liegen, also Abbildungen [mm] $\IR_+ \to \IR_+\,.$
[/mm]
Für jedes $x [mm] \in \IR_+$ [/mm] gilt:
$(f [mm] \* \tilde{e})(x)=f(x) [/mm] * [mm] \tilde{e}(x)=f(x)*1=f(x)=1*f(x)=\tilde{e}(x)*f(x)=(\tilde{e} \* f)(x)\,,$
[/mm]
also folgt insgesamt
$f [mm] \* \tilde{e}=\tilde{e}\*f=f\,.$
[/mm]
Du siehst also: Du hast es verstanden und Deine Ergebnisse sind richtig.
Kleinigkeiten waren zu korrigieren, und wenn man will, kann man das
ganze ein wenig ausführlicher aufschreiben. Aber das ist Übungssache.
Wichtiger ist eigentlich, jedenfalls denke ich das: Dir ist klar geworden,
was Du eigentlich zu tun hattest!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die anderen Fragen kann sich dann mal jemand anderes nochmal
angucken...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
jetzt doch kurz, aber schnell:
> b) Da bijektivität gilt:
Mit so einem Satzbruchstück wird keiner was anfangen können: Welche
Funktion(en) ist/sind bijektiv?
> f(x) = x+1 [mm]\Rightarrow f^{-1}(y)[/mm] = y-1
> mit [mm]f(x)°f^{-1}(x)[/mm] = [mm]id_{M}.[/mm]
Ersetze das [mm] $M\,$ [/mm] durch [mm] $\IR$ [/mm] (beachte: [mm] $id_M$ [/mm] wäre wieder eine andere
Identitätsabbildung!) - dann sieht das doch gut aus:
Es ist klar, dass $f [mm] \circ [/mm] g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] und für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
$$(f [mm] \circ g)(x)=f(g(x))=g(x)+1=(x-1)+1=x+(-1+1)=x+0=x=id_\IR(x)\,,$$
[/mm]
also folgt $f [mm] \circ g=id_\IR\,.$
[/mm]
Analoges rechne für $g [mm] \circ [/mm] f$ nach! Du solltest aber dennoch genauer
hinschreiben, wie hier [mm] $f^{-1}$ [/mm] aussieht:
Es ist [mm] $f^{-1}: \IR \to \IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $f^{-1}(y):=y-1\,$ [/mm] für alle $y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
> Analog für f(x) = [mm]x^{3}:[/mm]
> f(x) = [mm]x^{3} \Rightarrow f^{-1}(y)[/mm] = [mm]\wurzel[3]{y}.[/mm]
Manche Autoren würden sagen, dass unter dem Wurzelzeichen stets
eine Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ zu stehen hat (rein definitionsgemäß), dann wäre
[mm] $\sqrt[3]{y}$ [/mm] durch [mm] $\text{sign}(y)*\sqrt[3]{|y|}$ [/mm] zu ersetzen.
Ansonsten, wie gesagt, auch hier gibt's wieder was nachzurechnen, und
die Umkehrfunktion kann man genauer angeben durch das Erwähnen
ihres Definitions- und Wertebereichs und dem Ergänzen von "für alle [mm] $y\,$ [/mm]
des Definitionsbereichs der Umkehrfunktion".
>
> für (N, *) gilt:
> [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x+1},[/mm] bzw [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x^{3}} \Rightarrow \bruch{1}{f(x)}[/mm]
>
>
> mit ẽ(x) = 1. So, dass f(x) * ẽ(x) = f(x) gilt.
Man sollte vielleicht auch dazuschreiben: Aus $x [mm] \in \IR_+$ [/mm] folgt $x+1 > [mm] 0\,,$
[/mm]
insbesondere $x+1 [mm] \not=0\,$ [/mm] und sowas, damit man oben auch sieht,
dass im Nenner nie die Null auftauchen kann.
> Wenn ich es jetzt immernoch nicht verstanden habe kann man
> mir auch nicht mehr helfen, denn die Zeit rennt mir davon
> und ich sollte das Arbeitsblatt schon fertig haben
> müssen.
Das war doch alles inhaltlich okay! Verstanden hast Du das alles, aber das
könnte man noch ergänzen!
>
> kleine Frage zur c)
>
> Hier soll ich beweisen das f(x)*g(x) = g(x)*f(x) gilt für
> [mm]\IR_{+}[/mm] und [mm]\IR.[/mm]
> Laut Wikipedia sind Verkettungen nicht Kommutativ.
Dann gib' doch einfach ein Beispiel an, dass zeigt, dass $f [mm] \circ g\not=g \circ [/mm] f$ gilt.
Sowas wie [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=x+2\,:$ [/mm] Hier ist [mm] $(f\circ [/mm] g)(2) [mm] \not=(g \circ f)(2)\,,$ [/mm] denn...?
> Aber unter der Annahme das ich hier keine Verkettung
> betrachte sondern einfach f(x) mal g(x),
Hier geht's also darum, ob für $f,g [mm] \in [/mm] N$ dann $f [mm] \* [/mm] g=g [mm] \* [/mm] f$ gilt.
> dann betrachte ich deren Funktionswerte.
> Also kann ich sagen f(x) = a und g(x) = b.
> und das spiel mit a*b=b*a fortsetzen und kommutativität
> beweisen.
> Irre ich mich schon wieder?
Das ist okay. Du zeigst halt $(f [mm] \* [/mm] g)(x)=(g [mm] \* [/mm] f)(x)$ für alle $x [mm] \in \IR_+\,.$
[/mm]
> Auf meinem Blatt hab ich einfach beides gezeigt. Zum einen
> das (f*g)(x) [mm]\not=[/mm] (g*f)(x)
?? Das Gegenteil ist doch der Fall! Oder meintest Du, dass i.a. $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not=g \circ f\,.$ [/mm] (Wobei Du hier $f,g [mm] \in [/mm] M$ meintest!)
> und die andere Variante.
Welche andere?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Danke das du(und natürlich die anderen auch) dir Zeit genommen hast um mir zu helfen!
mittlerweile glaube ich, dass nicht die MAthematik selbst ist was ich nicht verstehe, sondern deren Sprache..
wenn Ihr hier nicht wärt, hätte ich die Uni schon aufgegeben. Weil viel lernen tut man direkt vor Ort nicht wirklich.
Vielleicht noch nicht, ich weiß es nicht.
Jedenfalls hab ich das Gefühl in einem Wettrennen teilzunehmen anstatt zu studieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> Danke das du(und natürlich die anderen auch) dir Zeit
> genommen hast um mir zu helfen!
>
> mittlerweile glaube ich, dass nicht die MAthematik selbst
> ist was ich nicht verstehe, sondern deren Sprache..
>
> wenn Ihr hier nicht wärt, hätte ich die Uni schon
> aufgegeben. Weil viel lernen tut man direkt vor Ort nicht
> wirklich.
> Vielleicht noch nicht, ich weiß es nicht.
>
> Jedenfalls hab ich das Gefühl in einem Wettrennen
> teilzunehmen anstatt zu studieren.
das ist anfangs normal. Die Sprache wirst Du aber auch noch besser
verstehen lernen - das ist halt schon ein wenig anders wie in der
Schulmathematik. Man nimmt auch meist alles sehr genau, und erst
später wird man lernen, wann man trotzdem sich mit ungenauerer
Sprache dennoch hinreichend genau ausdrückt.
Sprachen lernt man aber durch sprechen: Wenn Du nach und nach lernst,
die Ideen auch richtig zu formulieren, wirst Du dieses Sprachproblem
auch bald überwunden haben. Meine Erfahrung ist, dass dieses Problem
sich nach dem ersten Semester "verbessert" hat und nach dem zweiten
Semester wird es dann im Laufe der Zeit sehr schnell sehr viel besser. Ab
dann wirst Du weniger "mit der Sprache" Probleme haben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:56 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maurizz,
> Schaue ich mir jetzt eine bijektive Verkettung f(g(x)) =
> (f°g)(x) an.
> Dann muss [mm]g^{-1}(f^{-1}(x))[/mm] die inverse Verkettung sein.
Es gilt zwar in der Tat, dass [mm] $f\circ [/mm] g$ ein Inverses in M hat und dies gegeben ist durch die Verkettung der Umkehrabbildungen [mm] $g^{-1}\circ f^{-1}$. [/mm] Das kannst du aber natürlich erst prüfen, wenn du weißt, wie das neutrale Element von M aussieht.
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist diese
> Verkettung hier f(g(x)), die Verkettung
> zwei beliebiger bijektiver Abbildungen aus einer
> unendlichen Menge von bijektiven Abbildungen in [mm]\IR.[/mm]
M ist die (unendliche) Menge aller bijektiven Abbildungen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Nun definieren wir für zwei solche Abbildungen f und g die Verkettung [mm] $f\circ [/mm] g$ von f und g wie? [mm] $f\circ [/mm] g$ soll wieder ein Element von M, also eine Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] sein. Wir definieren sie durch [mm] $f\circ [/mm] g(x):=f(g(x))$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
> Dann ist (f(g(x))) ° [mm](g^{-1}(f^{-1}(x)))[/mm] = e, falls die
> Eigenschaften xe=x und [mm]xx^{1}=e[/mm] auf Funktionen übertragen
> werden können
Wenn e das neutrale Element von M bezeichnet und wenn [mm] $f\circ [/mm] g$ tatsächlich das Inverse [mm] $g^{-1}\circ f^{-1}$ [/mm] ist (wobei wieder [mm] $g^{-1}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Umkehrabbildungen von $g$ und $f$ seien), gilt tatsächlich
[mm] $(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=e$.
[/mm]
> und man zwei Verkettungen so miteiander Verknüpfen kann.
> Wobei ich ja hier die elemente aus den Verkettungen
> verknüpfe, also solllte es gehen.
Reelle Zahlen verknüpfen macht keinen Sinn.
> Oder heißt das jetzt das neutrale Element ist hier eine
> neutrale Funktion?
Das neutrale Element von M ist auf jeden Fall ein Element von M, also eine Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ich suche also eine identische Komposition bezüglich f(g(x)), so dass die Verknüpfung wieder f(g(x)) ergibt.
Und f(g(x)) ist nicht "eine" Komposition sondern alle in M.
Das wiederrum ist nur möglich wenn es für jede einzelne Abbildung f: M x M [mm] \rightarrow [/mm] M und g: M x M [mm] \rightarrow [/mm] eine [mm] id_{M} [/mm] gibt mit:
f ° [mm] id_{f} [/mm] = f und g ° [mm] id_{g} [/mm] = g. Mit id [mm] \in [/mm] M.
Also nenne ich f(g(x)) mal k(x) und [mm] id_{f}(id_{g}(x)) [/mm] nenne ich e(x).
Dann ist k(e(x)) = (k°e)(x) = k(x) = e(k(x)) = (e°k)(x).
Oder hab ich mich wieder vertan und es gibt garkeine id für jede einzelne Abbildung sondern eine einzige die für alle bijektiven Abbildungen aus M gilt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich suche also eine identische Komposition bezüglich
> f(g(x)), so dass die Verknüpfung wieder f(g(x)) ergibt.
Warum betrechtest du die ganze Zeit Funktionen der Form [mm] $f\circ [/mm] g$?
Gesucht ist ein [mm] $e\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $e\circ [/mm] f=f$ und [mm] $f\circ [/mm] e=f$ für alle Abbildungen [mm] $f\colon\IR\to\IR$.
[/mm]
> Und f(g(x)) ist nicht "eine" Komposition sondern alle in
> M.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Das wiederrum ist nur möglich wenn es für jede einzelne
> Abbildung f: M x M [mm]\rightarrow[/mm] M und g: M x M [mm]\rightarrow[/mm]
> eine [mm]id_{M}[/mm] gibt mit:
> f ° [mm]id_{f}[/mm] = f und g ° [mm]id_{g}[/mm] = g. Mit id [mm]\in[/mm] M.
Ja. Dass es solche Abbildungen [mm] $id_f$ [/mm] und [mm] $id_g$ [/mm] gibt, hast du noch nicht bewiesen. Aber verlangt ist ohnehin noch mehr: Es soll nicht nur für jede einzelne Abbildung [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] eine von f abhängige Abbildung [mm] $e_f\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f\circ e_f=f$ [/mm] und [mm] $e_f\circ [/mm] f=f$ geben, sondern sogar EINE Abbildung [mm] $e\colon\IR\to\IR$, [/mm] die für alle [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] gleichzeitig [mm] $f\circ [/mm] e=f$ und [mm] $e\circ [/mm] f=f$ erfüllt.
> Also nenne ich f(g(x)) mal k(x) und [mm]id_{f}(id_{g}(x))[/mm] nenne
> ich e(x).
>
> Dann ist k(e(x)) = (k°e)(x) = k(x) = e(k(x)) = (e°k)(x).
>
> Oder hab ich mich wieder vertan und es gibt garkeine id
> für jede einzelne Abbildung sondern eine einzige die für
> alle bijektiven Abbildungen aus M gilt?
Letzteres.
Marcel hat dir die richtige Abbildung ja schon genannt: Definiere [mm] $e\colon\IR\to\IR$ [/mm] durch $e(x):=x$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und zeige, dass diese Abbildung e das Gewünschte leistet, dass also [mm] $e\circ [/mm] f=f$ und [mm] $f\circ [/mm] e=f$ für alle [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] für sie gilt.
|
|
|
|
