Gruppen (G,*) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 04.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe 1 | S2 ist die Menge aller injektiven Abbildungen N2 -> N2
zeige das (S2, °) eine Gruppe ist. |
| Aufgabe 2 | (G, *) sei eine Gruppe zeige dass
g1*(g2*(g3*g4))=(g1*g2)*(g3*g4)=((g1*g2)*g3)*g4 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
ich hab leider keine Ahnung wie ich an die Aufgaben herangehen soll, bei Aufgabe 2 scheint es mir klar zu sein das dass so sein muss, ich könnte ja für g1, g2, g3, g4 = 1,2,3,4 nehmen und dann würde das ja stimmen aber wie muss das zeigen?
und bei Aufgabe 1 fehlt mir einfach das Wissen, ich hab keine Ahnung wie ich die Aufgabe bearbeiten muss
kann mir jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> S2 ist die Menge aller injektiven Abbildungen N2 -> N2
> zeige das (S2, °) eine Gruppe ist.
> (G, *) sei eine Gruppe zeige dass
Mir ist nicht ganz klar was die Menge $N2$ sein soll. Meinst du vielleicht [mm] $\IN_2=\{0,1\}$?
[/mm]
Im Grunde ist es aber egal, solange $N2$ endlich ist, denn dann sind die Elemente aus $S2$ auch bijektiv.
> g1*(g2*(g3*g4))=(g1*g2)*(g3*g4)=((g1*g2)*g3)*g4
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> ich hab leider keine Ahnung wie ich an die Aufgaben
> herangehen soll
Bei Aufgabe 1 musst du nachweisen, dass für die Menge [mm] $S_2$ [/mm] mit der Operation [mm] $\circ$, [/mm] also die Verkettung von Funktionen, eine Gruppe bildet, also die Gruppenaxiome erfüllt:
1) [mm] $\circ$ [/mm] bildet zwei Elemente aus $S2$ tatsächlich auf ein Elemet aus [mm] $S_2$ [/mm] ab, d.h. sind [mm] $f,g\in S_2$, [/mm] dann ist auch [mm] $f\circ g\in S_2$.
[/mm]
2) Es gibt ein Element $e$ sodass für jedes [mm] $f\in S_2$ [/mm] gilt: [mm] $f\circ e=e\circ [/mm] f=f$. $e$ heißt das neutrale Element von [mm] $S_2$.
[/mm]
3) Für jedes Element [mm] $f\in S_2$ [/mm] gibt es ein Element [mm] $g\in S_2$, [/mm] sodass [mm] $f\circ [/mm] g=e$ ($e$ ist hier das neutrale Element aus Axiom 2).
Edit: Habe noch vergessen, dass die Operation [mm] $\circ$ [/mm] auch assoziativ sein muss, d.h. für alle [mm] $x,y,z\in S_2$ [/mm] muss gelten [mm] $(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ [/mm] z)$.
> bei Aufgabe 2 scheint es mir klar zu sein
> das dass so sein muss, ich könnte ja für g1, g2, g3, g4 =
> 1,2,3,4 nehmen und dann würde das ja stimmen aber wie muss
> das zeigen?
Nein, das ist überhaupt nicht klar. Die Gruppenelemente haben erstmal nichts mit Zahlen zu tun, das könnten auch kleine-rosa-elefanten sein.
Alles was du benutzen darfst sind daher die Gruppenaxiome, genauer benötigst du nur die Assoziativität der *-Operation. Beispiel für die erste Gleichheit:
[mm] $g_1*(g_2*(g_3*g_4))=(g_1*g_2)*(g_3*g_4)$ [/mm]
Das ist einfach das Assoziativgesetz für die drei Gruppenelemente [mm] $g_1$,$g_2$ [/mm] und [mm] $g_3*g_4$. [/mm] Überlege dir nun, wie du das Assoziativgesetz weiter anwenden musst, umd auch die zweite Gleichheit zu zeigen. Die Aufgabe soll dir verdeutlichen wie sich die Assoziativität für drei Elemente fortsetzt auf belibig viele Elemente.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 04.10.2008 | | Autor: | raemic |
Guten Abend und besten Dank für die Antwort und ja N2 ist genau das was du angenommen hast.
Aber ich blicke leider immer noch nicht ganz durch. Also damit etwas eine Gruppe ist müssen bestimmte Gruppenaxiome gelten, z.B. das es ein neutrales Element gibt, dass es zu jedem g auch ein g' gibt usw. aber ich verstehe nicht ganz wie ich das nun bei dieser Aufgabe zu machen ist, überhaupt fehlt mir allgemein die Vorgehensweise, also nehme ich hier z.B. einfach mal an das (f°g)' die inverse von (f°g) ist, oder muss ich S2 betrachten und S2' als Inverse nehmen?
Tut mir wirklich Leid aber ich verstehe deine Antwort leider nicht richtig?
Aufgabe 2 habe ich schon eher was verstanden, glaub ich jedenfalls.
Also ich muss dort zeigen weshalb (g1*g2)*(g3*g4) gleich ((g1*g2)*g3)*g4 ist oder? Nur mir fehlt irgendwie noch diese Abstrakte Denkweise, ich halte mich wohl zu stark an Zahlen usw. ich kann mir leider nicht richtig vorstellen wie das geht.. wie kann ich zeigen das wenn g1,g2,g3,g4 wie du sagst z.B. rosa Elefanten sind, dass die in der Form (g1*g2)*(g3*g4) gleich sind wie ((g1*g2)*g3)*g4 also die sind ja in dem Sinne alle gleich rosa, da gibt es doch nichts was die unterscheiden könnte, wie so sollten (g1*g2)*(g3*g4)=((g1*g2)*g3)*g4 also überhaupt verschieden sein, dann muss es ja gleich sein.. oder?
Entschuldigung, die Antwort bzw. meine Fragen werden dir sicher total idiotisch vorkommen aber ich hab echt ein Problem damit..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 04.10.2008 | | Autor: | sm- |
ich versteh dich gut, mir fehlt auch oft noch dir "richtige Richtung" ich hoffe ich kann dir das in diesem Fall ein wenig klarer machen, also ZEIGE heist immer beweise, dass es so ist, in Aufgabe 1 sollst du also zeigen/beweisen, das eben genau N2 eine Gruppe ist, und das tut man eben in dem man zeigt, dass N2 all die Bedindungen (axiome) erfüllt, die eine Gruppe ausmachen, also das jedes Element ein inverses hat, das es ein neutrales Element gibt und so weiter.
zu Aufgabe 2:
da ja vorrausgesetzt ist, das es sich um eine Gruppe handelt und in einer Gruppe das Assoziativitätsgesetz gilt, kannst du das auch anwenden. Hilft dir das weiter?! ich hoffe es :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Guten Abend und besten Dank für die Antwort und ja N2 ist
> genau das was du angenommen hast.
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> Aber ich blicke leider immer noch nicht ganz durch. Also
> damit etwas eine Gruppe ist müssen bestimmte Gruppenaxiome
> gelten, z.B. das es ein neutrales Element gibt, dass es zu
> jedem g auch ein g' gibt usw. aber ich verstehe nicht ganz
> wie ich das nun bei dieser Aufgabe zu machen ist, überhaupt
> fehlt mir allgemein die Vorgehensweise, also nehme ich hier
> z.B. einfach mal an das (f°g)' die inverse von (f°g) ist,
> oder muss ich S2 betrachten und S2' als Inverse nehmen?
Also ich würde dir hier in diesem Fall erstmal empfehlen, es einfach nachzurechnen, da die Menge $S_2$ nur aus folgenden zwei Elementen besteht:
$a(x)=\begin{cases}{0&\text{falls }x=0\\1&\text{falls }x=1\end{cases}$ und $b(x)=\begin{cases}{1&\text{falls }x=0\\0&\text{falls }x=1\end{cases}$
Jetzt berechnest du einfach mal alle möglichen Verknüpfungen die du mit diesen Elementen durchführen kannst, also:
$a\circ a=?$, $a\circ b=?$, $b\circ a=?$ und $b\circ b=?$.
Damit erhälst du eine 2x2-Tabelle (die heißt auch "Gruppentafel"), und da kannst du ja mal nachschauen ob die Axiome alle erfüllt sind.
> Aufgabe 2 habe ich schon eher was verstanden, glaub ich
> jedenfalls.
> Also ich muss dort zeigen weshalb (g1*g2)*(g3*g4) gleich
> ((g1*g2)*g3)*g4 ist oder? Nur mir fehlt irgendwie noch
> diese Abstrakte Denkweise, ich halte mich wohl zu stark an
> Zahlen usw. ich kann mir leider nicht richtig vorstellen
> wie das geht.. wie kann ich zeigen das wenn g1,g2,g3,g4 wie
> du sagst z.B. rosa Elefanten sind, dass die in der Form
> (g1*g2)*(g3*g4) gleich sind wie ((g1*g2)*g3)*g4 also die
> sind ja in dem Sinne alle gleich rosa, da gibt es doch
> nichts was die unterscheiden könnte, wie so sollten
> (g1*g2)*(g3*g4)=((g1*g2)*g3)*g4 also überhaupt verschieden
> sein, dann muss es ja gleich sein.. oder?
Naja das Beispiel mit den rosa Elefanten solltest du nicht zu wörtlich nehmen 
Ich wollte dir nur verdeutlichen, dass du dich bei einer Gruppe eben nur auf die Gruppenaxiome und sonst nichts berufen darfst, weil du nicht weißt was sich konkret hinter deiner Gruppe verbirgt - darin besteht ja genau die Abstraktion.
> Entschuldigung, die Antwort bzw. meine Fragen werden dir
> sicher total idiotisch vorkommen aber ich hab echt ein
> Problem damit..
Glaub mir, ich komm mir oft genauso doof wie du vor 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
Guten Tag,
Besten Dank für eure Antworte, es hilft mir schon ein wenig, aber vieles ist mir immer noch nicht klar, deshalb muss ich euch noch weiter mit Fragen belästigen :)
Das mit Sn: N2 --> N2 ist soweit mal klar, dass es hier 2 injektive Abbildungen gibt, stimmt doch oder? also wenn ich z.b. in N2 einmal a1, a2 habe und einmal b1,b2 in der andern Menge von N2, dann kann ich folgende Abbildungen machen:
1. Abb. 2. Abb.
a1 -> b1 a1 -> b2
a2 -> b2 a2 -> b1
nun könnte ich die einzelnen in eine Tabelle eintragen?
mache ich das mit (a1,b1) (a2, b2) oder besser nur mit Werten, also (1,1) (2,2) oder wie schreib ich dass dann überhaupt in die Tabelle?
und wenn ich dann die Tabelle habe, könnte ich dann aus ihr für jedes Element die Inverse und das neutrale Element ablesen, bzw. ein gemeinsames für alle finden, damit ich eine Gruppe hätte? Stimmt das so?
und bei der zweiten Aufgabe, mit dem Assoziativitätsgesetz, könnte ich da einfach Schritt für Schritt die Klammern auflösen damit ich am Schluss überall dasselbe hätte?
also: g1*(g2*(g3*g4) = (g1*g2)*(g3*g4) = ((g1*g2)*g3)*g4 --> g1*(g2*g3*g4)=(g1*g2*g3*g4)=(g1*g2*g3)*g4 --> g1*g2*g3*g4 = g1*g2*g3*g4 = g1*g2*g3*g4
ich weiss sonst echt nicht wie man das zeigen soll
Besten Dank für eure Bemühungen mir hier weiter zu helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das mit Sn: N2 --> N2 ist soweit mal klar, dass es hier 2
> injektive Abbildungen gibt, stimmt doch oder? also wenn ich
> z.b. in N2 einmal a1, a2 habe und einmal b1,b2 in der
> andern Menge von N2, dann kann ich folgende Abbildungen
> machen:
Welche "andere Menge von [mm] $\IN_2$"? $\IN_2$ [/mm] ist bereits doch bereits die ganze Menge und die Funktionen in [mm] $S_2$ [/mm] bildet die Menge [mm] $\IN_2$ [/mm] in sich selbst ab.
Statt
> 1. Abb. 2. Abb.
> a1 -> b1 a1 -> b2
> a2 -> b2 a2 -> b1
müsstest du schreiben:
1. Abb. 2. Abb.
a1 -> a1 a1 -> a2
a2 -> a2 a2 -> a1
> nun könnte ich die einzelnen in eine Tabelle eintragen?
> mache ich das mit (a1,b1) (a2, b2) oder besser nur mit
> Werten, also (1,1) (2,2) oder wie schreib ich dass dann
> überhaupt in die Tabelle?
Nein, du gibst den beiden Abbildungen erstmal nen schönen kurzen Namen, z.B. $f$ und $g$. Dann hast du die Tabelle
f g
f ? ?
g ? ?
und in die einzelnen Zellen schreibst du das Ergebnis der entsprechenden Verknüpfung, also oben links kommt das Ergebnis von [mm] $f\circ [/mm] f$ rein.
> und wenn ich dann die Tabelle habe, könnte ich dann aus ihr
> für jedes Element die Inverse und das neutrale Element
> ablesen, bzw. ein gemeinsames für alle finden, damit ich
> eine Gruppe hätte? Stimmt das so?
Ja du kannst daran die ersten drei Gruppen Axiome aus meinem Beitrag ablesen. Für das Assoziativgesetz (was ich damals vergessen hatte und nachträglich noch eingefügt habe) bleibt dir i.A. nichts anderes übrig als alle Möglichkeiten durchzuprobieren.
> und bei der zweiten Aufgabe, mit dem Assoziativitätsgesetz,
> könnte ich da einfach Schritt für Schritt die Klammern
> auflösen damit ich am Schluss überall dasselbe hätte?
>
> also: g1*(g2*(g3*g4) = (g1*g2)*(g3*g4) = ((g1*g2)*g3)*g4
> --> g1*(g2*g3*g4)=(g1*g2*g3*g4)=(g1*g2*g3)*g4 -->
> g1*g2*g3*g4 = g1*g2*g3*g4 = g1*g2*g3*g4
>
> ich weiss sonst echt nicht wie man das zeigen soll
Nein, das geht leider nicht, denn der Ausdruck [mm] $(g_1\circ g_2\circ g_3\circ g_4)$ [/mm] macht erst Sinn, wenn du bereits bewiesen hast, dass die Assoziativität auch für vier Elemente gilt, d.h. dass es egal ist in welcher Reihenfolge man den Ausdruck ausrechnet.
Ich habe dir bereits gezeigt, wie man die erste Gleichheit zeigt, was hast du daran nicht verstanden? Du musst nur das Assoziativgesetz für drei Elemente geschickt anwenden.
Gruß, Robert
PS: Schau dir an wie man den Formeleditor hier benutzt. Er hat dieselbe Syntax wie ![[]](/images/popup.gif) LaTeX, was an allen Unis benutzt wird - falls du etwas naturwissenschaftliches oder sogar Mathe studierst, wirst du das eh bald brauchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
hmm etwas bildet etwas in sich selbst ab ;) irgendwie habe ich mühe mich von den "realen" Zahlen zu verabschieden, aber gut, ich nehme das einfach so hin.
ok also
f: a1 -> a1 und g: a1 -> a2
f: a2 -> a2 und g: a2 -> a1
jetzt das in eine Tabelle:
----f---g
f f ?
g ? g
also f°f ist klar = f, g°g auch aber was überwiegt denn wenn ich f°g bzw. g°f habe?
und zum zweiten, ja du hast mir die 1. Gleichheit gezeigt, aber das ist ja nichts anderes als was in der Aufgabenstellung steht, also zumindest der erste Teil, also ich weiss nicht was du damit wirklich gezeigt hast, du hast ja nur hingeschrieben g1*(g2*(g3*g4) = (g1*g2)*(g3*g4) und das ist ja genau wie in der Aufgabenstellung wo steht sei, (G,*) eine Gruppe, zeig dass g1*(g2*(g3*g4) = (g1*g2)*(g3*g4) = ((g1*g2)*g3)*g4.
Also so leid es mir tut aber ich weiss nicht was du damit wirklich zeigst, analog könnte ich ja einfach hinschreiben (g1*g2)*(g3*g4) = ((g1*g2)*g3)*g4 und das wär's dann
Sorry ich hab echt nen mega Knoten mit diesem abstrakten. Ich komm mir langsam echt wie ein Idiot vor :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> hmm etwas bildet etwas in sich selbst ab ;) irgendwie habe
> ich mühe mich von den "realen" Zahlen zu verabschieden,
> aber gut, ich nehme das einfach so hin.
>
> ok also
>
> f: a1 -> a1 und g: a1 -> a2
> f: a2 -> a2 und g: a2 -> a1
>
> jetzt das in eine Tabelle:
> ----f---g
> f f ?
> g ? g
>
> also f°f ist klar = f
ja.
> g°g auch
Nein! Die Operation [mm] $\circ$ [/mm] in [mm] $S_2$ [/mm] ist doch die Verkettung/Komposition von Abbildungen, also ist [mm] $(g\circ g)(a_1)=g(g(a_1))=g(a_2)=a_1$ [/mm] und [mm] $(g\circ g)(a_2)=g(g(a_2))=g(a_1)=a_2$, [/mm] also haben wir insgesamt [mm] $g\circ [/mm] g=f$!
> aber was überwiegt denn
> wenn ich f°g bzw. g°f habe?
Hier musst du genauso wie ich gerade vorgehen, du musst ausrechnen, was [mm] $f\circ [/mm] g$ und [mm] $g\circ [/mm] f$ eigentlich ist.
> und zum zweiten, ja du hast mir die 1. Gleichheit gezeigt,
> aber das ist ja nichts anderes als was in der
> Aufgabenstellung steht, also zumindest der erste Teil, also
> ich weiss nicht was du damit wirklich gezeigt hast, du hast
> ja nur hingeschrieben g1*(g2*(g3*g4) = (g1*g2)*(g3*g4)
Ja da hast du recht, entscheidend ist aber die Begründung. Ich habe das Assoziativgesetz für drei Elemente benutzt, nämlich mit [mm] $x:=g_1$, $y:=g_2$ [/mm] und [mm] $z:=g_3\circ g_4$ [/mm] ist:
[mm] $g_1\circ(g_2\circ(g_3\circ g_4))=x\circ(y\circ z)=(x\circ y)\circ z=(g_1\circ g_2)\circ(g_3\circ g_4)$.
[/mm]
> Also so leid es mir tut aber ich weiss nicht was du damit
> wirklich zeigst, analog könnte ich ja einfach hinschreiben
> (g1*g2)*(g3*g4) = ((g1*g2)*g3)*g4 und das wär's dann
Richtig, mehr ist es im Grunde auch nicht, aber du musst es begründen können, d.h. du musst genau sagen wie du das Assoziativgesetz für drei Elemente benutzt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
ok, ich glaub den zweiten teil habe ich nun verstanden, so hoffe ich zumindest.
also um die zweite Gleichheit zu zeigen würde ich wie folgt vorgehen,
$ [mm] x:=g_4 [/mm] $ ; $ [mm] y:=g_3 [/mm] $ $ [mm] z:=(g_1 [/mm] * [mm] g_2) [/mm] $ dann
$ [mm] (g_1\circ g_2)\circ(g_3\circ g_4)=z\circ(x\circ y)=(z\circ y)\circ x=((g_1\circ g_2)\circ g_3)\circ g_4 [/mm]
also eigentlich wäre es dasselbe wie du für die erste Gleichheit gemacht hast nur das ich [mm] z:=(g_1 [/mm] * [mm] g_2) [/mm] definiere.
Die andere Aufgabe scheine ich auch langsam etwas zu verstehen, nur der Schritt von:
> [mm](g\circ g)(a_1)=g(g(a_1))=g(a_2)=a_1[/mm]
> und [mm](g\circ g)(a_2)=g(g(a_2))=g(a_1)=a_2[/mm], also haben wir
> insgesamt [mm]g\circ g=f[/mm]!
ist etwas verwirrend, wieso muss aus [mm]g\circ g=f[/mm]! folgen
also ich versteh dich richtig?
---g-> g(a1)
Abb. 2 g: a1 ------> a2
g(g(a1)<--g--
dann wäre a2 = g(a1) und mit g(g(a2)) wäre ich wieder am "Ausgangspunkt" a1, stimmt das? analog a2 ----> a1 aber ich sehe nicht wieso das ich dann f! erhalte.
müsste ich mir dann g°f dann so vorstellen?
---f-->f(a1) ---g-->g(f(a1))
a1 -----> a1 ------> a2
und
---f-->f(a2) ---g-->g(f(a2))
a2 -----> a2 ------> a1
und für f°g
---g--> g(a1) -----> f(g(a1))
a1 -----> a2 -----> a2
und
---g--> g(a2) -----> f(g(a2))
a2 -----> a1 -----> a1
stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> ok, ich glaub den zweiten teil habe ich nun verstanden, so
> hoffe ich zumindest.
>
> also um die zweite Gleichheit zu zeigen würde ich wie folgt
> vorgehen,
> [mm]x:=g_4[/mm] ; [mm]y:=g_3[/mm] [mm]z:=(g_1 * g_2)[/mm] dann
> $ [mm](g_1\circ g_2)\circ(g_3\circ g_4)=z\circ(x\circ y)=(z\circ y)\circ x=((g_1\circ g_2)\circ g_3)\circ g_4[/mm]
>
> also eigentlich wäre es dasselbe wie du für die erste
> Gleichheit gemacht hast nur das ich [mm]z:=(g_1[/mm] * [mm]g_2)[/mm]
> definiere.
Ja genau, sehr gut.
> Die andere Aufgabe scheine ich auch langsam etwas zu
> verstehen, nur der Schritt von:
>
> > [mm](g\circ g)(a_1)=g(g(a_1))=g(a_2)=a_1[/mm]
> > und [mm](g\circ g)(a_2)=g(g(a_2))=g(a_1)=a_2[/mm], also haben wir
> > insgesamt [mm]g\circ g=f[/mm]!
>
> ist etwas verwirrend, wieso muss aus [mm]g\circ g=f[/mm]! folgen
Ok ich mach es nochmal, ganz ausführlich:
[mm] $g\circ [/mm] g$ und $f$ sind Abbildungen von [mm] $\IN_2$ [/mm] auf [mm] $\IN_2$. [/mm] Um zu zeigen dass [mm] $g\circ [/mm] g=f$ ist, müssen wir zeigen dass für jedes [mm] $x\in\IN_2$ [/mm] gilt: [mm] $(g\circ [/mm] g)(x)=f(x)$.
Also probieren wir das für alle [mm] $x\in\IN_2$ [/mm] mal aus:
1. Fall: [mm] $x=a_1$:
[/mm]
Dann ist [mm] $f(x)=f(a_1)=a_1$ [/mm] und [mm] $(g\circ g)(x)=(g\circ g)(a_1)\overset{(\star)}{=}g(g(a_1))=g(a_2)=a_1$. [/mm] Die Gleichheit [mm] $(\star)$ [/mm] gilt, weil die Komposition einfach genauso definiert ist.
Damit ist [mm] $f(a_1)=(g\circ g)(a_1)$.
[/mm]
2. Fall [mm] $x=a_2$:
[/mm]
Dann ist [mm] $f(x)=f(a_2)=a_2$. [/mm] und [mm] $(g\circ g)(x)=(g\circ g)(a_2)=g(g(a_2))=g(a_1)=a_2$, [/mm] also [mm] $f(a_2)=(g\circ g)(a_2)$.
[/mm]
Damit haben wir gezeigt dass [mm] $f(x)=(g\circ [/mm] g)(x)$ für alle [mm] $x\in\IN_2$ [/mm] erfüllt ist, also ist [mm] $g\circ [/mm] g=f$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
also ich glaub ich habe deine Ausführung verstanden, bin aber nicht sicher ob ich sie nun richtig auf die Fälle g°f und f°g anwenden kann
bei g°f und f°g muss ich mir ja die Abbildungen hintereinander vorstellen dann müsste es doch
für g°f so sein:
$ [mm] (g\circ f)(x)=(g\circ f)(a_1)\overset{(\star)}{=}g(f(a_1))=g(a_1)=a_2 [/mm] $
$ [mm] (g\circ f)(x)=(g\circ f)(a_1)\overset{(\star)}{=}g(f(a_2))=g(a_2)=a_1 [/mm] $
und bei f°g so:
$ [mm] (f\circ g)(x)=(f\circ g)(a_2)\overset{(\star)}{=}f(g(a_2))=f(a_1)=a_1 [/mm] $
$ [mm] (f\circ g)(x)=(f\circ g)(a_1)\overset{(\star)}{=}f(g(a_2))=f(a_1)=a_2 [/mm] $
da ich dann in beiden Fällen a1, a2 und a2, a1 habe sollte die es in der Tabelle für g°f und f°g ein g stehen oder?
also so:
f g
f f g
g g f
kannst du das kurz überprüfen und mir sagen ob das soweit stimmt? vor allem ob ich das richtig hergeleitet habe
besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> also ich glaub ich habe deine Ausführung verstanden, bin
> aber nicht sicher ob ich sie nun richtig auf die Fälle g°f
> und f°g anwenden kann
> bei g°f und f°g muss ich mir ja die Abbildungen
> hintereinander vorstellen dann müsste es doch
>
> für g°f so sein:
> [mm](g\circ f)(x)=(g\circ f)(a_1)\overset{(\star)}{=}g(f(a_1))=g(a_1)=a_2[/mm]
> [mm](g\circ f)(x)=(g\circ f)(a_1)\overset{(\star)}{=}g(f(a_2))=g(a_2)=a_1[/mm]
Den ersten Term mit dem $x$ kannst du weglassen. Das habe ich vorhin nur wegen der Fallunterscheidung gemacht.
In der zweiten Zeile hast du einen kleinen Schreibfehler. Aber ansonsten hast du es genau richtig gemacht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und bei f°g so:
> [mm](f\circ g)(x)=(f\circ g)(a_2)\overset{(\star)}{=}f(g(a_2))=f(a_1)=a_1[/mm]
> [mm](f\circ g)(x)=(f\circ g)(a_1)\overset{(\star)}{=}f(g(a_2))=f(a_1)=a_2[/mm]
Ok.
> da ich dann in beiden Fällen a1, a2 und a2, a1 habe sollte
> die es in der Tabelle für g°f und f°g ein g stehen oder?
>
> also so:
> f g
> f f g
> g g f
Genau richtig.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
Ok, bestens, damit hätte ich mal etwas verstanden.
jetzt muss ich ja bei der Tabelle weiterfahren.
(i) gibt es ein e (neutrales Element)
(ii) gibt es ein g*e = g für alle g Element S2
(iii) zu jedem g Element G gibt es genau eine Inverse
g' Element G mit g'*g=e
darf ich dann einfach sagen f=e bzw. f kann e sein oder?
also wäre (i) wahr, da es ein neutrales Element geben würde
(ii) wäre auch war da g*e = g ist, wie in der Tabelle ersichtlich.
nur bei (iii) wäre mir jetzt nicht ganz klar wie ich das formulieren müsste.
aber könnte ich das so machen? oder ist das nun wieder komplett falsch interpretiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also die vier Gruppenaxiome sind:
1) [mm] $\circ$ [/mm] bildet zwei Elemente aus $S2$ tatsächlich auf ein Elemet aus [mm] $S_2$ [/mm] ab, d.h. sind [mm] $f,g\in S_2$, [/mm] dann ist auch [mm] $f\circ g\in S_2$.
[/mm]
2) Es gibt ein Element $e$ sodass für jedes [mm] $f\in S_2$ [/mm] gilt: [mm] $f\circ e=e\circ [/mm] f=f$.
3) Für jedes Element [mm] $f\in S_2$ [/mm] gibt es ein Element [mm] $g\in S_2$, [/mm] sodass [mm] $f\circ [/mm] g=e$ ($e$ ist hier das neutrale Element aus Axiom 2).
4) Für alle [mm] $x,y,z\in S_2$ [/mm] muss gelten [mm] $(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ [/mm] z)$.
Das erste Axiom haben wir ja jetzt einfach durch Ausprobieren bestätigt.
> jetzt muss ich ja bei der Tabelle weiterfahren.
>
> (i) gibt es ein e (neutrales Element)
> (ii) gibt es ein g*e = g für alle g Element S2
> (iii) zu jedem g Element G gibt es genau eine Inverse
> g' Element G mit g'*g=e
Du meinst bestimmt das richtige, aber dein ii) gehört eigentlich noch zu i), es muss heißen:
i) Es gibt ein Element $e$ sodass für jedes [mm] $f\in S_2$ [/mm] gilt: [mm] $f\circ e=e\circ [/mm] f=f$. $e$ heißt das neutrale Element von [mm] $S_2$.
[/mm]
ii) Für jedes Element [mm] $f\in S_2$ [/mm] gibt es ein Element [mm] $g\in S_2$, [/mm] sodass [mm] $f\circ [/mm] g=e$
> darf ich dann einfach sagen f=e bzw. f kann e sein oder?
Genau. Denn [mm] $f\circ [/mm] f=f$ und [mm] $g\circ [/mm] f=g$.
> also wäre (i) wahr, da es ein neutrales Element geben
> würde
> nur bei (iii) wäre mir jetzt nicht ganz klar wie ich das
> formulieren müsste.
Naja, du musst ja nur überprüfen ob es:
1) ein Element $x$ gibt, sodas [mm] $f\circ [/mm] x=e$ ist
2) ein Element $y$ gibt, sodass [mm] $g\circ [/mm] y=e$ ist.
Damit hättest du die Axiome 1-3 gezeigt. Fehlt noch die Assoziativität, d.h.:
zu zeigen: 4) Für alle [mm] $x,y,z\in S_2$ [/mm] muss gelten [mm] $(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ [/mm] z)$.
Dazu einfach mal alle Möglichkeiten durchprobieren.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
auf die Gefahr hin das, dass jetzt ev. die dümmste Frage ist die ich dir heute Nachmittag gestellt habe, muss ich es trotzdem tun.
ich habe dein ersten Teil soweit verstanden, nur verwirrt mich wieso du sagst $ [mm] x,y,z\in S_2 [/mm] $ ich dachte in $ [mm] S_2 [/mm] $ seine nur 2 Elemente, oder sind das jetzt einfach irgendwelche Zahlen die ich annehmen kann, (wobei Zahlen sind es wohl eher nicht, da es ja auch Elefanten sein könnten) :) könnte auch sein das es langsam aber sicher ein wenig zu viel Math für mein kleine Hirn ist..
das mit dem x,y,z verstehe ich in dem Zusammenhang gar nicht mehr
und eigentlich auch der Teil finde ich komisch..
> 1) ein Element x gibt, sodas $ [mm] f\circ [/mm] x=e $ ist
> 2) ein Element y gibt, sodass $ [mm] g\circ [/mm] y=e $ ist
wieso das du von x,y,z sprichst und hier dann nur x,y interessieren..
es gibt wohl kein Beispiel mit "Zahlen" um das zu verdeutlichen oder?
ich hoffe deine Geduld mit mir ist noch nicht ganz am Ende aber ich glaub wenn ich solche Sachen nicht nachfrage werde ich es nie verstehen...
liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> auf die Gefahr hin das, dass jetzt ev. die dümmste Frage
> ist die ich dir heute Nachmittag gestellt habe, muss ich es
> trotzdem tun.
Dumm wäre es, die Frage für sich zu behalten.
> ich habe dein ersten Teil soweit verstanden, nur verwirrt
> mich wieso du sagst [mm]x,y,z\in S_2[/mm] ich dachte in [mm]S_2[/mm] seine
> nur 2 Elemente, oder sind das jetzt einfach irgendwelche
> Zahlen die ich annehmen kann, (wobei Zahlen sind es wohl
> eher nicht, da es ja auch Elefanten sein könnten) :) könnte
> auch sein das es langsam aber sicher ein wenig zu viel Math
> für mein kleine Hirn ist..
Ja, Zahlen sind es nach wie vor nicht, $x,y,z$ sind einfach Elemente aus [mm] $S_2$. [/mm] Dass [mm] $S_2$ [/mm] nur zwei Elemente besitzt macht nichts, keiner hat gesagt, dass $x,y,z$ irgendwie verschieden sein müssen, es kann z.B. auch $x=y=z=f$ sein.
Du musst jetzt sozusagen nachrechnen dass:
[mm] $(f\circ f)\circ f=f\circ(f\circ [/mm] f)$
[mm] $(f\circ f)\circ g=f\circ (f\circ [/mm] g)$ usw.
... eben mit allen Möglichkeiten die es gibt.
> das mit dem x,y,z verstehe ich in dem Zusammenhang gar
> nicht mehr
$x,y,z$ sind nur Namen für Elemente aus [mm] $S_2$, [/mm] genau wie vorhin $f$ und $g$ - ich hab nur neue Variablennamen gebraucht. Lass dich nicht dadurch verwirren, dass du es irgendwie aus der Schule als "Unbekannte Zahlgrößen" oder sowas kennst.
> und eigentlich auch der Teil finde ich komisch..
>
> > 1) ein Element x gibt, sodas [mm]f\circ x=e[/mm] ist
> > 2) ein Element y gibt, sodass [mm]g\circ y=e[/mm] ist
Hier gehts darum dass du die Inversen findest. Musst eigentlich nur in die Tabelle schauen. Es muss zu jedem Element $a$ aus [mm] $S_2$ [/mm] ein Element $b$ aus [mm] $S_2$ [/mm] geben, sodass [mm] $a\circ [/mm] b=e$, also das neutrale Element ist. Hier hab ich mal wieder einfach neue Variablennamen benutzt, aber das ist vollkommen egal, es sind wirklich nur Namen!
> wieso das du von x,y,z sprichst und hier dann nur x,y
> interessieren..
Das $x,y,z$ war im Zusammenhang mit dem Assoziativgesetz, also Axiom 4). Da braucht man drei Variable.
Danach ging es um Axiom 3), wo du zeigen musst, dass jedes Element aus [mm] $S_2$ [/mm] ein Inverses besitzt.
> es gibt wohl kein Beispiel mit "Zahlen" um das zu
> verdeutlichen oder?
Doch. Zum Beispiel die Gruppe {0,1}, mit der Operation "Addieren modulo 2". Dann ist das neutrale Element die $0$, das Inverse von $0$ ist $0$ und das Inverse von $1$ ist $1$.
Diese Gruppen sind sogar "gleich" (isomorph), d.h. bis auf die Bezeichnung der Elemente sind sie gleich: Unser $f$ aus [mm] $S_2$ [/mm] entspricht der $0$ und $g$ entspricht der $1$.
Ein anderes Beispiel, mit unendlich vielen Elementen, sind die Ganzen Zahlen [mm] $\IZ$ [/mm] mit der Addition. $0$ ist das neutrale Element, und das Inverse zu $z$ ist $-z$, denn $z+(-z)=0$. Diese Gruppe ist nicht isomorph zu [mm] $S_2$, [/mm] aber das nur am Rande.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 So 05.10.2008 | | Autor: | raemic |
erst einmal recht herzlichen Dank für deine Erklärungen, mir ist jetzt immer noch nicht alles klar, aber das kann auch darin liegen das mein Kopf nun schon recht brummt. Ich werde mir das morgen nochmal in Ruhe anschauen.
es gibt nur eine Sache die ich jetzt noch Fragen möchte um zu sehen ob ich das nun wirklich richtig im Kopf habe..
> Hier gehts darum dass du die Inversen findest. Musst eigentlich nur in die
> Tabelle schauen. Es muss zu jedem Element a aus $ [mm] S_2 [/mm] $ ein Element b
> aus $ [mm] S_2 [/mm] $ geben, sodass $ [mm] a\circ [/mm] b=e $, also das neutrale Element ist.
In der Tabelle habe ich ja nur f und g, da ich sagen kann das f = e ist dann ist g' die Inverse, ist das richtig? und dann wäre (g'°g)=f bzw. gleich e
so das war's aber nun für heute, wie gesagt ich werde es mir morgen nochmal anschauen und ich hoffe das sich dann der ganze Nebel verzogen hat.
Besten Dank nochmal für deine Hilfe.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> In der Tabelle habe ich ja nur f und g, da ich sagen kann
> das f = e ist dann ist g' die Inverse, ist das richtig? und
> dann wäre (g'°g)=f bzw. gleich e
Was ist denn $g'$ jetzt schon wieder? $g$ ist das Inverse von $g$ und $f$ ist das Inverse von $f$. Aber das meintest du bestimmt.
Gruß, Robert
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