Gruppen, Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien $G,H,K$ Gruppen und [mm] $f:G\toH$,$g:H\to [/mm] K$ Homomorphismen. Zeigen Sie:
I) Die Komposition [mm] $g\circ f:G\to [/mm] K$ ist ein Homomorphismus.
II) Ist [mm] $f:G\to [/mm] H$ ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung [mm] $g:H\to [/mm] G$ von $f$ ein Isomorphismus. |
Hi,
ich würde mich freuen wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte.
Da die beiden Abbildungen [mm] $f:G\to [/mm] K$ und [mm] $g:H\to [/mm] K$ jeweils Homomorphismen sind, gilt für $a,b [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $c,d\in [/mm] H$ jeweils
[mm] $f(a\cdot b)=f(a)\cdot [/mm] f(b)$
und
[mm] $g(c\cdot d)=g(c)\cdot [/mm] g(d)$
Wobei [mm] $\cdot$ [/mm] hier einfach irgendeine Verknüpfung ist.
Dann muss ich nun zeigen, dass für
[mm] $g\circ f:G\to [/mm] K$
gilt, dass
[mm] $g(f(a\cdot b))=g(f(a))\cdot [/mm] g(f(b))$
Wäre das erstmal richtig, oder ist das schon falsch?
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> [mm]g(c\cdot d)=g(c)\cdot g(d)[/mm]
>
> Wobei [mm]\cdot[/mm] hier einfach irgendeine Verknüpfung ist.
>
> Dann muss ich nun zeigen, dass für
>
> [mm]g\circ f:G\to K[/mm]
>
> gilt, dass
>
> [mm]g(f(a\cdot b))=g(f(a))\cdot g(f(b))[/mm]
für alle [mm] a,b\in [/mm] G.
>
> Wäre das erstmal richtig, oder ist das schon falsch?
Es ist richtig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Leider habe ich keinen Ansatz wie ich das machen könnte.
Kann ich hier verwenden, dass [mm] $a\cdot [/mm] b$ wieder ein Element von G ist und es so ersetzen?
Dann würde ich versuchen zu zeigen, dass in beiden Fällen
[mm] $g(f(a\cdot b)=g(f(a))\cdot [/mm] g(f(b))$
Ein Element der selben Menge ist, aber das würde
1. wahrscheinlich nicht reichen
2. wüsste ich dennoch nicht wie die Aufgaben zu lösen ist.
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> Leider habe ich keinen Ansatz wie ich das machen könnte.
Hallo,
wenn Du die Voraussetzungen vernünftig aufschreibst, ist das oft schon die halbe Miete.
Also:
Seien Seien $G,H,K$ Gruppen und [mm] $f:G\to H$,$g:H\to [/mm] K$ Homomorphismen,
dh. für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt: ...,
und für alle [mm] c,d\in [/mm] H gilt: ....
Zu zeigen:
Die Komposition [mm] $g\circ f:G\to [/mm] K$ ist ein Homomorphismus,
dh.
für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt
[mm] (g\circ f)(a*b)=(g\circ f)(a)*(g\circ [/mm] f)(b).
Beweis:
Seien [mm] a,b\in [/mm] G.
Es ist
[mm] (g\circ f)(a*b)=g(f(a*b))\qquad [/mm] nach Def. der Verkettung
[mm] =g(...)\qquad [/mm] denn f ist Homomorphismus
=g(...)*g(...) [mm] \qquad [/mm] denn...
=... ... ... ...
Mach mal.
LG Angela
>
> Kann ich hier verwenden, dass [mm]a\cdot b[/mm] wieder ein Element
> von G ist und es so ersetzen?
> Dann würde ich versuchen zu zeigen, dass in beiden
> Fällen
>
> [mm]g(f(a\cdot b)=g(f(a))\cdot g(f(b))[/mm]
>
> Ein Element der selben Menge ist, aber das würde
> 1. wahrscheinlich nicht reichen
> 2. wüsste ich dennoch nicht wie die Aufgaben zu lösen
> ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Beweis:
Seien [mm] $a,b\in [/mm] G$.
Es ist
[mm] $(g\circ f)(a*b)=g(f(a*b))\qquad$ [/mm] nach Def. der Verkettung
[mm] $=g(f(a)\cdot f(b))\qquad$ [/mm] denn f ist Homomorphismus
$=g(f(a))*g(f(b)) [mm] \qquad$ [/mm] denn g ist Homomorphismus
=... ... ... ...
Also entweder sehe ich einfach den letzten Schritt nicht, oder ich bin fertig und die zusätlichen Pünktchen haben mich die letzten 25 Minuten ohne Grund verwirrt. :)
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> Beweis:
>
> Seien [mm]a,b\in G[/mm].
>
> Es ist
>
> [mm](g\circ f)(a*b)=g(f(a*b))\qquad[/mm] nach Def. der Verkettung
>
> [mm]=g(f(a)\cdot f(b))\qquad[/mm] denn f ist Homomorphismus
>
> [mm]=g(f(a))*g(f(b)) \qquad[/mm] denn g ist Homomorphismus
[mm] =(g\circ f)(a)*(g\circ [/mm] f)(b)
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mi 04.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, jetzt wo ich es sehe, ist es klar...
Vielen Dank.
Ich würde mich freuen, wenn wir den zweiten Teil der Aufgabe morgen bearbeiten können, aber jetzt gehöre ich ins Bett. Gute Nacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | II) Sei [mm] $f:G\to [/mm] H$ ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung [mm] $g:H\to [/mm] G$ von $f$ ein Isomorphismus. |
Hi, ich würde mich auch hier um eine Hilfestellung freuen.
Die Abbildung $f$ ist ein Isomorphismus. Also ist sie ein bijektiver Monomorphismus.
Es gilt also, dass für [mm] $a,b\in [/mm] G$ ist [mm] $f(a\cdot b)=f(a)\cdot [/mm] f(b)$, wobei [mm] $\cdot$ [/mm] hier wieder irgendeine Verknüpfung ist.
Weil $f$ bijektiv ist, gilt für alle [mm] $a\in [/mm] G$, dass es genau ein [mm] $h\in [/mm] H$ gibt mit $f(a)=h$
Nun muss ich zeigen, dass unter der Voraussetzung $f$ ist ein Isomorphismus gilt, dass auch die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] bzw. $g$ gilt, dass dieser ein Isomorphismus ist.
Laut einem Satz aus der Vorlesung gilt für Gruppen, was G,H und K ja sind, dass wenn sie ein Neutralelement enthalten und $f$ ein Homomorphismus ist folgendes gilt:
[mm] $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$
[/mm]
Da eine Gruppe die Inversen Elemente und auch ein Neutralelement enthält, müsste ich dies doch verwenden dürfen.
[mm] $f(x^{-1})=f(x^{-1}\cdot [/mm] e)$
[mm] $=f(x^{-1})\cdot [/mm] f(e)$ da f Homomorphismus
[mm] $=f(x)^{-1}\cdot [/mm] ...$
Ich wüsste nicht wie ich das Neutraleelement $e$ verarbeiten könnte...
Über Anregungen würde ich mich freuen.
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Hallo,
> II) Sei [mm]f:G\to H[/mm] ein Isomorphismus, dann ist auch die
> Umkehrabbildung [mm]g:H\toG[/mm] von [mm]f[/mm] ein Isomorphismus.
> Hi, ich würde mich auch hier um eine Hilfestellung
> freuen.
>
> Die Abbildung [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus. Also ist sie ein
> bijektiver Monomorphismus.
>
> Es gilt also, dass für [mm]a,b\in G[/mm] ist [mm]f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)[/mm],
> wobei [mm]\cdot[/mm] hier wieder irgendeine Verknüpfung ist.
> Weil [mm]f[/mm] bijektiv ist, gilt für alle [mm]a\in G[/mm], dass es genau
> ein [mm]h\in H[/mm] gibt mit [mm]f(a)=h[/mm]
>
> Nun muss ich zeigen, dass unter der Voraussetzung [mm]f[/mm] ist ein
> Isomorphismus gilt, dass auch die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm]
> bzw. [mm]g[/mm] gilt, dass dieser ein Isomorphismus ist.
>
> Laut einem Satz aus der Vorlesung gilt für Gruppen, was
> G,H und K ja sind, dass wenn sie ein Neutralelement
> enthalten und [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist folgendes gilt:
>
> [mm]f(x^{-1})=f(x)^{-1}[/mm]
>
> Da eine Gruppe die Inversen Elemente und auch ein
> Neutralelement enthält, müsste ich dies doch verwenden
> dürfen.
>
> [mm]f(x^{-1})=f(x^{-1}\cdot e)[/mm]
>
> [mm]=f(x^{-1})\cdot f(e)[/mm] da f Homomorphismus
>
> [mm]=f(x)^{-1}\cdot ...[/mm]
>
> Ich wüsste nicht wie ich das Neutraleelement [mm]e[/mm] verarbeiten
> könnte...
Das ist alles sehr komisch ...
Du weißt ja gar nicht, ob [mm]g[/mm] ein Homomorphismus ist, das musst du ja zeigen!
Was genau musst du denn zeigen?
Zuerst, dass die Umkehrabbildung zu [mm]f:G\to H[/mm], genannt [mm]g:H\to G[/mm], linear ist.
Nimm dir also beliebige [mm]h_1,h_2\in H[/mm] her und Skalare [mm]a_1,a_2[/mm] und zeige:
[mm]g(a_1\cdot{}h_1+a_2\cdot{}h_2)=a_1\cdot{}g(h_1)+a_2\cdot{}g(h_2)[/mm]
Tipp:
Zu [mm]h_1,h_2\in H[/mm] existieren [mm]g_1,g_2\in G[/mm] mit [mm]f(g_1)=h_1, f(g_2)=h_2[/mm] (wieso?)
Da [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist, gilt Linearität:
[mm]f(a_1\cdot{}g_1+a_2\cdot{}g_2)=a_1\cdot{}f(g_1)+a_2\cdot{}f(g_2)[/mm]
Nun wende mal die Umkehrabbildung g (oder [mm]f^{-1}[/mm]) auf diese Gleichung an ...
>
> Über Anregungen würde ich mich freuen.
Mache das mal fertig und überlege dir, wieso [mm]g=f^{-1}[/mm] bijektiv ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Tipp:
Zu [mm]h_1,h_2\in H[/mm] existieren [mm]g_1,g_2\in G[/mm] mit [mm]f(g_1)=h_1, f(g_2)=h_2[/mm] (wieso?)
__
Diese existieren, da die Funktion bijektiv ist.
___
Da [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist, gilt Linearität:
[mm]f(a_1\cdot{}g_1+a_2\cdot{}g_2)=a_1\cdot{}f(g_1)+a_2\cdot{}f(g_2)[/mm]
Nun wende mal die Umkehrabbildung g (oder [mm]f^{-1}[/mm]) auf diese Gleichung an ...
__
Den Begriff der Linearität haben wir noch nicht eingeführt. Und Skalare nur im Bezug auf Vektorräume, jedoch noch nicht zum Zeitpunkt dieser Aufgabe.
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Hallo nochmal,
sorry, es geht ja um Gruppen, nicht um Vektorräume - verlesen, pardon!
> Tipp:
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> Zu [mm]h_1,h_2\in H[/mm] existieren [mm]g_1,g_2\in G[/mm] mit [mm]f(g_1)=h_1, f(g_2)=h_2[/mm]
> (wieso?)
> __
>
> Diese existieren, da die Funktion bijektiv ist.
> ___
>
> Da [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist, gilt Linearität:
>
> [mm]f(a_1\cdot{}g_1+a_2\cdot{}g_2)=a_1\cdot{}f(g_1)+a_2\cdot{}f(g_2)[/mm]
>
> Nun wende mal die Umkehrabbildung g (oder [mm]f^{-1}[/mm]) auf diese
> Gleichung an ...
>
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>
> Den Begriff der Linearität haben wir noch nicht
> eingeführt. Und Skalare nur im Bezug auf Vektorräume,
> jedoch noch nicht zum Zeitpunkt dieser Aufgabe.
Das macht es schneller 
D hast Gruppen [mm](G,\cdot{})[/mm] und [mm](H,\star)[/mm] und einen Isomorphismus [mm]f:G\to H[/mm]
Zeigen sollst du, dass die Umkehrabb. [mm]g:H\to G[/mm] ebenfalls ein Isomorphismus ist.
zu zeigen ist also zum einen die Bijektivität von g, zum anderen, dass für alle [mm]h_1,h_2\in H[/mm] gilt:
[mm]g(h_1\star h_2)=g(h_1)\cdot{}g(h_2)[/mm]
Passe nun meinen Vorschlag aus der anderen Antwort an:
es existieren [mm] $g_1,g_2\in [/mm] G$ mit [mm] $f(g_1)=h_1$ [/mm] und [mm] $f(g_2)=h_2$
[/mm]
Dann nutze, dass f ein Homomorphismus ist, dass also gilt: .... und wende dann darauf g an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ist die bijektivität der Umkehrfunktion nicht eigentlich klar? Denn damit eine Abbildung eine Umkehrfunktion hat muss sie ja bijektiv sein.
Leider weiß ich nicht wie ich das zeigen kann.
Ich müsste ja zeigen, dass für jedes [mm] $g\in [/mm] G$ genau ein [mm] $h\in [/mm] H$ gibt, dass $f(g)=h$ gilt.
Um die homomorphie Eigenschaften von f nutzen zu können benötige ich ja zwei Elemente
[mm] $f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)$
[/mm]
Wenn ich dies umkehre, dann erhalte ich ja
[mm] $g_1g_2=g_1_g_2$
[/mm]
Na ja, ich bin mir wohl bewusst, dass das blödsinn ist alles. Ich weiß nicht warum mir Aufgaben von diesem Typ so schwer fallen. :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich kann leider die bisherigen Tipps nicht umsetzen.
Über weitere Anregungen würde ich mich sehr freuen.
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Hallo,
schachuzipus schrieb Dir:
"Du hast Gruppen [$ [mm] (G,\cdot{}) [/mm] $] und [$ [mm] (H,\star) [/mm] $] und einen Isomorphismus [$ [mm] f:G\to [/mm] H $]
Zeigen sollst du, dass die Umkehrabb. [$ [mm] g:H\to [/mm] G $] ebenfalls ein Isomorphismus ist.
zu zeigen ist also zum einen die Bijektivität von g, zum anderen, dass für alle [$ [mm] h_1,h_2\in [/mm] H $] gilt:
[$ [mm] g(h_1\star h_2)=g(h_1)\cdot{}g(h_2) [/mm] $] "
Jetzt fangen wir mal an.
Wir haben einen Isomorphismus [mm] f:G\to [/mm] H,
also einen bijektiven Homomorphismus.
Aus der Vorlesung sollte bekannt sein, daß bijektive Funktionen eine Umkehrfunktion haben, welche ebenfalls bijektiv ist. Überzeuge Dich davon, daß dies in Deinen Unterlagen steht.
Zu zeigen ist also nur noch, daß es sich bei der Umkehrfunktion um einen Homomorphismus handelt.
Erinnern wir uns
erstmal, wie die Umkehrfunktion g definiert ist.
[mm] g:H\to [/mm] G
g(y):=x mit f(x)=y für alle [mm] y\in [/mm] H.
Zeigen mußt Du nun
[$ [mm] g(h_1\star h_2)=g(h_1)\cdot{}g(h_2) [/mm] $] für alle [mm] h_1, h_2\in [/mm] H.
Seien [mm] h_1, h_2\in [/mm] H.
Dann gibt es genau ein [mm] g_1\in [/mm] G und ein [mm] g_2 \in [/mm] G
mit f(...)=... ... ... ... ...
Also ist
[mm] g(h_1\star h_2)= [/mm] ... ... ... ... ... ... ...
Jetzt leg mal los.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ja, dass nur bijektive Funktionen eine Umkehrabbildung haben ist mir bekannt. Und das die Umkehrfunktion dann selbst wieder bijektiv sein muss ist ja auch klar.
Zu zeigen:
[mm] $g(h_1*h_2)=g(h_1)*g(h_2)$ [/mm] für alle [mm] $h_1,h_2\in [/mm] H$
Seien [mm] $h_1,h_2\in [/mm] H$, dann gibt es genau ein [mm] $g_1\in [/mm] G$ und [mm] $g_2\in [/mm] G$ mit
[mm] $f(g_1)=h_1$ [/mm] und [mm] $f(g_2)=h_2$ [/mm] da $f$ bijektiv ist.
Also ist
[mm] g(h_1*h_2)=g(f(g_1)*f(g_2))
[/mm]
Da $f$ ein Homomorphismus ist, gilt nun
[mm] $g(f(g_1*g_2))=....$
[/mm]
Hier wüsste ich nun nicht mehr weiter, für den Fall, dass es bis hier her korrekt ist.
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> Zu zeigen:
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> [mm]g(h_1*h_2)=g(h_1)*g(h_2)[/mm] für alle [mm]h_1,h_2\in H[/mm]
>
> Seien [mm]h_1,h_2\in H[/mm], dann gibt es genau ein [mm]g_1\in G[/mm] und
> [mm]g_2\in G[/mm] mit
>
> [mm]f(g_1)=h_1[/mm] und [mm]f(g_2)=h_2[/mm] da [mm]f[/mm] bijektiv ist.
>
> Also ist
>
> [mm]g(h_1*h_2)=g(f(g_1)*f(g_2))[/mm]
>
> Da [mm]f[/mm] ein Homomorphismus ist, gilt nun
>
> [mm]g(f(g_1*g_2))=....[/mm]
Hallo,
jetzt bedenke: g kehrt f um.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ja, aber dann hätte ich mich ja nur im Kreis gedreht. Dann erhalte ich ja
[mm] $g(f(g_1*g_2))=g_1*g_2$
[/mm]
Oder nicht?
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> Ja, aber dann hätte ich mich ja nur im Kreis gedreht. Dann
> erhalte ich ja
>
> [mm]g(f(g_1*g_2))=g_1*g_2[/mm]
>
> Oder nicht?
Hallo,
Du hast richtig gerechnet.
Daß Du Dich im Kreis gedreht hast, sehe ich nicht.
Den Überblick würdest Du sicher besser behalten, wenn Du die Gleichungsketten komplett schreiben würdest und das Ziel im Auge behalten.
Manchmal muß man sich auch etas mehr Zeit nehmen...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, im Kreisgedreht war vielleicht eine falsche Bezeichnung, aber jetzt bin ich doch noch nicht fertig. Das ist ja nicht das was ich zeigen wollte, oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?
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> oder sehe ich den
> Wald vor lauter Bäumen nicht?
Kann schon sein.
Dann denkste jetzt mal 12 Stunden nach - auch im Traum - und machst dann weiter.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 05.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, werde ich machen. Meine Erfahrung mit den Lösungswegen die mir so im Traum begegnen ist leider, dass sie sich beim ausprobieren schnell als Müll entpuppen. 
Bin leider kein Ramanujan, der seine persönliche Göttin hat, was das angeht.
Vielen Dank für die Hilfe an alle beteiligten.
Übrigens gefällt mir deine Methode mit den Lückentexten sehr.
Die haben mir bisher immer am meisten geholfen.
Ich denke ich bin bei dieser Aufgabe noch nicht fertig. Ich müsste jetzt noch zeigen, dass aus
[mm] $g_1*g_2$ [/mm] folgt, es das selbe ist wie [mm] $g(h_1)*g(h_2)$
[/mm]
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