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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Do 22.06.2006 | | Autor: | fornie |
| Aufgabe | a) Finden Sie eine Gruppe G und eine Untergruppe H, so dass H kein Normalteiler ist.
b) Sei H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe von G, so dass G/H 2-elemtig ist.
Zeigen Sie, dass H ein Normalteiler in G ist. |
Hallo.
Also ich weiß schon was ein Normalteiler ist aber ein Bsp. für a fällt mir nicht ein.
Bei b warum gibt man denn da an das G/H 2 Elemtig ist? Wobei soll mir das helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Naja, im Bereich der Matrizen gibt es doch viele Beispiele.  Abelsche Gruppen sind eher problematisch, da ist ja jede Untergruppe ein Normalteiler.
Sei aber $G = [mm] GL_n(K)$ [/mm] die Gruppe der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$ Matrizen und $T$ die Menge der Diagonalmatrizen, dann ist $T$ eine Untergruppe (das Produkt zweier Diagonalmatrizen ist wieder diagonal und die Einheitsmatrix liegt auch drin) und sogar eine abelsche Untergruppe, aber $T$ ist nicht normal in $G$, falls $n [mm] \geq [/mm] 2$.
Das überlasse ich Dir zur Übung, ein Beispiel zu finden, ist aber ganz leicht, sonst gäbe es ja keine "Diagonalisierbarkeitstheorie" von Matrizen.
Zum zweiten Teil: Dass $G/H$ zwei Elemente hat, bedeutet, dass es modulo $H$ nur zwei Nebenklassen gibt. Es gibt also nur zwei Sorten von Elementen in $G$:
1) Die Elemente von $H$
2) Ist ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit $g [mm] \notin [/mm] H$, dann gilt für jedes weitere $g# [mm] \in [/mm] G$ mit $g' [mm] \notin [/mm] H$ automatisch: $gg'^{-1} [mm] \in [/mm] H$.
Damit sollte es doch möglich sein zu folgern, dass $H$ ein Normalteiler sein muss... wenn also $g$ nicht in $H$ liegt, dann soll gezeigt werden, dass [mm] $ghg^{-1}$ [/mm] in $H$ liegt, für $h [mm] \in [/mm] H$ beliebig. Nimm an, das wäre nicht so und rechne weiter. 
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 22.06.2006 | | Autor: | fornie |
Danke erstmal.
Hab erstmal nur bei a geschaut. Also auf Matrizen war ich gar nicht gekommen. MMh also ich hab jetzt ne invertierbare Matrix g und eine allgemeine Diagonalmatrix 3x3 H genommen. Also Diagonaleinträge a,b,c die allerdings ungleich 0 sind.
Bei der g*H [mm] \not= [/mm] H*g . Reicht das zu zeigen?
Gruppenbeweise sind hier nicht noch extra verlangt oder?
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Naja, es reicht, ein Gegenbeispiel anzugeben.
Also, Du kannst im Grunde eine konkrete $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix $g$ nehmen, am besten eine, die Du leicht invertieren kannst und eine konkrete Diagonalmatrix $h$. Wenn Du dann zeigst, dass
$gh [mm] \not= [/mm] hg$
Dann bist Du fertig. Also im Prinzip musst Du nur eine invertierbare Matrix $g$ und eine Diagonalmatrix $h$ finden, die nicht kommutieren. Daraus folgt schon, dass die Gruppe $T$ der Diagonalmatrizen kein Normalteiler in $G = [mm] GL_n(K)$ [/mm] ist.
Viel Glück!
Lars
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