Gruppen bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Guten Tag,
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich alle Gruppen mit 4 Elementen (bis auf Umbenennung der 4 Elemente) mithilfe von entsprechnden Verknüpfungstabellen bestimmen soll.
Ich habe versucht mich im Internet über Verknüpfungstabellen schlau zu machen. Allerdings bin ich dort desöfteren auf mod x gestoßen, was mich sehr verwirrt. Ich hoffe jemand kann mir das kurz erklären, wie ich diese Verknüpfungstabellen erstellen soll.
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> Guten Tag,
Hi
> Ich habe eine Aufgabe, bei der ich alle Gruppen mit 4
> Elementen (bis auf Umbenennung der 4 Elemente) mithilfe von
> entsprechnden Verknüpfungstabellen bestimmen soll.
>
> Ich habe versucht mich im Internet über
> Verknüpfungstabellen schlau zu machen. Allerdings bin ich
> dort desöfteren auf mod x gestoßen, was mich sehr
> verwirrt. Ich hoffe jemand kann mir das kurz erklären, wie
> ich diese Verknüpfungstabellen erstellen soll.
"mod x" sagt nichts weiteres als "Teile die Zahl durch x und nimm den Rest". Das wird aber nicht die ganze Aufgabe lösen.
Vielleicht aber noch einmal zur eigentlichen Aufgabe:
Du hast ja eine Menge von 4 Elementen {0,a,b,c}.
Du sollst jetzt alle möglichen Verknüpfungen angeben, sodass ({0,a,b,c},+) eine Gruppe ist.
Die 0 liegt als neutrales Element drin. Was klar sein sollte ist, dass
0+0=0
0+a=...
0+b=...
0+c=...
eindeutig bestimmt sind. Dies ist in jeder Gruppe gleich.
Dann stellt sich die Frage, was "a+a" ist und wie die anderen Verknüpfungen aussehen. Für a+a hast du ja nun 4 Möglichkeiten {0,a,b,c}. Manche machen Sinn und manche ergeben keinen Sinn, da irgend eine Gruppeneigenschaft verletzt wird.
gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok danke erst einmal.
Aber ers reicht ja noch nicht, dass ({0,a,b,c},+) eine Gruppe ist oder?
Fehlt dann da nicht noch [mm] ({0,a,b,c},$\circ$)?
[/mm]
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> ok danke erst einmal.
> Aber ers reicht ja noch nicht, dass ({0,a,b,c},+) eine
> Gruppe ist oder?
> Fehlt dann da nicht noch ({0,a,b,c},[mm]\circ[/mm])?
Hallo,
eine Gruppe besteht aus einer Menge und einer Verknüpfung, welche gewissen Regeln gehorcht.
Ob wir die Verknüpfung + nennen, [mm] \circ, \*, \oplus [/mm] oder einen kleinen grünen Frosch als Verknüpfungszeichen wählen, ist völlig belanglos.
Das + steht hier einfach für eine verknüpfung, es ist nicht das +, welches Du vom Rechnen mit normalen Zahlen kennst.
Wär ja auch sinnlos: nirgendwo steht, daß 0,a,b,c Zahlen sind.
Vielleicht sind das Türklinke, Parfümflasche, Schälmesser und Klobürste...
Auch die 0 steht hier einfach für "das neutrale Element".
Wenn man als Verknüpfungszeichen + wählt, nennt man das neutrale Element meist 0,
wählt man als Verknüpfungszeichen [mm] \*, [/mm] nennt man es gerne 1.
Aber auch n (für +) und e für [mm] (\* [/mm] und [mm] \circ [/mm] ) sind üblich.
Es geht in dieser Aufgabe darum, daß es, wenn Du den Gruppenregeln gehorchend Verknüpfungstafeln aufstellst für die Menge [mm] \{0,a,b,c\}, [/mm] es nur zwei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten gibt.
Fangen wir mit den ersten beiden Elementen, dem zwingend notwendigen neutralen und einem davon verschiedenen an:
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline + \parallel& 0 & a & & \\
\hline \hline 0\parallel & 0 & a& & \\
a\parallel &a &&&\\
\parallel &&&&\\
\parallel &&&&\\
\parallel &&&&\\
\hline \end{tabular}[/mm]
Nun müßte man sich entscheiden, was a+a ergeben soll und darf.
Es gibt drei prinzipielle Möglichkeiten:
a+a=0
a+a=a
a+a ist ein von diesen beiden verschiedenes Element b,
also a+a=b.
Eine der drei Möglichkeiten führt zu einem Widerspruch, so daß Du an dieser Stelle zwei mögliche Verknüpfungstabellen bekommst:
[mm] A.$\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline + \parallel& 0 & a & & \\\hline \hline 0\parallel & 0 & a& & \\a\parallel &a &???&&\\ \parallel &&&&\\\parallel &&&&\\\parallel &&&&\\ \hline \end{tabular}$
[/mm]
B. [mm] $\begin{tabular}[ht]{ccccc}\hline + \parallel& 0 & a & & \\\hline \hline 0\parallel & 0 & a& & \\a\parallel &a &???&&\\ \parallel &&&&\\\parallel &&&&\\\parallel &&&&\\ \hline \end{tabular}$.
[/mm]
Nun versuche für beide Tabellen weiterzumachen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Also zu der Gruppe mit 4 Elementen erst einmal:
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a
b b
c c
[mm] $a+a\not=a$, [/mm] da a schon in der Zeile Vorkommt. Mithilfe der Gruppeneigenschaften kann ich es allerdings nicht erklären. Mir fehlt hierfür leider der nötige durchblick. Ich kann die Eigenschaften nicht so verknüpfen, dass da ein Widerspruch herauskommt.
also kann a+a eine der drei Lösungen {0,b,c} haben
Meiner Meinung nach gibt es aber so viele verschiedene Möglichkeiten. Das ist doch nicht eindeutig lösbar oder?
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> Also zu der Gruppe mit 4 Elementen erst einmal:
???
Wir redeten doch über nichts anderes.
>
> + 0 a
> 0 0 a
> a a
>
>
>
> [mm]a+a\not=a[/mm], da a schon in der Zeile Vorkommt.
Hallo,
genau.
> Mithilfe der
> Gruppeneigenschaften kann ich es allerdings nicht
> erklären.
Jedes Element hat ein Inverses, ich nenne das Inverse zu a mal [mm] \overline{a}.
[/mm]
Aus a+a=a folgt [mm] \overline{a}+a+a=\overline{a}+a [/mm] <==> a=0.
Wir hatten aber gesagt, daß [mm] a\not=0 [/mm] ist.
Also ist a+a=0, oder ein drittes Element, welches wir b nennen.
Wir erhalten die beiden Tabellen
>
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a b
> b b
> c c
Hier mußt Du nun über die nächste Verknüpfung nachdenken, ggf. etwas probieren.
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a 0
> b b
> c c
Hier ebenfalls.
> also kann a+a eine der drei Lösungen {0,b,c} haben
Da wir uns nur für prizipelle Unterschiede der Tafeln interessieren,
ist der große Unterschied der, ob a+a das bereits verwendete Element 0 ergibt, oder ob ein noch nicht verwendetes Element rauskommt.
Wir benennen jetzt einfach das von 0 und a verschiedene Verknüpfungsergebnis von a+a als b.
Deshalb hatte ich in meiner Tabelle von zuvor b und c auch noch nicht eingetragen.
LG Angela
> Meiner Meinung nach gibt es aber so viele verschiedene
> Möglichkeiten. Das ist doch nicht eindeutig lösbar oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Danke erst einmal.
Allerdings ist mir noch nicht klar, wieso das ergebnis aus a+a nur 0 oder b werden kann. Wieso nicht c?
das wäre doch auch möglich oder nicht?
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> Danke erst einmal.
> Allerdings ist mir noch nicht klar, wieso das ergebnis aus
> a+a nur 0 oder b werden kann. Wieso nicht c?
> das wäre doch auch möglich oder nicht?
Für a+a bleiben zwei Möglichkeiten nämlich b und 0.
Wenn a+a = c, dann hast du doch einfach nur das Element b umgenannt und es heißt dann c.
Ob du es nun so aufschreibst:
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a b
b b
c c
oder so:
+ 0 a c b
0 0 a c b
a a c
c c
b b
An der STRUKTUR änder sich nichts.
Also versuche dich an :
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a b
b b
c c
(Für a+b gibt es hier zwei Möglichkeiten : 0 oder c. Eine macht keinen Sinn)
und an
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a 0
b b
c c
(Für a+b gibt es hier zwei Möglichkeiten : b oder c. Eine macht keinen Sinn)
Wenn alles klappt und es keine Widersprüche gibt, dann bist du für den jeweiligen Fall fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok also bei der 1. Verknüpfung wäre ich dann soweit:
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a b c 0
b b c
c c 0
Denn wenn ich jetzt hätte:
$a+b=0$
dann muss $a+c=c$ sein.
Also wäre $a$ ein neutrales Element oder?
Dann wäre $a+b$ aber $b$?
Bei der 2. verknüpfung bin ich mir allerdings nicht sicher:
Angenommen $a+b=c$
dann ist $a+c=b$
[mm] $\to [/mm] b=a+(a+c)=(a+a)+c [mm] \to [/mm] a+a=0$
Ist für mich kein Widerspruch.
Allerdings weiß ich nicht, ob das als begründung reicht oder ob ich erst die andere Theorie widerlegen muss.
Mir fehlt aber der Ansatz zum Widerlegen. (außer dass dann c 2 mal in einer Zeile bzw Spalte vorkommen würde)
Daher wär für mich die 2. Verknüpfung:
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a 0 c b
b b c
c c b
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Kann mir niemand weiterhelfen?
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Hallo,
> Ok also bei der 1. Verknüpfung wäre ich dann soweit:
>
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a b c 0
> b b c
> c c 0
>
> Denn wenn ich jetzt hätte:
> [mm]a+b=0[/mm]
> dann muss [mm]a+c=c[/mm] sein.
> Also wäre [mm]a[/mm] ein neutrales Element oder?
> Dann wäre [mm]a+b[/mm] aber [mm]b[/mm]?
Dann wäre vor allem a=0 und die Gruppe hätte nicht die Ordnung 4, insofern brauchst du dir da keine Gedanken drüber zu machen.
Ich glaube, die Begriffe modulo und Restklasse wurden bereits in den Raum geworfen. Stelle dir einfach mal vor, die Elemente wären Restklassen modulo 4, dann kannst du die fehlenden Einträge leicht nachrechnen. Ein Tipp: weiter geht es jetzt bspw. mit b+c=a.
> Bei der 2. verknüpfung bin ich mir allerdings nicht
> sicher:
> Angenommen [mm]a+b=c[/mm]
> dann ist [mm]a+c=b[/mm]
> [mm]\to b=a+(a+c)=(a+a)+c \to a+a=0[/mm]
> Ist für mich kein
> Widerspruch.
Das ist auch alles richtig.
> Allerdings weiß ich nicht, ob das als begründung reicht
> oder ob ich erst die andere Theorie widerlegen muss.
> Mir fehlt aber der Ansatz zum Widerlegen. (außer dass
> dann c 2 mal in einer Zeile bzw Spalte vorkommen würde)
>
> Daher wär für mich die 2. Verknüpfung:
>
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a 0 c b
> b b c
> c c b
Probiere mal, wie es hier für b+b=0 weitergeht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
zur 1. Verknüpfung: wenn b+c=a dann ist b+b=c
a=b+c=(a+a)+c=a+(a+c)=a+0=a
Wie beweise ich jetzt, dass b+b=c ist?
zur 2. Verknüpfung:
wie komme ich dadrauf einfach mit b+b=0 fortzufahren?
Mir erschließt sich das nicht ganz, dass man einfach sagen kann b+b=0 und bei anderen spalten und zeilen muss man gucken, was da als einziges rein kann.
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Hallo,
> zur 1. Verknüpfung: wenn b+c=a dann ist b+b=c
> a=b+c=(a+a)+c=a+(a+c)=a+0=a
> Wie beweise ich jetzt, dass b+b=c ist?
gar nicht, weil es falsch ist: du hast schon a+b=c, dann kann nicht b+b=c ebenfalls gelten.
>
> zur 2. Verknüpfung:
> wie komme ich dadrauf einfach mit b+b=0 fortzufahren?
> Mir erschließt sich das nicht ganz, dass man einfach
> sagen kann b+b=0 und bei anderen spalten und zeilen muss
> man gucken, was da als einziges rein kann.
Na ja, es gibt auch andere Wege als die Verknüpfungstafel, um sich die Strukturen von Gruppen einer vorgegebenen Ordnung klar zu machen. Aber eigentlich ist es egal wie man vorgeht: es ist immer viel Intuition, und auch Try-and-Error dabei, wenn man sich mit algebraischen Strukturen beschäftigt. Manche kennt man dann einfach, wie bspw. hier deine beiden. Deine zweite Verknüpfung ist diejenige der sog. Kleinschen Vierergruppe, die man normalerweise multiplikativ aufschreibt. Von daher möchte ich auch nicht angeben: ich habe sie gekannt und weiß von daher die Verknüpfungstafeln.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
zur 1. Verknüpfung: ich meine Natürlich, wie begründe ich nun, dass b+b= 0 ist? reicht die begründung dass es ncihts anderes freies in der Zeile gibt?
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a b c 0
b b c 0 a
c c 0 a b
So ist die 1. Verknüpfung richtig?
Dann hätte ich also schon einmal die Gruppen:
[mm] $G_1=({0,a,b,c},+)$
[/mm]
[mm] $G_2=({a,b,c,0},+)$
[/mm]
[mm] $G_3=({b,c,0,a},+)$
[/mm]
[mm] $G_4=({c,0,a,b},+)$
[/mm]
Oder wie gebe ich das dann genau an?
zur 2. Verknüpfungstabelle:
+ 0 a b c
0 0 a b c
a a 0 c b
b b c 0 a
c c b a 0
Die Gruppen sind dann:
[mm] $G_5=({0,a,b,c},+)$
[/mm]
[mm] $G_6=({a,0,c,b},+)$
[/mm]
[mm] $G_7=({b,c,0,a},+)$
[/mm]
[mm] $G_8=({c,b,a,0},+)$
[/mm]
[mm] $G_5$ [/mm] und [mm] $G_1$ [/mm] sind ja völlig identisch also könnte ich [mm] $G_5$ [/mm] weglassen oder?
Genauso bei [mm] $G_3$ [/mm] und [mm] $G_7$?
[/mm]
PS: Ich habe das nicht verstanden mit den Restklassen modulo 4. Wieso ausgerechnet 4? Immer die Anzahl an Elementen in einer Gruppe? Und wie rechne ich das dann genau nach? Über ein Beispiel würde ich mich sehr freuen.
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Hallo Duckx,
> zur 1. Verknüpfung: ich meine Natürlich, wie begründe
> ich nun, dass b+b= 0 ist? reicht die begründung dass es
> ncihts anderes freies in der Zeile gibt?
>
>
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a b c 0
> b b c 0 a
> c c 0 a b
>
> So ist die 1. Verknüpfung richtig?
> Dann hätte ich also schon einmal die Gruppen:
> [mm]G_1=({0,a,b,c},+)[/mm]
> [mm]G_2=({a,b,c,0},+)[/mm]
> [mm]G_3=({b,c,0,a},+)[/mm]
> [mm]G_4=({c,0,a,b},+)[/mm]
Wenn ich das hier lese, kann ich dir nur einen gut gemeinten Ratschlag geben: nimm deine UNterlagen zur Hand und mache dir noch einmal eingehend klar, was eine Gruppe ist. Es gibt hier keine 4 Gruppen, sondern obige Tafel beschreibt eione von zwei möglichen Gruppen der Ordnung 4.
> Oder wie gebe ich das dann genau an?
>
> zur 2. Verknüpfungstabelle:
>
> + 0 a b c
> 0 0 a b c
> a a 0 c b
> b b c 0 a
> c c b a 0
>
> Die Gruppen sind dann:
> [mm]G_5=({0,a,b,c},+)[/mm]
> [mm]G_6=({a,0,c,b},+)[/mm]
> [mm]G_7=({b,c,0,a},+)[/mm]
> [mm]G_8=({c,b,a,0},+)[/mm]
>
> [mm]G_5[/mm] und [mm]G_1[/mm] sind ja völlig identisch also könnte ich [mm]G_5[/mm]
> weglassen oder?
> Genauso bei [mm]G_3[/mm] und [mm]G_7[/mm]?
Siehe oben. Das hier ist die zweite mögliche Gruppe, die ![[]](/images/popup.gif) Kleinsche Vierergruppe.
Andere Gruppen mit vier Elemeneten gibt es - bis auf Isomorphie - nicht.
> PS: Ich habe das nicht verstanden mit den Restklassen
> modulo 4. Wieso ausgerechnet 4? Immer die Anzahl an
> Elementen in einer Gruppe? Und wie rechne ich das dann
> genau nach? Über ein Beispiel würde ich mich sehr freuen.
Das mit den Restklassen kann man machen, um die Verknüpfungstafel einer sog. zyklischen Gruppe nachzurechnen, weil die Restklassen modulo n zusammen mit der Restklassenaddition eben genau eine zyklische Gruppe darstellen.
Seien 0, 1, 2 und 3 die Rstklassen modulo 4. Dann ergeben sich sofort
1+1=2
1+2=3
1+3=2+2=0
2+3=1
Was dann so aussieht:
+|0 1 2 3
---------
0|0 1 2 3
1|1 2 3 0
2|2 3 0 1
3|3 0 1 2
Vergleiche das mal mit deiner ersten Gruppe!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ok dankeschön :)
Jetzt muss ich prüfen welche der beiden Gruppen sich zu einem körper mit 4 elementen machen lassen durch angabe einer 2. verknüpfung.
Wie gehe ich dort vor?
Tut mir leid aber ich weiß wirklich nicht viel darüber. Auch die Skripte können mir nicht wirklich helfen, da vieles einfach zu theoretisch ist.
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Hallo,
> ok dankeschön :)
>
> Jetzt muss ich prüfen welche der beiden Gruppen sich zu
> einem körper mit 4 elementen machen lassen durch angabe
> einer 2. verknüpfung.
>
> Wie gehe ich dort vor?
> Tut mir leid aber ich weiß wirklich nicht viel darüber.
> Auch die Skripte können mir nicht wirklich helfen, da
> vieles einfach zu theoretisch ist.
versuche es selbst. Als Tipp möchte ich dir mitgeben, dass es bei der ersten Gruppe klappt, bei der zeiten jedoch nicht. Versuche aber selbst herauszufinden, weshalb das so ist!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke für deine Geduld und Hilfe :)
Aber ich möchte nochmal eine Zusammenfassung um die Begriffe Gruppe und Körper fassen zu können.
Eine Gruppe ist eine Verknüpfung von 1 Menge ?
Und ein Körper? Ich weiß nicht einmal wie ich jetzt diese Verknüpfungstabelle eines Körpers aufschreibe.
Wir hatten keine Beispiele in unserer Vorlesung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum liest du nicht einfach mal die Def. von a) Gruppe, b) Körper nach, schreibst sie hier auf, und sagst was dir daran unklar ist.
Das wesentliche an solchen Aufgaben ist zu lernen mit den Def. umzugehen, das ist wirklich anfangs schwer, aber du musst dich da durchbeißen:
Def lesen, was versteh ich nicht, kann ich es an Hand eine Bsp verstehen . gibt es im Buch oder skript ein Bsp. Dann erst mit Kollegen oder uns darüber reden -das darüber reden ist einer der wichtigsten Schritte.
wenigstens ein Hinweis: zu einer Gruppe gehört eine Verknüpfung, zu einem Kötper 2
die ganzen Zahlen bilden eine Gruppe mit der Verknüpfung Addition, die rationalen Zahlen einen Körper mit den Verknüpfungen Addition und Multiplikation dabei müsen noch verschiedene "Regeln" bzw. Gesetze gelten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich weiß, dass eine Gruppe eine nichtleere Menge mit der Verknüpfung [mm] $\circ: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ ist.
und ein Körper eine nichtleere Menge mit den Verknüpfungen [mm] $\circ$ [/mm] und [mm] $\cdot{}$ [/mm] ist.
Allerdings ist das für mich wie schon erwähnt zu theoretisch. Ich habe jetzt 2 Gruppen herausgefunden weiter oben. Aber diese Gruppen sagen mir nichts. Ich weiß nicht, was man damit machen kann. Ein Körper aus 4 Elementen ist ein Raum oder wie soll ich mir soetwas vorstellen?
Ich brauche etwas greifbares um das zu verstehen. mir fehlt einfach die Vrostellungskraft für solche dinge.
Daher kann ich jetzt auch nicht aus 1 Gruppe einen Körper machen. Allein dadurch, dass ich nciht weiß, wie eine Multiplikationstabelle aussieht.
Ich habe zum beispiel die Verknüpfungstabellen von [mm] $F_2$
[/mm]
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Das ist aber noch lange ein Körper oder?
Wie mache ich daraus nun einen Körper und was nützt es mir aus der Menge [mm] $F_2$ [/mm] einen Körper zu machen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Also ich habe jetzt versucht für die oben benutzte Menge eine Multiplikationstafel zu machen.
* 0 a b c
0 0 0 0 0
a 0 a b c
b 0 b 0 b
c 0 c b a
Ist das so richtig oder liege ich vollkommen daneben?
Ich habe jetzt die Regeln für einen Körper vor mir liegen aber ich kann daraus nicht ableiten, welche Gruppe ich zu einem Körper machen kann.
$(G,+)§ muss abelsch sein (ist richtig)
$(G,*)§ muss assoziativ sein (ist korrekt)
in $(G,+,*)$ gelten die Distributivgesetze
Da weiß ich zum Beispiel nicht, welches a mit welchem b ich nehmen muss usw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Bei der 1. Verknüpfung habe ich die Gesetze für den Ring geprüft. Das ist alles richtig. Aber ich verstehe die Definition von dem Körper nicht.
Wenn $(G,+,*)$ ein Ring ist, so dass $(G [mm] \backslash \{0\},*)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist dann ist $(G,+,*)$ ein Körper.
Was bedeutet das? K ist nur die Menge {0}? und die Multiplikationstabelle dieser Menge ist abelsch?
* 0
0 0
Was wäre daran denn abelsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deiner Tabelle
* 0 a b c
0 0 0 0 0
a 0 a b c
b 0 b 0 b
c 0 c b a
da sollte die 0 wegbleiben, denn sie hat ja kein inverses.
2. dein a ist das neutrale Element der Multiplokation
denn jade Zahl mal a ergibt die Zahl, deshalb bezeichnet man sie gern als die 1,
du hast aber unterhalb der b kein a=1 stehen, d,h, mit deiner Tabelle gibt es kein Inverses zu b, auch nicht zu c nur a hat sich selbst als Inverses,
jetz hast du ein Inverses zu b und zu c zu finden.
d.h. b*?=a was ist da möglich?
wenn du das hast musst du die anderen Gesetze mit deinen 2 Additionstafeln überprüfen
dann hast du einen Körper.
zu deiner Frage genau [mm] G\{0} [/mm] ist G ohne das neutrale elemenz der + Verknüpfung. wenn also G={0,a,b,c} mit+ abelsch und G={a,b,c} mit mal abelsch dann ist g mit plus und mal ein Körper.
bei einem Element von einem Kürper zu sprechen ist schon schwer!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
also die Multiplikationstabelle von [mm] $G=\{a,b,c\}$ [/mm] ist:
* 1 b c
1 1 b c
b b
c c
b*?= a da würde ja nur c oder b in frage kommen oder? Woher weiß ich, was da richtig ist? Oder gibt es etwa wieder 2 Möglichkeiten für die Multiplikationstabelle?
Edit: achso nein wenn b*b=b wäre wär b ja ein neutrales Element richtig? Also ist b*b=c?
* 1 b c
1 1 b c
b b c 1
c c 1 b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
Jetzt richtig
überprüfe nun an hand deiner 2 tabellen alle körperaxiome bzw Gesetze !
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Danke,
also beide + Verknüpfungen sind schon einmal abelsch.
Und die Multiplikationsverknüpfung ist kommutativ.
Das Distributivgesetz soll gelten:
zur 1. +Verknüpfung:
(a+b)*c=a*c+b*c
c*c=c+a
b=0
Das haut ja meiner Meinung nach garnicht hin? Dann wär also die 1. +Verknüpfung mit der *Verknüpfung kein Körper?
bei der 2. +Verknüpfung:
(a+b)*c=a*c+b*c
c*c=c+a
b=b
Also bildet die 2.+verknüpfung mit der *Verknüpfung einen Körper richtig?
Wie schreibe ich dann den Körper richtig auf?
einfach nebeneinander?
+ 0 a b c * 0 a b c
0 0 a b c 0 0 0 0 0
a a 0 c b a 0 a b c
b b c 0 a b 0 b c a
c c b a 0 c 0 c a b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die 2 Tabellen trennst dann ist das richtig. zu einem K gehören immer 2 tabellen, und dann muss man sehen ob Gesetze wie a*(b+c)=.... usw gilt, es sei denn man hat allgemein bewiesen dass die "beiden" Gruppen abelsch sind und es dann ein K. ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Vielen Dank für die Hilfe :)
Damit bilden also die 2. Additionstafel und die Multiplikationstafel einen Körper und die 1. Additionstafel und die Multiplikationstafel bilden keinen Körper ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sollst du selbst beurteilen, am besten indem du den Grund angibst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Die beiden Additionsverknüpfungen sind abelsch, da a+b=b+a usw.
Die Multiplikation ist außerdem assoziativ a*(b*c)=(a*b)*c usw.
Es gibt ein Einselement (a)
zum Distributivgesetz:
zur 1. +Verknüpfung:
(a+b)*c=a*c+b*c
c*c=c+a
b=0
Das haut ja meiner Meinung nach garnicht hin? Dann wär also die 1. +Verknüpfung mit der *Verknüpfung kein Körper?
bei der 2. +Verknüpfung:
(a+b)*c=a*c+b*c
c*c=c+a
b=b
a*(b+c)=a*b+a*c
a*a=b+c
a=a
Auch die Multiplikationsgruppe ist abelsch: a*b=b*a usw.
Also bildet die 2.+verknüpfung mit der *Verknüpfung einen Körper richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig.
nur sollte man statt“Das haut ja meiner Meinung nach garnicht hin?" schreiben: Distribuzivgesetz nicht erfüllt also kein Körper!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 11.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ja ist vielleicht besser so :)
Vielen Dank nochmal.
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> Ich weiß, dass eine Gruppe eine nichtleere Menge mit der
> Verknüpfung [mm]\circ: G \times G \to G[/mm] ist.
> und ein Körper eine nichtleere Menge mit den
> Verknüpfungen [mm]\circ[/mm] und [mm]\cdot{}[/mm] ist.
>
> Allerdings ist das für mich wie schon erwähnt zu
> theoretisch.
> Ich habe jetzt 2 Gruppen herausgefunden weiter
> oben. Aber diese Gruppen sagen mir nichts.
Du kannst dir beliebig Elemente aus der Gruppe nehmen und damit rechnen. Und du weißt sogar wie man damit rechnen kann.
> Ich weiß nicht,
> was man damit machen kann.
Rechnen.
> Ein Körper aus 4 Elementen ist
> ein Raum oder wie soll ich mir soetwas vorstellen?
> Ich brauche etwas greifbares um das zu verstehen. mir
> fehlt einfach die Vrostellungskraft für solche dinge.
> Daher kann ich jetzt auch nicht aus 1 Gruppe einen Körper
> machen. Allein dadurch, dass ich nciht weiß, wie eine
> Multiplikationstabelle aussieht.
>
> Ich habe zum beispiel die Verknüpfungstabellen von [mm]F_2[/mm]
>
> + 0 1 * 0 1
> 0 0 1 0 0 0
> 1 1 0 1 0 1
>
> Das ist aber noch lange ein Körper oder?
> Wie mache ich daraus nun einen Körper und was nützt es
> mir aus der Menge [mm]F_2[/mm] einen Körper zu machen?
Vielleicht so (ganz salopp):
Wenn man eine Gruppe oder sogar einen Körper hat, so kennt man Strukturen und weiß, wie man damit umgehen kann.
Gruppen
Betrachte die ganzen Zahlen und die übliche Addition und Multiplikation. Die ganzen Zahlen sind toll und man weiß, wie man mit ihnen Rechnen kann.
-40 + 87 = 47 , ...
Wegen n+0=0 und n-n=0 für [mm] $n\in \IZ$ [/mm] hast du eine Gruppe bzgl der Addition.
Jetzt hat man ein Problem bei Multiplikation. Der Ausdruck
12*13 = 156
liegt auch wieder in [mm] $\IZ$.
[/mm]
Bei der Suche nach inversen Elementen bzgl. der Multiplikation tritt jedoch ein Problem auf.
12*?=1
lässt sich nicht in [mm] $\IZ$ [/mm] lösen.
Körper
Die Körper sind mindestens so toll, wie Gruppen. Man kann mit ihnen wesentlich mehr anstellen, denn sie verhalten sich bzgl. der Multiplikation, wie man es vermutet. Ein Körper ist z.B. [mm] $\IQ$. [/mm] Während sich 12*?=1 in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht lösen lässt, funktioniert das ganze aber in einem Körper. 12*?=1 besitzt in [mm] $\IQ$ [/mm] eine Lösung.
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> Ich habe zum beispiel die Verknüpfungstabellen von [mm] $\IF_2$ [/mm]
>
> + 0 1 * 0 1
> 0 0 1 0 0 0
> 1 1 0 1 0 1
Hier hast du einen Körper, indem du rechnen kannst, wie du es gewohnt bist. Der ist zwar etwas klein und hat nur zwei Elemente, aber das problem, wie bei [mm] $\IZ$ [/mm] und 12*?=1 tritt hier nicht auf.
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