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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 Sa 28.10.2006 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | Finden Sie bis auf Isomophie alle Gruppen
(1) der Ordnung 8
(2) der Ordnung 10 |
Ich wollte mal fragen, ob es für Fragestellungen der Form "finde alle Gruppen der Ordnung n" einen halbwegs einfachen Lösungsweg gibt.
Meine Ansätze sehen immer ziemlich gleich aus, hier mal der Fall n=10:
Sei G Gruppe der Odnung 10. Wähle [mm] g_1\in [/mm] G, [mm] g\not= [/mm] e
Fallunterscheidung:
I. ord [mm] g_1 [/mm] = 10 => [mm] G\cong \IZ/10\IZ
[/mm]
II. ord [mm] g_1 [/mm] = 5. Wähle [mm] g_2\in G\backslash .
[/mm]
II.1 ord [mm] g_2 [/mm] = 5 => [mm] \exists g_3\in [/mm] G [mm] \backslash (\cup ) [/mm] mit ord [mm] g_3 [/mm] = 2
Und an dieser Stelle weiß ich jetzt nicht, wie ich nun beweisen kann, dass dies eine Gruppe ist oder eben nicht ist.
II.2 ord [mm] g_2 [/mm] = 2. OBdA ord g =2 [mm] \forall g\in G\backslash
[/mm]
Auch hier das selbe Problem wie oben.
III. ord g =2 [mm] \forall g\in [/mm] G
Das selbe gleich noch einmal.
Das Problem liegt also darin, dass ich nicht weiß, wie ich für die "Kandidaten" die ich mir konstruiert habe, der endgültige Nachweis der Gruppeneigenschaften ablaufen soll.
Gibt es dabei vielleicht einen (möglichst leichten) Weg an die Verknüpfungstafel/-Tabelle der Gruppe zu kommen?
Danke schonmal jetzt.
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Hallo,
es ist ja 10=2*5 und [mm] 8=2^3.
[/mm]
Ich würde die Frage angehen mit Werkzeugen aus dem Dunstkreis der Sylowschen Sätze.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> es ist ja 10=2*5 und [mm]8=2^3.[/mm]
>
> Ich würde die Frage angehen mit Werkzeugen aus dem
> Dunstkreis der Sylowschen Sätze.
Bei 10 ist das sicher hilfreich. Bei 8 bringt das aber nix, da die nur sagen, dass es genau eine 2-Sylow-Untergruppe mit 8 Elementen gibt. Man bekommt allerdings mit Hilfe der Bahnengleichung, dass das Zentrum mindestens 2 Elemente umfassen muss.
Zur urspruenglichen Frage:
Wenn die Gruppen jeweils kommutativ ist, bekommt man mit dem Hauptsatz ueber endliche abelsche Gruppen gleich alle. Fuer nicht-abelsche Gruppen muss man sich ein wenig anstrengen.
Mal als Tipp: Es gibt zwei nicht-kommutative Gruppen mit 8 Elementen und eine nicht-kommutative Gruppe mit 10 Elementen. Wenn du genaueres wissen willst, guckst du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 So 29.10.2006 | | Autor: | g_hub |
was ich mir inzwischen überlegt habe:
Fall II.1 existiert nicht (bilde [mm] g_1g_2 [/mm] und [mm] g_1^2g_2)
[/mm]
Fall II.2 Diedergruppe [mm] D_5
[/mm]
Bleibt noch zu zeigen, dass die Gruppe für den Fall III existiert/nicht existiert
(mittlerweile weiß ich aus wikipedia, dass es sie nicht gibt. aber warum?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 30.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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