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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Julia_20 |
Hallo ihr Lieben,
Hab mich gerade eben hier angemeldet, weil ich an zwei Aufgaben gerade so verzweifele. ... Könntet ihr mir vielleicht erklären was ich hier tun muss, also vllt. ein paar Ansätze, das wäre echt super.
Aufgabe 1
seien [mm] (G_{1},\*_{1}), (G_{2},\*_{2}) [/mm] Gruppen und sei G:= [mm] G_{1} \times G_{2} [/mm] das direkte Produkt der Mengen [mm] G_{1}, G_{2}. [/mm] Definieren Sie für [mm] g=(g_{1}, g_{2}) [/mm] und [mm] h=((h_{1},h_{2}) [/mm] aus
[mm] G_{1} \times G_{2} [/mm] : g [mm] \* [/mm] h := [mm] (g_{1}, g_{2}) \*(h_{1},h_{2}):= (g_{1}\*_{1} h_{1}, g_{2}\*_{2} h_{2}).
[/mm]
Zeigen sie dass [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe ist .
Aufgabe 2
Berechnen Sie die Signatur aller Elemente der symmetrischen Gruppe [mm] S_{4} [/mm] . Sei jetzt
n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 beliebig. Definieren Sie die Menge der geraden und ungeraden
Permutationen als:
[mm] S_n^+:= {\sigma \in S_{n}| sign (\sigma) =1}, S_n^- [/mm] := [mm] {\sigma \in | sign(\sigma) =-1}
[/mm]
Zeigen Sie die Gleichheit [mm] |S_n^+| [/mm] = [mm] |S_n^-| [/mm] für beliebiges [mm] n\in \IN
[/mm]
Schöne Grüße
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Kann dir leider nur zu 1. helfen, aber irgendwer kriegt sicher auch die 2. hin.
1.)
Du musst prüfen, ob auch bei [mm] (G,\*) [/mm] alle Gruppeneigenschaften zutreffen.
Also: Assoziativität, Existenz des Neutralen Elements, Existenz des Inversen.
Das Neutrale und Inverse kannst du bestimmt auch schon spontan angeben, du musst dann nur noch zeigen, dass es wirklich das Neutrale/Inverse ist, also schauen, ob $e [mm] \* [/mm] a=a$ und $e [mm] \* a^{-1}=e$ [/mm] ist.
Assoziativität: [mm] (g_1, h_1) \* ((g_2, h_2) \* (g_3, h_3))=...=((g_1, h_1) \* (g_2, h_2)) \* (g_3, h_3)
[/mm]
Und dabei kannst du ausnutzen, dass [mm] g_1 \* (g_2 \* g_3)=(g_1 \* g_2) \* g_3 [/mm] ist (für h das selbe, da [mm] g_j [/mm] und [mm] h_j [/mm] schon aus Gruppen stammen).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Julia_20 |
Hi nochmals, also wäre das der Beweis für das neutrale Element?
[mm] (g_{1},g_{2}) \* (e_{1},e_{2}) [/mm] = [mm] (g_{1} \* e_{1}, g_{2} \* e_{2}) [/mm] = [mm] (g_{1} \* (g_{1} (g_1^-1)), g_{2} \* (g_{2} (g_2^-1))) [/mm] = [mm] (g_1,g_2)= ((g_1(g_1^-1)) \* g_1, (g_2(g_2^-1)) \* g_2) [/mm] = [mm] (e_1\* g_1, e_2 \* g_2) [/mm] = [mm] (e_1, e_2) \* (g_1,g_2)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hm ne.
Also das neutrale Element stimmt, aber der Nachweis sollte ca. so aussehen:
[mm] (g_1, g_2) \* (e_1, e_2)=(g_1 \* e_1, g_2 \* e_2)=(g_1,g_2), [/mm] da ja [mm] g_1 \* e_1=g_1 [/mm] und [mm] g_2 \* e_2=g_2, [/mm] wegen den Gruppen [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2.
[/mm]
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:49 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hab mich gerade eben hier angemeldet, weil ich an zwei
> Aufgaben gerade so verzweifele. ... Könntet ihr mir
> vielleicht erklären was ich hier tun muss, also vllt. ein
> paar Ansätze, das wäre echt super.
Eigentlich solltest du selber ein paar Ansaetze mitliefern, oder zumindest zeigen dass du dich mit der Aufgabe beschaeftigt hast.
> Aufgabe 2
>
> Berechnen Sie die Signatur aller Elemente der symmetrischen
Signatur ist aber ein interessanter Name dafuer. Bisher war es mir unter dem Namen signum (oder sign fuer's englische "Vorzeichen") gelaeufig.
> Gruppe [mm]S_{4}[/mm] .
Nun, hier musst du alle Elemente von [mm] $S_4$ [/mm] aufschreiben und jeweils die Signatur berechnen.
> Sei jetzt
> n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 beliebig. Definieren Sie die Menge
> der geraden und ungeraden
> Permutationen als:
> [mm]S_n^+:= \{\sigma \in S_{n}| sign (\sigma) =1\}, S_n^-[/mm] :=
> [mm]\{\sigma \in | sign(\sigma) =-1\}[/mm]
> Zeigen Sie die Gleichheit
> [mm]|S_n^+|[/mm] = [mm]|S_n^-|[/mm] für beliebiges [mm]n\in \IN[/mm]
Wisst ihr schon, dass $sign : [mm] S_n \to \{ -1, 1 \}$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist? Was ist der Kern? Wieviele Nebenklassen hat der Kern? Was sagt dir das ueber [mm] $S_n^+$ [/mm] und [mm] $S_n^-$ [/mm] aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Julia_20 |
Hi,
Also ich muss die 24 Elemente von S4 aufschreiben und dann das signum davon berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:45 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also ich muss die 24 Elemente von S4 aufschreiben und dann
> das signum davon berechnen?
Das ist eine Moeglichkeit. Aufschreiben musst du sie auf jeden Fall, ebenso das Signum dazuschreiben.
LG Felix
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