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| Aufgabe | | zeige, dass (R+, *) eine gruppe bildet wobei '*' die normale Multiplikation sei und R+ die megen der positiven reellen zahlen |
so hier soll man wohl die gruppeneigenschaften beweisen oder?
habe jetzt so angefangen: sei G aus R+
1 neutrales Element: Sei g Element G dann gibt es eine Zahl 1 aus G für die gilt g*1 = 1*g = g
2 neutrales Element analog nur mit g(hoch minus 1) als inverses
3. Assoziativität....gilt für die multiplikation
hm irgendwie scheint mir das noch nicht ganz richtig, kann mir jemand auf die sprünge helfen? danke, richard
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Hallo Richard,
> zeige, dass (R+, *) eine gruppe bildet wobei '*' die
> normale Multiplikation sei und R+ die megen der positiven
> reellen zahlen
> so hier soll man wohl die gruppeneigenschaften beweisen
> oder?
Ja, wenn das die Aufgabenstellung ist.
Zu Beginn zeigt man auch, dass die Gruppe abgeschlossen ist, d.h. wenn du zwei Gruppenelemente nimmst und diese miteinander multiplizierst, dann muss das Produkt wieder in der gleichen Gruppe sein.
Hier ist das der Fall, da eine reell positive Zahl mal eine reell positv Zahl wiederum positiv und reell ist
> habe jetzt so angefangen: sei G aus R+
> 1 neutrales Element: Sei g Element G dann gibt es eine
> Zahl 1 aus G für die gilt g*1 = 1*g = g
Also ist die 1 das neutrale Element. Gut.
> 2 neutrales Element analog nur mit g(hoch minus 1) als
> inverses
Das musst du genauer zeigen. [mm] g^{-1} [/mm] ist eine allgemeine abstrakte SChreibweise. Aber wie sieht das konkret für diese Menge mit dieser Multiplikation ist.
Bsp: g=2. [mm] \bruch{1}{2}*2=1
[/mm]
[mm] g^{-1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
> 3. Assoziativität....gilt für die multiplikation
Klar.
> hm irgendwie scheint mir das noch nicht ganz richtig, kann
> mir jemand auf die sprünge helfen? danke, richard
Das stimmt schon alles. Aber du musst die Idee einer Gruppe verstanden haben. Hier ist es sehr konkret, aber später ist das eine ganz abstakte Struktur.
MfG
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vielen dank erst einmal für die rasche antwort.
Ich bin mir einfach nicht sicher ob ich schreiben kann ja die eins ist neutrales element und 1 ist ein element der positiven reelen zahlen. fertig...das kann doch nicht reichen das in zahlen hinzuschreiben
das mit dem inversen element kann ich doch auch nur so schreiben g hoch minus 1 oder 1/g ich darf ja keine beispiele im beweis anführen
ist das denn ein beweis???
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> vielen dank erst einmal für die rasche antwort.
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> Ich bin mir einfach nicht sicher ob ich schreiben kann ja
> die eins ist neutrales element und 1 ist ein element der
> positiven reelen zahlen. fertig...das kann doch nicht
> reichen das in zahlen hinzuschreiben
Natürlich reicht das. Wir arbeiten hier mit einer Gruppe, die wir sehr gut kennen. Es gibt einfach kein anderes neutrales Element als die "1". Eine reelle Zahl mit 1 multipliziert ergibt immer wieder dieselbe Zahl (für die 0 gilt eine spezielle Regel, da die kein Inverses hat, aber die ist ja auch nicht in unserer Menge)
Dieses Beispiel ist uns sehr vertraut. Aber wenn wir ganz und gar schwierige Mengen mit komischen Operationen anschauen, dann müssen wir im schlimmsten Fall, alle Elemente einzeln auf ihre Invertierbarkeit prüfen. Das ist dann eine grosse Mühe.
>
> das mit dem inversen element kann ich doch auch nur so
> schreiben g hoch minus 1 oder 1/g ich darf ja keine
> beispiele im beweis anführen
Du musst zeigen, dass in dieser Aufgabe das Inverse: [mm] g^{-1} [/mm] entspricht 1/g, denn:
g* 1/g =1. So einfach.
> ist das denn ein beweis???
Ja. Man will dich nur mit den Gruppenaxiomem vertraut machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 26.10.2007 | | Autor: | GorkyPark |
Hier eine kleine Übungsaufgabe:
Wir nehmen die gleiche Operation (die gewöhnliche Multiplikation), aber die Menge [mm] \IR_{\ge0}.
[/mm]
Das ist die gleiche Menge wie vorher nur mit der 0 dazu. Bildet das eine Gruppe?
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