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| Aufgabe | Angenommen es gibt z.B die Gruppe $G = [mm] (\mathbb{Z}_{21}^{*}, \odot)$ [/mm] und weiter $U = {1, 8, 13, 20}. Ich soll:
(a) die Elemente von $G$ bestimmen.
(b) zeigen, dass $U [mm] \leq [/mm] G$ gilt.
(c) die Rechtsnebenklasse von $U$ in $G$, in welcher das Element [mm] $2\inG$ [/mm] liegt, bestimmen und alle Elemente der Rechtsnebenklasse angeben.
(d) weitere Rechtsnebenklassen von $U$ bestimmen, falls diese vorhanden. |
Hallo liebes Matheforum,
ich würde mich über Hilfe/Korrektur und auch über eine Anleitung bezüglich der vier Aufgabenteile sehr freuen. Folgende Überlegungen habe ich aktuell:
zu (a): Um die Elemente in $G$ zu bestimmen prüfe ich jedes der 21 Elemente bezüglich der nötigen Gruppeneigenschaften (Assoziativität, inverses Element und neutrales Element)
-> Frage: gibt es da einen Trick um dasschneller prüfen?
zu (b): Ich prüfe ob alle Elemente in $U$ auch in $G$ vorkommen, danach prüfe ich ob $U$ auch die Kriterien einer Gruppe erfüllt.
-> Frage: Sehe ich das nicht schon direkt wenn ich Aufgabenteil (a) richtig gemacht habe? Oder gibt es da noch eine Stolperfalle?
zu (c): Ich erinner mich daran, dass eine Rechtsnebenklasse etwas mit einer Äquivalenzrelation zu tun hat. Also $x,y [mm] \in [/mm] G: x [mm] \sim_u [/mm] y : [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] u [mm] \in [/mm] U : u [mm] \cdot [/mm] x = y$.
-> Frage: Wie kann ich das hier Anwednen, muss ich alle $x, y [mm] \in [/mm] G$ mit $u [mm] \cdot [/mm] x = y$ prüfen?
zu(d) Rechtsnebenklassen sind glaube ich disjunkte Zerlegungen von G, wenn also noch ein [mm] $x\inG$ [/mm] kein Element einer Rechtsnebenklasse ist, muss es noch eine geben.
-> Frage: Gibt es da ein zuverlässiges Verfahren?
Wie immer danke ich euch für die Hilfe!
Liebe Grüße,
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 28.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen 21=7*3 hat 7 und 3 kein inverses Element! Wenn da wirklich [mm] \odot [/mm] steht und nicht [mm] \oplus [/mm] dann brauchst du nicht weiter prüfen . dagegen stellst du in U direkt fest dass jedes Element zu sich selbst invers ist.bei U musst du überprüfen ob a*b in U liegt wenn du 20=-1 nimmst geht das schneller.
Ass. ist wegen der Ass der natürlichen Zahlen unnötig zu überprüfen.
Gruß ledum
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Hallo Leduart,
ich weiß nicht ob ich dich richtig verstehe. Für Aufgabe (a) bin ich jetzt wie folgt vorgegangen:
Alle Zahlen von 1 bis 20 habe ich mit dem Kriterium [mm] $\ggt(z,21) [/mm] = 1$ geprüft, traf dies für $z$ zu, so ist $z [mm] \in [/mm] G$:
$G = [mm] \{ 1,2,4,5, 8, 10, 11 13, 16, 17, 19, 20 \}$
[/mm]
Müsste doch passen, oder?
Bei Aufgabenteil (b) geb ich dir recht. Assoziativität über [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] brauch ich nicht mehr zeigen, da reicht der Hinweis. Bleibt noch:
Neutrales Element $= 1$
Inverse Elemente:
$8 [mm] \cdot [/mm] 13 [mm] \mod [/mm] 21 = 20$
$8 [mm] \cdot [/mm] 20 [mm] \mod [/mm] 21 = 13$
$8 [mm] \cdot [/mm] 8 [mm] \mod [/mm] 21 = 1$
$13 [mm] \cdot [/mm] 20 [mm] \mod [/mm] 21 = 13$
$13 [mm] \cdot [/mm] 13 [mm] \mod [/mm] 21 = 1$
$20 [mm] \cdot [/mm] 20 [mm] \mod [/mm] 21 = 1$
Müsste doch auch passen, oder?
Bei Teil (c) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, da wäre ein Tipp noch sehr schön!
Aktuell bin ich so vorgegangen:
$u [mm] \cdot [/mm] x = y$
1: $2 = x [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $u\in [/mm] U$:
$1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 21 = 2$
$8 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 21 = 16$
$13 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 21 = 5$
$20 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 21 = 19$
Ux = [mm] \{2,16,5, 19 \} [/mm] ist die Rechtsnebenklasse mit Element 2.
Zu (d): Betrachten wir $U$ und $Ux$ mit der Tatsache, dass Rechtsnebenklassen disjunkte Teilmengen der Gruppe $G$ sind, so muss noch eine fehlen. In diesem Fall wähle ich $y = 10$ und wiederhole den Ablauf wie in (c).
$1 [mm] \cdot [/mm] 10 [mm] \mod [/mm] 21 = 10$
$8 [mm] \cdot [/mm] 10 [mm] \mod [/mm] 21 = 17$
$13 [mm] \cdot [/mm] 10 [mm] \mod [/mm] 21 = 4$
$20 [mm] \cdot [/mm] 10 [mm] \mod [/mm] 21 = 11$
$G = Ux [mm] \cup [/mm] Uy [mm] \cup [/mm] U$ es fehlen also keine weiteren Rechtsnebenklassen.
Liebe Grüße,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 28.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn mit der Formulierung die prime Restklasse von [mm] \IZ_21 [/mm] gemeint ist hast du recht und die Aufgabe in allen Teilen richtig gelöst
ich sehe nichts, was noch fehlt.
(Meine Bemerkung im vorigen Post, bezog sich darauf , dass [mm] \IZ_21 [/mm] selbst keine multiplakative Gruppe ist)
Gruß leduart
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