Gruppenhomomorphismen 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Di 09.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | | Es seien [mm] $\varphi\colon G\longrightarrow [/mm] G'$ ein Homomorphismus und $N'$ eine normale Untergruppe von $G'$. Dann ist [mm] $N:=\varphi^{-1}(N')$ [/mm] eine normale Untergruppe von $G$. |
Guten Tag!
Ich habe so gut wie keine Hilfsmittel. Dass $N$ eine Untergruppe ist, habe ich bereits bewiesen. Nach meiner Definition ist $N$ normal, falls für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt, dass $gN=Ng$. Ist meine Lösung richtig:
Sei [mm] $gn\in [/mm] gN$, dann ist [mm] $\varphi(gn)=\varphi(g)\varphi(n)\in\varphi(g)N'=N'\varphi(g)$. [/mm] Dann gibt es [mm] $n'\in [/mm] N'$ mit [mm] $\varphi(gn)=n'\varphi(g)$ [/mm] und es ist [mm] $gn\in\varphi^{-1}(\varphi(gn))=\varphi^{-1}(n'\varphi(g))\subset\varphi^{-1}(N'\varphi(g))=\varphi^{-1}(\varphi(N)\varphi(g))=\varphi^{-1}(\varphi(Ng))=Ng$.
[/mm]
Dann habe ich [mm] $gN\subset [/mm] Ng$, umgekehrt müsste es ja genau so gehen.
Ist das richtig? Geht es kürzer? Danke schonmal.
Beste Grüße,
Labrinth
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Labrinth,
> Ich habe so gut wie keine Hilfsmittel. Dass [mm]N[/mm] eine
> Untergruppe ist, habe ich bereits bewiesen. Nach meiner
> Definition ist [mm]N[/mm] normal, falls für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, dass
> [mm]gN=Ng[/mm].
Weißt du schon, dass eine Untergruppe [mm] $N\subseteq [/mm] G$ genau dann ein Normalteiler von $G$ ist, wenn [mm] $gNg^{-1}\subseteq [/mm] N$ für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt? Damit ginge es schneller...
> Ist meine Lösung richtig:
>
> Sei [mm]gn\in gN[/mm], dann ist
> [mm]\varphi(gn)=\varphi(g)\varphi(n)\in\varphi(g)N'=N'\varphi(g)[/mm].
> Dann gibt es [mm]n'\in N'[/mm] mit [mm]\varphi(gn)=n'\varphi(g)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und es ist
> [mm]gn\in\varphi^{-1}(\varphi(gn))[/mm]
[mm] $\varphi^{-1}(\{\varphi(gn)\})$ [/mm] meinst du.
> [mm]=\varphi^{-1}(n'\varphi(g))[/mm]
[mm] $\varphi^{-1}(\{n'\varphi(g)\})$
[/mm]
> [mm]\subset\varphi^{-1}(N'\varphi(g))[/mm]
Ja.
> [mm] $=\varphi^{-1}(\varphi(N)\varphi(g))$
[/mm]
Warum sollte das gelten?
> [mm] $=\varphi^{-1}(\varphi(Ng))$
[/mm]
Ja.
> [mm]=Ng[/mm].
Warum sollte das gelten?
Du willst [mm] $gn\in [/mm] Ng$ zeigen, suchst also ein [mm] $m\in [/mm] N$ mit $gn=mg$. Wie kann $m$ also nur aussehen? Leistet dieses $m$ das Gewünschte?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 09.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
> Hallo Labrinth,
>
>
> > Ich habe so gut wie keine Hilfsmittel. Dass [mm]N[/mm] eine
> > Untergruppe ist, habe ich bereits bewiesen. Nach meiner
> > Definition ist [mm]N[/mm] normal, falls für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, dass
> > [mm]gN=Ng[/mm].
> Weißt du schon, dass eine Untergruppe [mm]N\subseteq G[/mm] genau
> dann ein Normalteiler von [mm]G[/mm] ist, wenn [mm]gNg^{-1}\subseteq N[/mm]
> für alle [mm]g\in G[/mm] gilt? Damit ginge es schneller...
>
>
> > Ist meine Lösung richtig:
> >
> > Sei [mm]gn\in gN[/mm], dann ist
> >
> [mm]\varphi(gn)=\varphi(g)\varphi(n)\in\varphi(g)N'=N'\varphi(g)[/mm].
> > Dann gibt es [mm]n'\in N'[/mm] mit [mm]\varphi(gn)=n'\varphi(g)[/mm]
>
>
> > und es ist
> > [mm]gn\in\varphi^{-1}(\varphi(gn))[/mm]
> [mm]\varphi^{-1}(\{\varphi(gn)\})[/mm] meinst du.
>
> > [mm]=\varphi^{-1}(n'\varphi(g))[/mm]
> [mm]\varphi^{-1}(\{n'\varphi(g)\})[/mm]
>
> > [mm]\subset\varphi^{-1}(N'\varphi(g))[/mm]
> Ja.
>
> > [mm]=\varphi^{-1}(\varphi(N)\varphi(g))[/mm]
> Warum sollte das gelten?
>
> > [mm]=\varphi^{-1}(\varphi(Ng))[/mm]
> Ja.
>
> > [mm]=Ng[/mm].
> Warum sollte das gelten?
>
>
> Du willst [mm]gn\in Ng[/mm] zeigen, suchst also ein [mm]m\in N[/mm] mit
> [mm]gn=mg[/mm]. Wie kann [mm]m[/mm] also nur aussehen? Leistet dieses [mm]m[/mm] das
> Gewünschte?
Danke,
[mm] m=gng^{-1}.
[/mm]
[mm] $m\in N\iff\varphi(g)\varphi(n)\varphi(g^{-1})\in [/mm] N'$. Da [mm] $\varphi(n)\in [/mm] N'$, $N'$ normal gibt es $n'$, sodass [mm] $\varphi(g)\varphi(n)=n'\varphi(g)$.
[/mm]
Also [mm] $m\in N\iff n'\varphi(g)\varphi(g^{-1})=n'\in [/mm] N'$. Fertig.
So besser?
Beste Grüße,
Labrinth
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Du willst [mm]gn\in Ng[/mm] zeigen, suchst also ein [mm]m\in N[/mm] mit
> > [mm]gn=mg[/mm]. Wie kann [mm]m[/mm] also nur aussehen? Leistet dieses [mm]m[/mm] das
> > Gewünschte?
>
> Danke,
>
> [mm]m=gng^{-1}.[/mm]
>
> [mm]m\in N\iff\varphi(g)\varphi(n)\varphi(g^{-1})\in N'[/mm]. Da
> [mm]\varphi(n)\in N'[/mm], [mm]N'[/mm] normal gibt es [mm]n'[/mm], sodass
> [mm]\varphi(g)\varphi(n)=n'\varphi(g)[/mm].
>
> Also [mm]m\in N\iff n'\varphi(g)\varphi(g^{-1})=n'\in N'[/mm].
> Fertig.
>
> So besser?
Ja. Jetzt noch alles ordentlich aufschreiben und du bist fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Di 09.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Danke. Hieran sieht man auch $N$ normal [mm] $\iff N\supset gNg^{-1}\ \forall g\in [/mm] G$, wie du am Anfang behauptet hast.
Beste Grüße,
Labrinth
|
|
|
|
