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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Di 11.05.2010 | | Autor: | javeda |
| Aufgabe | a) Zeige, dass die Abbildung f : [mm] \IZ\times\IZ \to \IR, [/mm] f(m,n)=2m+3n ein Morphismus ist und berechne Ker f und Im f.
b) Es sei G eine Gruppe. Für welche g,h [mm] \in [/mm] G ist die Abbildung f: [mm] G\toG, [/mm] f(a)=gah ein Morphismus? Berechne Ker f und Im f. |
Meine Lösung für Teil
a) f(m+a,n+b)=2(m+a)+3(n+b)=2m+3n+2a+3b=f(m,n)+f(a,b)
da 2(m+a)+3(n+b) [mm] \in \IR
[/mm]
Ker f= { (0,0) , [mm] (-\bruch{3}{2}n,n) [/mm] } für alle n gerade
Im f = [mm] \IZ, [/mm] da [mm] f^{-1} [/mm] (k) = [mm] \begin{cases} f(m,0) , & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ f(m,-1), & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
b) für g= [mm] h^{-1} [/mm] oder h= [mm] g^{-1}, [/mm] da
f(ab)= g(ab)h=g((ae)b)h=g((a(hg))b)= (gah)(gbh)=f(a)f(b)
Stimmt das soweit?
Meine Frage wäre jetzt aber: wie bestimme ich bei Aufgabe b) Ker f und Im f?
Ker f = { x [mm] \in [/mm] G | f(x)=0}.
[mm] f(x)=gxh=gxg^{-1}. [/mm] Die Gruppe ist ja nicht unbedingt kommutativ.
Wäre dann [mm] f(e)=gxg^{-1}=gg^{-1}=e [/mm] in diesem fall auch f(e)=0, da ich ja als Gruppenoperation die Multiplikation habe?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Zeige, dass die Abbildung f : [mm]\IZ\times\IZ \to \IR,[/mm]
> f(m,n)=2m+3n ein Morphismus ist und berechne Ker f und Im
> f.
>
> b) Es sei G eine Gruppe. Für welche g,h [mm]\in[/mm] G ist die
> Abbildung f: [mm]G\toG,[/mm] f(a)=gah ein Morphismus? Berechne Ker f
> und Im f.
>
> Meine Lösung für Teil
> a) f(m+a,n+b)=2(m+a)+3(n+b)=2m+3n+2a+3b=f(m,n)+f(a,b)
Da fehlt sowas wie "seien $(m, n), (a, b) [mm] \in \IZ^2$".
[/mm]
> da 2(m+a)+3(n+b) [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das solltest du als Zwischenschritt mit Gleichheitszeichen und ohne das "$\in \IR$" hinten in die Gleichung oben packen.
> Ker f= { (0,0) , [mm](-\bruch{3}{2}n,n)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} für alle n gerade
Jain. Das Prinzip stimmt, aber die Schreibweise ist grauenhaft.
Wenn die Menge nicht nur zwei Elemente enthalten soll und von $n$ abhaengen soll, sondern wirklich den Kern von $f$ darstellen soll, dann muss dass $n \in 2\IZ$ innerhalb der geschweiften Klammern (an der richtigen Stelle) stehen.
> Im f = [mm]\IZ,[/mm] da [mm]f^{-1}[/mm] (k) = [mm]\begin{cases} f(m,0) , & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ f(m,-1), & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Was hat $m$ mit $k$ zu tun? Und da die Abbildung nicht injektiv ist, kann es keine einelementigen Urbilder geben!
> b) für g= [mm]h^{-1}[/mm] oder h= [mm]g^{-1},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
da
> f(ab)= g(ab)h=g((ae)b)h=g((a(hg))b)=
> (gah)(gbh)=f(a)f(b)
Wenn $e$ das neutrale Element ist, dann ist dies die Haelfte von Aufgabenteil b).
Du musst jetzt noch zeigen: ist $f$ ein Homomorphismus, so gilt $g = h^{-1}$.
> Stimmt das soweit?
> Meine Frage wäre jetzt aber: wie bestimme ich bei Aufgabe
> b) Ker f und Im f?
> Ker f = { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | f(x)=0}.
Du meinst nicht 0, sondern $e$.
> [mm]f(x)=gxh=gxg^{-1}.[/mm] Die Gruppe ist ja nicht unbedingt
> kommutativ.
Muss sie auch nicht sein. Schreibe $g x [mm] g^{-1} [/mm] = e$. Was kannst du jetzt ueber $x$ sagen?
> Wäre dann [mm]f(e)=gxg^{-1}=gg^{-1}=e[/mm]
Mit $x = e$?
> in diesem fall auch
> f(e)=0, da ich ja als Gruppenoperation die Multiplikation
> habe?
Es ist $f(e) = e$. Die 0 gibt es hier gar nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 12.05.2010 | | Autor: | javeda |
Also wäre bei a)
Ker f = {(0,0) , [mm] {(-\bruch{3}{2}n,n) :n \in 2\IZ} [/mm] }
Im f = [mm] \IZ, [/mm] da
1. sei k [mm] \in \IZ [/mm] gerade
für jedes k [mm] \in \IZ [/mm] gibt es mindestens ein (m,0) in [mm] \IZ \times \IZ [/mm] mit
f(m,0)=2m+0=2m=k
2. sei k [mm] \in \IZ [/mm] ungerade
für jeses k [mm] \in \IZ [/mm] gibt es mindestens ein (m,-1) in [mm] \IZ \times \IZ [/mm] mit
f(m,-1)=2m-3=k
Und bei b)
Ker f= {e}, da nur für f(e)=geh=gh=e gilt [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G : [mm] g=h^{-1}
[/mm]
Im f = { [mm] h^{-1}ah [/mm] : h,a [mm] \in [/mm] G }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ker f = {(0,0) , [mm]{(-\bruch{3}{2}n,n) :n \in 2\IZ}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Die (0,0) kannst du dann weglassen ...
> Im f = [mm]\IZ,[/mm] da
> 1. sei k [mm]\in \IZ[/mm] gerade
> für jedes k [mm]\in \IZ[/mm] gibt es mindestens ein (m,0) in
> [mm]\IZ \times \IZ[/mm] mit
> f(m,0)=2m+0=2m=k
Aha, welches m denn? Du umschrubbelst das ganze etwas und der Leser muss das im Zweifel noch zeigen.
> 2. sei k [mm]\in \IZ[/mm] ungerade
> für jeses k [mm]\in \IZ[/mm] gibt es mindestens ein (m,-1)
> in [mm]\IZ \times \IZ[/mm] mit
> f(m,-1)=2m-3=k
Genauso wie oben - was für ein m?
> Ker f= {e}, da nur für f(e)=geh=gh=e gilt [mm]\forall[/mm] g,h
> [mm]\in[/mm] G : [mm]g=h^{-1}[/mm]
Und warum? Fang doch an mit: Sei [m]e=g*a*g^{-1}[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
...
> Im f = { [mm]h^{-1}ah[/mm] : h,a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G }
Nein. Ich glaube, du wolltest ein festes h nehmen und dann [m]\{h^{-1}ah|a\in G\}[/m] betrachten, oder? Selbst das wäre nur die schnöde Definition - drücke Im anders aus, überlege was es sein könnten. Der Hom ist injektiv ... jetzt rate mal und versuchs zu beweisen.
SEcki
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Hallo
> b) Es sei G eine Gruppe. Für welche g,h [mm]\in[/mm] G ist die
> Abbildung f: [mm]G\toG,[/mm] f(a)=gah ein Morphismus? Berechne Ker f
> und Im f.
> Meine Lösung für Teil
> b) für g= [mm]h^{-1}[/mm] oder h= [mm]g^{-1},[/mm] da
> f(ab)= g(ab)h=g((ae)b)h=g((a(hg))b)=
> (gah)(gbh)=f(a)f(b)
>
>
> Stimmt das soweit?
Du hast noch den trivialen Fall vergessen: Für g = h = [mm] e_{G} [/mm] ist f(a)=gah ein weiterer Gruppenhomomorphismus.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > b) Es sei G eine Gruppe. Für welche g,h [mm]\in[/mm] G ist die
> > Abbildung f: [mm]G\toG,[/mm] f(a)=gah ein Morphismus? Berechne Ker f
> > und Im f.
> > Meine Lösung für Teil
> > b) für g= [mm]h^{-1}[/mm] oder h= [mm]g^{-1},[/mm] da
> > f(ab)= g(ab)h=g((ae)b)h=g((a(hg))b)=
> > (gah)(gbh)=f(a)f(b)
> >
> >
> > Stimmt das soweit?
>
> Du hast noch den trivialen Fall vergessen: Für g = h =
> [mm]e_{G}[/mm] ist f(a)=gah ein weiterer Gruppenhomomorphismus.
Das ist im (einzigen) Fall $g = [mm] h^{-1}$ [/mm] enthalten, da [mm] $e_G^{-1} [/mm] = [mm] e_G$ [/mm] ist.
LG Felix
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