Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Entscheiden Sie mit Begrundung, ob im Körper [mm] (\IZ_{p},+,*) [/mm] die Abbildung
[mm] \IZ_{p} [/mm] → [mm] \IZ_{p}, \overline{x} [/mm] → [mm] \overline{x}^{p}:=\overline{x}*...*\overline{x}
[/mm]
bzgl. der Addition ein Gruppenhomomorphismus ist. |
Also ich weis, dass man eine Abbildung zwischen Gruppen genau dann Gruppenhomomorphismus nennt, wenn es strukturerhaltend ist, d.h. es spielt keine Rolle ob man zuerst Abbildet und dann Verknüpft oder anders herum...
Aber ich weis nicht wie ich das entscheiden oder Begründen soll.
Meine Frage ist also zuerst einmal wo ich das ganze ansetzen soll?! Vielleicht komm ich ja dann weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier wurde dir ja schon vorgegeben, was du testen sollst. Du sollst schauen, ob die Homomorphieeigenschaft bezüglich der Addition hinhaut. In Formeln: Schaue, ob [mm] (\bar{x}+\bar{y})^p=\bar{x}^p+\bar{y}^p [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
In eigenen Worten soll ich also zeigen, ob (die Spiegelung von x + die Spiegelung von [mm] y)^p [/mm] = die spiegelung von [mm] x^p [/mm] + die spiegelung von [mm] y^p [/mm]
Ist das richtig oder hab ich eine falsche definition?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Was meinst du genau mit Spiegelung?
[mm] \IZ_p=\{\bar{0},\ldots, \overline{p-1}\} [/mm] mit der entsprechenden Addition und Multiplikation (modulo p rechnen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ja also mein problem ist gerade, dass ich nicht weis, was der strich über den buchstaben bedeutet.. und ich dachte halt, dass das "spiegelung" heißt...
Aber was genau heißt das dann und was sagt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Die Striche sind nur eine Bezeichnung für die Elemente in [mm] \IZ_p. [/mm] Es gilt [mm] \bar{n}=n+p\IZ=\{\ldots , n-2p, n-p, n, n+p, n+2p, \ldots \}.
[/mm]
Im Prinzip kannst du dir die Striche auch wegdenken. Du musst halt nur wissen, wie man mit diesen Elementen rechnet. Also dass in [mm] \IZ_5 [/mm] z.B. 3+4=7=2 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Hm aber irgendwie kann ich damit nicht rechnen :/
Und was meintest du vorhin mit modulo? also Modulo ist diese Rechnung mit mod aber hat das nicht immer was mit " [mm] \equiv [/mm] " zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Mit Modulorechnen meine ich (naiv gesehen) folgendes:
In [mm] \IZ_p [/mm] hast du nur die Zahlen $0$ bis $p-1$. + und * sind wie gehabt, aber wenn du eine Zahl herausbekommst, die größer als p-1 oder kleiner als 0 ist, dann musst du modulo p rechnen.
Beispiel für p=5:
3+4=7. das ist größer als 5, also musst du modulo 5 rechnen und du bekommst 7=2, d.h. 3+4=2. Hierbei müssten über allen Zahlen Striche sein und alle Gleichheitszeichen müssten [mm] $\equiv$ [/mm] sein. Oft lässt man aber beides weg, wie ich gerade.
Andere Beispiele:
2*3=6=1
2-4=-2=3
usw.
Das ist die normale Modulorechnung.
Und du sollst nun [mm] (x+y)^p=x^p+y^p [/mm] zeigen (wobei überall wieder Striche fehlen ;)).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
Ah also soll ich die modulo rechnung auf
> Und du sollst nun [mm](x+y)^p=x^p+y^p[/mm] zeigen (wobei überall
> wieder Striche fehlen ;)).
anwenden?
Also im Prinzip
(x + [mm] y)^p \equiv x^p [/mm] + [mm] y^p [/mm] mod p
oder bin ich jetzt auf ner ganz falschen fährte?
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Hallo Domi2209,
> Ah also soll ich die modulo rechnung auf
>
> > Und du sollst nun [mm](x+y)^p=x^p+y^p[/mm] zeigen (wobei überall
> > wieder Striche fehlen ;)).
>
> anwenden?
>
> Also im Prinzip
>
> (x + [mm]y)^p \equiv x^p[/mm] + [mm]y^p[/mm] mod p
Jo, genau das ist zu zeigen.
Noch ein Tipp: binomischer Lehrsatz:
[mm](x+y)^p=\sum\limits_{k=0}^p \ \Box \ \ldots[/mm]
Mehr will ich nicht verraten, es ist eigentlich auch schon die Lösung 
>
> oder bin ich jetzt auf ner ganz falschen fährte?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
[mm] \summe_{k=0}^{p} \vektor{p \\ k} [/mm] x^(p-k) [mm] y^k
[/mm]
ist das dann schon mein ergebnis?
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Hallo nochmal,
> [mm]\summe_{k=0}^{p} \vektor{p \\
k}[/mm] x^(p-k) [mm]y^k[/mm]
>
> ist das dann schon mein ergebnis?
Naja, zeigen musst du doch, dass das modulo p genau [mm] $x^p+y^p$ [/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
ja okay, aber wie denn?
ich weis nicht wo ich da jetzt weiter machen soll...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 02.12.2012 | | Autor: | Domi2209 |
ich glaub ich hab ne idee...
muss ich vielleicht zeigen, dass [mm] p|\vektor{p \\ k}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 02.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau das musst du tun!
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