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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 08.04.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \in\IR^{2,2}
[/mm]
Sei M die von A erzeugte Untergruppe von [mm] GL(2,\IR). [/mm] Man zeige, dass die Strukturen (M,*) und [mm] (\IZ_{4},+) [/mm] isomorph sind. Gilt das Kommutativgesetz? |
Hi !
Bei der Aufgabe fehlt mir irgendwie schon der Ansatz. Ich dachte, um Isomorphismus nachzuweisen, muss ich zeigen, dass f(x [mm] \oplus [/mm] y) = f(x) [mm] \otimes [/mm] f(y) und dass f bijektiv gilt.
In der Aufgabe ist aber gar keine Abbildung angegeben. Wie kann ich das allgemein beweisen bzw. was wollen die hier von mir ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Unreal,
also du könntest natürlich probieren einen solchen Isomorphismus zu finden. Alternativ könntestdu die Charakterisierung zyklischer Gruppen verwenden:
Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt:
[mm] G\cong\begin{cases} \IZ, & \mbox{für } ord G=\infty \\ \IZ_n, & \mbox{für } ord G=n \end{cases}
[/mm]
ord G = Anzahl der Elemente von G
M ist ja die von der Matrix [mm] m=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \in\IR^{2,2} [/mm] erzeugte zyklische Untergruppe von [mm] GL(2,\IR)
[/mm]
Jetzt musst du noch zeigen, dass M 4 Elemente hat. Dann bist du fertig. Da die Gruppe zyklisch ist, reicht es zu zeigen, dass ord m = 4, also [mm] m^4=1 [/mm] (Einheitsmatrix),aber [mm] m^k\not=1 [/mm] für [mm] k\in{1,2,3} [/mm] (Die Potenzen von m sind halt die Elemente von M)
Das Kommutativgesetz gilt natürlich, weil [mm] \IZ_4 [/mm] abelsch ist und damit auch M (Eigenschaften wie Mächtigkeit,Kommuativität etc. werden bei Isomorphie einfach übertragen). Ansonsten kannst auch sagen, dass M zyklisch ist. Daraus folgt, dass M abelsch ist.
VG
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 08.04.2009 | | Autor: | unR34L |
> Charakterisierung zyklischer Gruppen verwenden:
>
> Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt:
> [mm]G\cong\begin{cases} \IZ, & \mbox{für } ord G=\infty \\ \IZ_n, & \mbox{für } ord G=n \end{cases}[/mm]
>
> ord G = Anzahl der Elemente von G
>
Wenn das so gilt, ist die Aufgabe ja relativ einfach ^^.
Ist das ein Satz von irgendjemandem oder so? Weil wenn ich die Aufgabe vorstellen müsste, würde ich gern mehr sagen können "ja das gilt halt" ;)
> M ist ja die von der Matrix [mm]m=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } \in\IR^{2,2}[/mm]
> erzeugte zyklische Untergruppe von [mm]GL(2,\IR)[/mm]
> Jetzt musst du noch zeigen, dass M 4 Elemente hat. Dann
> bist du fertig. Da die Gruppe zyklisch ist, reicht es zu
> zeigen, dass ord m = 4, also [mm]m^4=1[/mm] (Einheitsmatrix),aber
> [mm]m^k\not=1[/mm] für [mm]k\in{1,2,3}[/mm] (Die Potenzen von m sind halt die
> Elemente von M)
Jo, hätte ich dazuschreiben sollen, war in Teil a sowieso zu erledigen.
Danke jedenfalls!
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