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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 17.02.2008 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | Es sei G endliche Gruppe mit 2007 Elementen.
Zeigen Sie:
a) Die Gruppe G besitzt eine normale 223 Sylow-Gruppe N.
b) Die Operation von G auf N durch Knjugation induziert eine Operation der Faktorgruppe G/N auf N und G/N enthält eine Untergruppe H der Ordnung 3, die trivial auf N operiert.
c) Folgern Sie, dass die Gruppe G einen abelxhen Normalteiler der Ordnung 669 entält. |
a) ist kein Problem folgt direkt mit den Sylowsätzen.
b)Sei nun b [mm] \in [/mm] G/N und n [mm] \in [/mm] N
und [mm] \gamma [/mm] die Gruppenoperation G/N x N [mm] \to [/mm] N also [mm] \gamma [/mm] (b,n) [mm] \to bnb^{-1}. [/mm]
[mm] bnb^{-1} [/mm] ist nach Definition des Normalteils natürlich in N. Muss man hier auch noch zeigen, dass es sich um eine Gruppenoperation handelt?
Die Ordnung von G/N ist nun 9. Daraus folgt, dass G/N eine Untergruppe der Ordnung 3 besitzt, da G/N eine abelsche Gruppe ist.
Nun soll noch gezeigt werden dass H auf N trivial Operiert.
Also [mm] \gamma [/mm] (h,n) = n sein.
Sei h Element von H. Daraus folgt, dass h von der Form hN ist
[mm] \gamma: [/mm] H x N [mm] \to [/mm] N
[mm] \gamma [/mm] (hN, n) = [mm] hNn(hN)^{-1}= hNnh^{-1}N [/mm] = [mm] hNh^{-1}N [/mm] = [mm] hh^{-1}N [/mm] = eN =N
Ich komme immer nur so weit, dass [mm] \gamma [/mm] (hN,n) in N liegt aber nicht, dass [mm] \gamma [/mm] (hN,n) =n ist.
Was übersehe ich hier?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 17.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag Manuela!
> Es sei G endliche Gruppe mit 2007 Elementen.
> Zeigen Sie:
> a) Die Gruppe G besitzt eine normale 223 Sylow-Gruppe N.
> b) Die Operation von G auf N durch Knjugation induziert
> eine Operation der Faktorgruppe G/N auf N und G/N enthält
> eine Untergruppe H der Ordnung 3, die trivial auf N
> operiert.
> c) Folgern Sie, dass die Gruppe G einen abelxhen
> Normalteiler der Ordnung 669 entält.
> a) ist kein Problem folgt direkt mit den Sylowsätzen.
> b)Sei nun b [mm]\in[/mm] G/N und n [mm]\in[/mm] N
> und [mm]\gamma[/mm] die Gruppenoperation G/N x N [mm]\to[/mm] N also
> [mm]\gamma[/mm] (b,n) [mm]\to bnb^{-1}.[/mm]
> [mm]bnb^{-1}[/mm] ist nach Definition des Normalteilers natürlich in
> N. Muss man hier auch noch zeigen, dass es sich um eine
> Gruppenoperation handelt?
Das wäre mit klar, aber warum ist die Operation von der Auswahl von b unabhängig?
> Die Ordnung von G/N ist nun 9. Daraus folgt, dass G/N eine
> Untergruppe der Ordnung 3 besitzt, da G/N eine abelsche
> Gruppe ist.
>
> Nun soll noch gezeigt werden dass H auf N trivial
> operiert.
Was ist H? Wahrscheinich eine Untergruppe der Ordnung 3 in G/N. Aber die Behauptung ist nicht, daß jede Untergruppe der Ordnung 3 trivial operiert, sondern daß es eine solche gibt!
Es gibt dann 3 Möglichkeiten: G/N operiert überhaupt trivial. Dann tut es auch jede Untergruppe.
Oder G tut es nicht, aber es gibt eine Untergruppe der Ordnung 3, die es tut. Dann bist du fertig.
Oder die Untergruppe von G/N, die es tut, ist die triviale Untergruppe {1}. Du müßtest jetzt zeigen, daß diesr Fall nicht eintreten kann.
Gruß und schönen Sonntag
Dieter
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