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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:40 Mi 29.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es sei G eine endliche Gruppe, [mm] |G|>1 [/mm], und H eine echte Untergruppe von G. Dann operiert G auf der Menge der Linksnebenklassen [mm] G/H [/mm] durch Linksmultiplikation.
a) Formulieren Sie diese Gruppenoperation als Homomorphismus [mm] \Phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] S(G/H), wobei S(G/H) die symmetrische Gruppe auf [mm] G/H [/mm] bezeichnet. |
Für diese Aufgabe soll es nur einen Punkt geben, daher soll sie wohl relativ einfach sein.
Ich frage mich, wie man einen Homomorphismus [mm] \Phi: G\to [/mm] S(G/H) formulieren könnte.
Man schickt ein Element aus G auf eine Permutation in S(G/H), die die Linksnebenklassen in G/H vertauscht:
[mm] g\mapsto \pi(g_iH\mapsto g_iH) [/mm] mit i=1,...,|G/H|
Da [mm] \Phi(gh)=g_iH=\Phi(g)\Phi(h) [/mm] ist das doch ein Homomorphismus.
Andere Ideen habe ich hier keine.
Ist das so korrekt?
Wenn nicht, dann würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklärt, wie es gemeint ist. Dankesehr!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 29.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich denke, dass ich die Lösung nun gefunden habe. Meine erste Idee war nicht sehr gut formuliert.
Ich versuche es neu.
[mm] \Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}(g'H)=gg'H [/mm]
Hiermit ist eine wohldefinierte Abbildung definiert und [mm] \Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h).
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:14 Do 30.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich denke, dass ich die Lösung nun gefunden habe. Meine
> erste Idee war nicht sehr gut formuliert.
ehrlich gesagt habe ich da die Idee hinter dem Homomorphismus noch nicht mal verstanden.
> Ich versuche es neu.
>
> [mm]\Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}(g'H)=gg'H[/mm]
>
> Hiermit ist eine wohldefinierte Abbildung definiert und
> [mm]\Phi(gh)=\Phi(g)\Phi(h).[/mm]
ich arbeite mich gerade selbstständig durch ein Algebra-Buch (im Studium wurde leider keine Algebra-Vorlesung angeboten), daher ist, weil meine Algebra-Kenntnisse entsprechend "gering" sind, meine Antwort mit Vorsicht zu genießen. Ich denke, dass diese Abbildung oben in der Tat das gewünschte leistet - und auch zu der Formulierung in der Aufgabenstellung passt.
Sollte ich mich irren, so möge jemand wissenderes mich bitte korrigieren 
Jedenfalls: Die Wohldefiniertheit ist klar, weil $gg' [mm] \in G\,.$ [/mm] Zu der Eigenschaft, dass [mm] $\Phi$ [/mm] ein Homomorphismus ist, muss aber $(gh)g'H=(gg'H)(hg'H)$ begründet werden. Das sehe ich nun nicht direkt, es scheint mir nicht gänzlich trivial. Was ich mich zudem frage: An welcher Stelle wird benötigt oder benutzt, dass [mm] $H\,$ [/mm] echte Untergruppe von [mm] $G\,$ [/mm] ist?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 01.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Die Tatsache, dass es sich um eine echte Untergruppe handelt wird für diese Teilaufgabe nicht benötigt. Sie wird später benötigt. Ich habe diese Angabe dennoch gemacht, weil die originale Aufgabenstellung gegeben werden soll.
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Hallo Dennis!
ich beantworte hier auch gleich die von Marcel aufgeworfenen Fragen mit.
> Ich versuche es neu.
> $ [mm] \Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}(g'H)=gg'H [/mm] $
Deine Formulierung verträgt noch ein paar Verbesserungen:
[mm] $\Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}$, [/mm] wobei [mm] $\pi_{g}$ [/mm] wie folgt definiert ist:
[mm] $\forall [/mm] g'H [mm] \in G/H:\; \pi_g(g'H)=gg'H$
[/mm]
Damit ist Aufgabe a) (Formulierung) schon erledigt.
Die Begründung dafür lautet:
Die Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] ist wohldefiniert, da [mm] $\pi_g$ [/mm] als Element von $S(G/H)$ wohldefiniert ist:
a) [mm] $\forall [/mm] g,g'g'': [mm] \; [/mm] g'H = g''H [mm] \rightarrow \pi_g(g'H) [/mm] = [mm] \pi_g(g''H)$ [/mm] (Unabhängigkeit der Def. vom Repräsentantensystem).
b) [mm] $\pi_g$ [/mm] ist bijektiv.
[mm] $\Phi$ [/mm] ist ein Homomorphismus, da
[mm] $\forall [/mm] g,g': [mm] \; \Phi(gg') [/mm] = [mm] \pi_{gg'} [/mm] = [mm] \Phi(g)\circ\Phi(g)= \pi_{g}\circ\pi_{g'}$
[/mm]
Denn:
[mm] $\forall [/mm] g''H [mm] \in G/H:\;(\pi_{g}\circ\pi_{g'})(g''H) [/mm] = gg'g''H = [mm] \pi_{gg'}(g''H)$.
[/mm]
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Dennis!
>
> ich beantworte hier auch gleich die von Marcel
> aufgeworfenen Fragen mit.
>
> > Ich versuche es neu.
> > [mm]\Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}(g'H)=gg'H[/mm]
>
> Deine Formulierung verträgt noch ein paar Verbesserungen:
>
> [mm]\Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}[/mm], wobei [mm]\pi_{g}[/mm] wie folgt
> definiert ist:
>
> [mm]\forall g'H \in G/H:\; \pi_g(g'H)=gg'H[/mm]
>
> Damit ist Aufgabe a) (Formulierung) schon erledigt.
>
> Die Begründung dafür lautet:
>
> Die Abbildung [mm]\Phi[/mm] ist wohldefiniert, da [mm]\pi_g[/mm] als Element
> von [mm]S(G/H)[/mm] wohldefiniert ist:
>
> a) [mm]\forall g,g'g'': \; g'H = g''H \rightarrow \pi_g(g'H) = \pi_g(g''H)[/mm]
> (Unabhängigkeit der Def. vom Repräsentantensystem).
>
> b) [mm]\pi_g[/mm] ist bijektiv.
>
> [mm]\Phi[/mm] ist ein Homomorphismus, da
>
> [mm]\forall g,g': \; \Phi(gg') = \pi_{gg'} = \Phi(g)\circ\Phi(\blue{g'})= \pi_{g}\circ\pi_{g'}[/mm]
ach wunderbar: Ich hätte drauf achten sollen, wo man denn welche Operation in der entsprechenden Gruppe hat. Danke, jetzt wird mir auch manches klar(er). 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Sa 08.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Der Hintergrund hierbei ist, dass man jede Gruppenoperation als Homomorphismus formulieren kann.
Und zwar in diesem Fall wie folgt:
[mm] T:G\to S(G/H),g\mapsto T_g [/mm]
[mm] T_g:G/H\to G/H,yH\mapsto gyH [/mm]
Das war mir nicht klar und deswegen hat die Aufgabe bei mir für so viel Verwirrung gesorgt.
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