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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 25.11.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Gegeben eine Gruppe [mm] $(G,\cdot)$ [/mm] und ein Normalteiler $N$ in $G$. Ich würde gerne mit $G/N$ auf $N$ operieren. Da sollte es doch eine kanonische Operation geben!??
Meine Idee:
$G/N [mm] \times [/mm] N [mm] \rightarrow [/mm] N, (gN,h) [mm] \mapsto ghg^{-1}$.
[/mm]
Ich sehe aber gerade nicht, warum dies unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $g$ sein sollte??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben eine Gruppe [mm](G,\cdot)[/mm] und ein Normalteiler [mm]N[/mm] in [mm]G[/mm].
> Ich würde gerne mit [mm]G/N[/mm] auf [mm]N[/mm] operieren. Da sollte es doch
> eine kanonische Operation geben!??
Gibt es einen Grund zur Annahme, dass es eine solche gibt?
> Meine Idee:
> [mm]G/N \times N \rightarrow N, (gN,h) \mapsto ghg^{-1}[/mm].
>
> Ich sehe aber gerade nicht, warum dies unabhängig von der
> Wahl des Repräsentanten [mm]g[/mm] sein sollte??
Probier es doch mal mit konkreten Beispielen aus. Zum Beispiel $G = [mm] S_n$, [/mm] $N = [mm] A_n$. [/mm] Funktioniert das?
Du brauchst im Prinzip, dass die Konjugation von Elementen aus [mm] $A_n$ [/mm] auf [mm] $A_n$ [/mm] die Identitaet ist. Kann das klappen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 26.11.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Ok, vielen Dank. Im allgemeinen wird das nicht funktionieren.
Was ich aber ausser Acht gelassen habe, ist die Tatsache, dass der Normalteiler $N$ abelsch ist. In diesem Fall erhaelt man eine Gruppenoperation wie oben angegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mo 26.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Ok, vielen Dank. Im allgemeinen wird das nicht
> funktionieren.
>
> Was ich aber ausser Acht gelassen habe, ist die Tatsache,
> dass der Normalteiler [mm]N[/mm] abelsch ist. In diesem Fall erhaelt
> man eine Gruppenoperation wie oben angegeben.
Dann operiert aber G/N trivial auf N. Triviale Operationen lassen sich immer angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Di 27.11.2012 | | Autor: | itzepo11 |
Trivial?
$N$ ist abelsch, nicht $G$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Di 27.11.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn $N$ abelsch ist: Seien [mm] $x,y\in [/mm] G$ mit $xN= yN$, d.h. $x= yz$ mit [mm] $z\in [/mm] N$. Fuer alle [mm] $n\in [/mm] N$ gilt dann [mm] $x^{-1}nx= (yz)^{-1}nyz= z^{-1}y^{-1}nyz$. [/mm] Weil normal ist, gilt [mm] $y^{-1}ny\in [/mm] N$, und weil $N$ abelsch ist und auch [mm] $z\in [/mm] N$, folgt [mm] $z^{-1}y^{-1}nyz= y^{-1}ny$. [/mm] Dies ist die Unabhaengigkeit vom Repraesentanten.
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