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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Mi 07.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, [mm] M=\IK^{m\times n} [/mm] und [mm] G=Gl(m,\IK)\times Gl(n,\IK).
[/mm]
( Gruppenstruktur auf G: ist [mm] g_1=(A_1,B_1) [/mm] und [mm] g_2=(A_2,B_2) [/mm] dann ist [mm] g_1g_2=(A_1A_2, B_1B_2) [/mm] )
(i) Zeige, dass durch die Abbildung $ [mm] \phi:G\times M\to [/mm] M $ mit [mm] \phi((A,B),D)=ADB^{-1} [/mm] eine Operation der Gruppe G auf der Menge M definiert wird.
(ii) Bestimme die Anzahl der Bahnen und ein Vertretersystem der Bahnen für diese Operation. |
| Aufgabe 2 | Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und M eine endliche Menge mit k Elementen, auf der G operiert. Beweise die folgenden Aussagen:
(i) Sei n=55. Für k=39 gibt es mindestens einen, für k=18 sogar mindestens zwei Fixpunkte
(ii) Wenn k kleiner ist, als die kleinste Primzahl, die n teilt, ist die Operation trivial. |
Hallo!
A1:
(i) Sei hier [mm] g_1=(A_1,B_1) [/mm] und [mm] g_2=(A_2, B_2).
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen:
(Einselement in G ist [mm] (E_m,E_n) [/mm] mit Einheitsmatrizen E)
=> [mm] \phi((E_m,E_n),D)=E_m*D*E_n=D
[/mm]
[mm] \phi((g_1*g_2),D)=\phi((A_1A_2,B_1B_2),D)=A_1A_2D(B_1B_2)^{-1}=A_1A_2DB_2^{-1}B_1^{-1}=A_1(A_2DB_2^{-1})B_1^{-1}=\phi((A_1,B_1),\phi((A_2,B_2),D))=\phi(g_1,(g_2*D)) [/mm]
habe ich das so richtig interpretiert??
(ii) Hier weiss ich nicht wie ich die Anzahl der Bahnen berechnen soll. Das könnte ich für endliche Gruppe & Menge mit konkret gegebener Ordnung, aber hier? G und M sind ja unendlich und daher müssten es unendlich viele Bahnen sein?! Und Vertretersystem wären dann alle Matrizen [mm] M^{m\times n} [/mm] oder? Sorry, steh diesbezüglich etwas auf dem Schlauch.
A2:
(i) Der Stabilisator [mm] G_m [/mm] von G ist eine Untergruppe, demnach gilt für [mm] G_m [/mm] :
[mm] ord(G_m) \in \{1,5,11\} [/mm] denn Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung.
Jetzt bilden die Bahnen eine disjunkte Zerlegung von M und es gibt eine Darstellung:
(a) |M|=39=a*11+b*5+c*1 => a=3, b=1, c=1
Also gibt es mindestens c=1 Bahnen der Länge 1, d.h. mindestens einen Fixpunkt.
(b) |M|=18=a*11+b*5+c*1 => a=1, b=1, c=2
Min. zwei Bahnen der Länge 1 und damit min. 2 Fixpunkte.
Reicht das so?
(ii) Die kleinste Primzahl die n teilt ist auch gleichzeitig die kleinste Zahl [mm] \not=1 [/mm] überhaupt, die n teilt. ist k nun kleiner als diese Zahl, gibt es nur die folgende Darstellung:
|M|=k=k*1 und damit genau k Bahnen der Länge 1. Es ist [mm] G_m=G, [/mm] also alle Elemente in G sind Fixpunkte und die Operation ist damit trivial.
Danke fürs drüber schauen! Wäre nett wenn jemand ein paar Worte dazu sagen könnte. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]M=\IK^{m\times n}[/mm] und
> [mm]G=Gl(m,\IK)\times Gl(n,\IK).[/mm]
> ( Gruppenstruktur auf G: ist
> [mm]g_1=(A_1,B_1)[/mm] und [mm]g_2=(A_2,B_2)[/mm] dann ist [mm]g_1g_2=(A_1A_2, B_1B_2)[/mm]
> )
>
> (i) Zeige, dass durch die Abbildung [mm]\phi:G\times M\to M[/mm] mit
> [mm]\phi((A,B),D)=ADB^{-1}[/mm] eine Operation der Gruppe G auf der
> Menge M definiert wird.
>
> (ii) Bestimme die Anzahl der Bahnen und ein Vertretersystem
> der Bahnen für diese Operation.
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n und M eine
> endliche Menge mit k Elementen, auf der G operiert. Beweise
> die folgenden Aussagen:
>
> (i) Sei n=55. Für k=39 gibt es mindestens einen, für k=18
> sogar mindestens zwei Fixpunkte
>
> (ii) Wenn k kleiner ist, als die kleinste Primzahl, die n
> teilt, ist die Operation trivial.
> Hallo!
>
> A1:
>
> (i) Sei hier [mm]g_1=(A_1,B_1)[/mm] und [mm]g_2=(A_2, B_2).[/mm]
>
> Jetzt muss ich zeigen:
> (Einselement in G ist [mm](E_m,E_n)[/mm] mit Einheitsmatrizen E)
>
> => [mm]\phi((E_m,E_n),D)=E_m*D*E_n=D[/mm]
>
> [mm]\phi((g_1*g_2),D)=\phi((A_1A_2,B_1B_2),D)=A_1A_2D(B_1B_2)^{-1}=A_1A_2DB_2^{-1}B_1^{-1}=A_1(A_2DB_2^{-1})B_1^{-1}=\phi((A_1,B_1),\phi((A_2,B_2),D))=\phi(g_1,(g_2*D))[/mm]
>
> habe ich das so richtig interpretiert??
>
> (ii) Hier weiss ich nicht wie ich die Anzahl der Bahnen
> berechnen soll. Das könnte ich für endliche Gruppe &
> Menge mit konkret gegebener Ordnung, aber hier? G und M
> sind ja unendlich und daher müssten es unendlich viele
> Bahnen sein?! Und Vertretersystem wären dann alle Matrizen
> [mm]M^{m\times n}[/mm] oder? Sorry, steh diesbezüglich etwas auf
> dem Schlauch.
Keine Ursache. Welche Invarianten fallen Dir ein, die durch diese Operation erhalten bleiben? Vielleicht sind es mehrere. Wenn Du Dir aber klar machst, dass etwa [mm] $Gl(n,\IK)$ [/mm] selbst eine Bahn der Operation ist, dann kommst Du vielleicht drauf mit Hilfe welcher Groesse man die Bahnen charakterisieren kann. Tip: Es sind $n+1$ Bahnen.
>
> A2:
>
> (i) Der Stabilisator [mm]G_m[/mm] von G ist eine Untergruppe,
> demnach gilt für [mm]G_m[/mm] :
> [mm]ord(G_m) \in \{1,5,11\}[/mm] denn Untergruppenordnung teilt
> Gruppenordnung.
> Jetzt bilden die Bahnen eine disjunkte Zerlegung von M und
> es gibt eine Darstellung:
>
> (a) |M|=39=a*11+b*5+c*1 => a=3, b=1, c=1
>
> Also gibt es mindestens c=1 Bahnen der Länge 1, d.h.
> mindestens einen Fixpunkt.
>
> (b) |M|=18=a*11+b*5+c*1 => a=1, b=1, c=2
>
> Min. zwei Bahnen der Länge 1 und damit min. 2 Fixpunkte.
>
> Reicht das so?
Ja. Beachte aber, dass die $11, 5,1$ hier nicht fuer die Ordnung des Stabilisators, sonders seinen Index stehen, kommt hier aber auf dasselbe raus.
>
> (ii) Die kleinste Primzahl die n teilt ist auch
> gleichzeitig die kleinste Zahl [mm]\not=1[/mm] überhaupt, die n
> teilt. ist k nun kleiner als diese Zahl, gibt es nur die
> folgende Darstellung:
>
> |M|=k=k*1 und damit genau k Bahnen der Länge 1. Es ist
> [mm]G_m=G,[/mm] also alle Elemente in G sind Fixpunkte und die
> Operation ist damit trivial.
Ich haette hiere irgendwo die Gleichung $k= [mm] \sum_{i=1}^{s} |G:G_{m_{i}}|$, [/mm] fuer gewisse [mm] $m_{i}\in [/mm] M$, $s$ Anzahl der Bahnen untergebracht, aber sonst ganz aehnlich argumentiert.
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> Danke fürs drüber schauen! Wäre nett wenn jemand ein
> paar Worte dazu sagen könnte. :)
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