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| Aufgabe | Sei [mm]( G, * )[/mm] eine Gruppe mit neutralem Element [mm] e \in G[/mm]. Sei [mm] X [/mm] eine Menge. Eine [mm]Operation[/mm] von [mm]( G , * )[/mm] auf [mm]X[/mm] ist eine Abbildung
[mm]f:G \times X \to X,[/mm]
[mm]g,x \mapsto f(g,x)[/mm] =: [mm]g.x[/mm],
so dass gelten:
[mm]\*[/mm] [mm] g.(h.x) = (g*h).x[/mm] [mm] \forall[/mm] [mm] g,h \in G, x \in X[/mm]
[mm]\*[/mm] [mm] e.x = x [/mm] [mm] \forall [/mm] [mm] x \in X [/mm]
Man definiert eine Relation auf [mm]X[/mm], indem man für alle [mm]( x , y ) \in X \times X [/mm] setzt
[mm] x \sim y [/mm] : [mm] \gdw [/mm] es gibt ein [mm] g \in G [/mm] mit [mm] y = g.x [/mm]
Hier die Aufgabe:
Zeigen sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist (die Äquivalenzklassen von [mm]\sim[/mm] nennt man die [mm]Bahnen[/mm] der Operation f).
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Hi an Alle,
für die Äquivalenzrelation muss man 3 Sachen beweisen, reflexivität [mm]x \sim x[/mm], symmetrie, [mm]x \sim y \Rightarrow y \sim x[/mm] und die Transitivität [mm] x \sim y , y \sim z \Rightarrow x \sim z[/mm]
Bei der Reflexivität habe ich es so versucht:
Es gilt ja [mm] x \sim x [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] x = g.x [/mm]
[mm] g = e [/mm] und daraus folgt [mm]x = e.x [/mm], was in der Definition steht, also müsste die Reflexivität bewiesen sein.
Nur wie gehe ich jetzt weiter vor?
symmetrie: [mm] x \sim y [/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm] y = g.x [/mm]
[mm] e = g [/mm]
[mm] y = e.x [/mm], also [mm]y = x [/mm] und somit ist auch [mm] x = g.y[/mm] und daraus folgt [mm] y \sim x [/mm] ?
Bei der Transitivität habe ich das Problem, dass mir eigentlich eine weitere "Variable" fehlt, muss ich mir diese einfach definieren?
Vielen Dank schon im Voraus.
Ich hoffe, dass die Formulierungen nicht zu schwierig zu lesen sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 01.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]( G, * )[/mm] eine Gruppe mit neutralem Element [mm]e \in G[/mm]. Sei
> [mm]X[/mm] eine Menge. Eine [mm]Operation[/mm] von [mm]( G , * )[/mm] auf [mm]X[/mm] ist eine
> Abbildung
> [mm]f:G \times X \to X,[/mm]
> [mm]g,x \mapsto f(g,x)[/mm] =: [mm]g.x[/mm],
>
> so dass gelten:
> [mm]\*[/mm] [mm]g.(h.x) = (g*h).x[/mm] [mm]\forall[/mm] [mm]g,h \in G, x \in X[/mm]
> [mm]\*[/mm] [mm]e.x = x[/mm]
> [mm]\forall[/mm] [mm]x \in X[/mm]
>
> Man definiert eine Relation auf [mm]X[/mm], indem man für alle [mm]( x , y ) \in X \times X[/mm]
> setzt
>
> [mm]x \sim y[/mm] : [mm]\gdw[/mm] es gibt ein [mm]g \in G[/mm] mit [mm]y = g.x[/mm]
>
> Hier die Aufgabe:
> Zeigen sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation ist (die
> Äquivalenzklassen von [mm]\sim[/mm] nennt man die [mm]Bahnen[/mm] der
> Operation f).
>
>
> Hi an Alle,
> für die Äquivalenzrelation muss man 3 Sachen beweisen,
> reflexivität [mm]x \sim x[/mm], symmetrie, [mm]x \sim y \Rightarrow y \sim x[/mm]
> und die Transitivität [mm]x \sim y , y \sim z \Rightarrow x \sim z[/mm]
>
Richtig.
> Bei der Reflexivität habe ich es so versucht:
>
> Es gilt ja [mm]x \sim x[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x = g.x[/mm]
>
Das ist unsauber hingeschrieben. Es ist [mm]x \sim x \gdw \exists g \in G (x = gx)[/mm].
> [mm]g = e[/mm] und daraus folgt [mm]x = e.x [/mm], was in der Definition
> steht, also müsste die Reflexivität bewiesen sein.
>
Und genauso unsauber geht es weiter. Deine Idee ist schon vollkommen richtig aber du solltest es eher so hinschreiben: "Für das neutrale Element e in G gilt ja ex=x für alle x, d.h. die rechte Seite der obigen Äquivalent ist erfüllt. Und somit gilt [mm]x \sim x[/mm] für alle x."
> Nur wie gehe ich jetzt weiter vor?
>
> symmetrie: [mm]x \sim y[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]y = g.x[/mm]
>
Dito.
> [mm]e = g[/mm]
> [mm]y = e.x [/mm], also [mm]y = x[/mm] und somit ist auch [mm]x = g.y[/mm] und
> daraus folgt [mm]y \sim x[/mm] ?
Der Schmarn, der jetzt hier bei dir steht, kommt davon, dass du oben die Definition von [mm]x \sim y[/mm] unsauber hingeschrieben hast. Da muss nämlich noch ein "es gibt ein g aus G, sodass ..." stehen. Wenn du das hingeschrieben hättest, dann wärst du auch nicht auf die Idee gekommen g=e zu setzen, denn es kann ja auch für ein total bel. anderes Element aus g gelten, nicht unbedingt für das neutrale Element.
Zum Beweis: Du hast y=gx für irgendein g. Du willst zeigen, dass es ein g' gibt, sodass x=g'y gilt. Benutze jetzt hier die Eigenschaft, dass G eine Gruppe ist, und dass g(hx)=(gh)x gilt für alle g,h aus G und x aus X.
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> Bei der Transitivität habe ich das Problem, dass mir
> eigentlich eine weitere "Variable" fehlt, muss ich mir
> diese einfach definieren?
Ich weiss jetzt nicht genau was du meinst, aber wenn ich einfach mal rate, was du damit meinst, dann ist die Antwort "ja".
> Ich hoffe, dass die Formulierungen nicht zu schwierig zu
> lesen sind.
Das Multiplikationszeichen schreibt man meist nicht hin. Also statt "g.x" schreibt man einfach "gx".
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Mi 02.12.2009 | | Autor: | deavilaxn |
Super, ich sah vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr und habe auch alle Teilaufgaben "Vorschriftsmäßig" und logisch beantwortet. Vielen Dank für die Hilfe.
LG
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