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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 02.12.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Rechne für die angegebene Operation nach, dass sie wirklich eine ist. Bestimme weiter die Bahnen und die Stabiliatoren der einzelnen Elemente.
Sei G = [mm] Z_{6} [/mm] und G operiere auf {a,b,c,d,e,f} wie folgt:
1 [mm] \mapsto \pmat{ a& b & c & d & f \\ b & c & a & e & d &f }. [/mm] |
Hallo!
Ich komme bei obiger Aufgabe irgendwie nicht ganz klar. Also ich weiß, dass ich aus der Aufgabenstellung herauslesen kann, wie die 1 auf allen Mengenelemente operiert, also das gilt:
1.a = b
1.b = c
1.c = a
usw.
Nun muss ich ja aber zeigen, dass es sich wirklich um eine Gruppenoperation handelt, dass also gilt
g.(h.w) = (g+h).w für alle g,h [mm] \in Z_{6} [/mm] und alle w [mm] \in [/mm] {a,b,c,d,e,f}.
Außerdem muss ich noch zeigen, dass
0.w = w für alle w
Leider komm ich schon beim Zeigen von der ersten Bedingung nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich das einbringen kann, was ich schon üner die Operation von der 1 auf der Menge weiß.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Wär echt super!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 02.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir doch mal, dass [mm] $\mathbb{Z}_6$ [/mm] zyklisch ist, also von der $1$ erzeugt wird. wenn du nun also $3 [mm] \cdot [/mm] a$ berechnen willst, so musst du doch einfach $(1 + 1 + 1) [mm] \cdot [/mm] a$ berechnen. um die gruppenoperation sinnvoll zu definieren setzt du folglich einfach $(1 + 1 + ... + 1)a := 1 [mm] \cdot [/mm] (1 [mm] \cdot [/mm] ( ... 1 [mm] \cdot [/mm] a) ...))$ und damit ist das erste axiom für die gruppenoperation auch schon klar. du musst natürlich noch verifizieren, dass $6 [mm] \cdot [/mm] x = x$ für alle $x [mm] \in \{a, b, c, d, e, f \}$ [/mm] (oben in der von dir angegeben definition ist außerdem ein buchstabe verloren gegenagen).
grüße
andreas
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