Gruppenoperationen, Bahnen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
| Aufgabe | Sei [mm] G_{1}= \IR [/mm] mit Addition, [mm] G_2=\{r \in \IR| r >0 \} [/mm] mit Multiplikation und
M = [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Sind G [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M, (t,x) [mm] \mapsto (x_{1}-t, 2^{t}x_{2}) [/mm] bzw. [mm] G_2 \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M, (t,x) [mm] \mapsto (ln(t)+x_{1} t^{2}x_{2} [/mm] Gruppenoperationen? Wenn ja, wie sehen die Bahnen aus? |
Hallo Zusammen!
Ich sitze an obiger Aufgabe und weiß nicht wirklich, wie ich vorgehen soll.
Ich weiß, dass eine Gruppenoperation vorliegt, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1) e * x = x für alle x [mm] \in [/mm] M
2) (g * h)*x=g*(h*x) für alle g,h [mm] \in [/mm] G und x [mm] \in [/mm] M.
Aber wie kann ich das hier überprüfen?
Eine Bahn von x ist definiert als G*x := [mm] \{g*x | g \in G \} \subseteq [/mm] M.
Wie kann ich erkennen, wie hier die Bahnen aussehen?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen,
liebe Grüße,
Maja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 20.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hey!
Ich komme bei dieser Aufgabe wirklich nicht vorwärts..
Könnt ihr mir bitte helfen!?
Bin für jeden Tipp dankbar,
Maja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 So 20.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei [mm]G_{1}= \IR[/mm] mit Addition, [mm]G_2=\{r \in \IR| r >0 \}[/mm] mit
> Multiplikation und
> M = [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Sind G [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm] M, (t,x) [mm]\mapsto (x_{1}-t, 2^{t}x_{2})[/mm]
> bzw. [mm]G_2 \times[/mm] M [mm]\to[/mm] M, (t,x) [mm]\mapsto (ln(t)+x_{1} t^{2}x_{2}[/mm]
> Gruppenoperationen? Wenn ja, wie sehen die Bahnen aus?
> Ich sitze an obiger Aufgabe und weiß nicht wirklich, wie
> ich vorgehen soll.
> Ich weiß, dass eine Gruppenoperation vorliegt, wenn
> folgende Eigenschaften erfüllt sind:
> 1) e * x = x für alle x [mm]\in[/mm] M
> 2) (g * h)*x=g*(h*x) für alle g,h [mm]\in[/mm] G und x [mm]\in[/mm] M.
> Aber wie kann ich das hier überprüfen?
überleg dir wie die einzelnen * definiert sind, also wie sehen die in den einzelnen fällen aus? was ist für [mm] $G_1$ [/mm] und [mm] $G_2$ [/mm] das neutrale element $e$? mal als beispiel die überprüfung von 1) für die erste "operation":
da [mm] $G_1 [/mm] = [mm] \mathbb{R}$ [/mm] ist $e = 0$, also $e [mm] \cdot (x_1, x_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] - 0, [mm] 2^0 x_2) [/mm] = [mm] (x_1, x_2)$ [/mm] für alle [mm] $(x_1, x_2) \in [/mm] M$ - diese eigenschaft ist also erfüllt. wie sieht es mit der eigenschaft 2) aus?
probiere doch mal zu überprüfen, ob es sich um gruppenoperationen handelt und schreibe deine rechnungen hier auf, dann kann man dir bestimmt weiterhelfen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 20.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo Andreas!
Danke für die Hilfe!
Ich verstehe leider nicht so ganz, wieso du e* [mm] (x_{1}x_{2}) [/mm] schreibst und nicht (e,x)?
Für die 2. Bedingung geht das dann analog?
Also: [mm] g*h*(x_{1}x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}-gh,2^{gh}x_{2})? [/mm] Das leuchtet mir nicht so ganz ein..
Ich hoffe, du kannst mir helfen..
Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 So 20.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Danke für die Hilfe!
> Ich verstehe leider nicht so ganz, wieso du e*
> [mm](x_{1}x_{2})[/mm] schreibst und nicht (e,x)?
wenn du die abbildung, welche die operation induziert $f$ nennst, also im ersten fall $f: [mm] G_1 \times [/mm] M [mm] \longrightarrow [/mm] M; [mm] \; [/mm] (t, [mm] (x_1, x_2)) \longmapsto (x_1 [/mm] - t, [mm] 2^t x_2)$, [/mm] dann schreibt man häufig statt $f(t, [mm] (x_1, x_2))$ [/mm] auch $t [mm] \cdot (x_1, x_2)$ [/mm] - man schreibt die operation der gruppe also wie eine multiplikation von gruppenelementen auf elementen der menge. so steht das ja auch in den anforderungen an die gruppenoperation, welche du aufgeschrieben hast. ausführlich müsste der punkt i) etwa $f(e, x) = x$ statt $e [mm] \cdot [/mm] x = x$ heißen.
> Für die 2. Bedingung geht das dann analog?
> Also: [mm]g*h*(x_{1}x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}-gh,2^{gh}x_{2})?[/mm] Das
> leuchtet mir nicht so ganz ein..
du musst dir klar machen, welche der multiplikationen für welche verknüpfungen stehen - manche stehen für die verknüpfung innerhlb der gruppe (wenn auf beiden seiten des * ein gruppenelement steht) und mache stehen für die operation (wenn links des * ein gruppenelement steht und rechts davon ein element aus der menge $M$). mach dir auch klar, was hier die gruppenverknüpfung ist (bei [mm] $G_1$ [/mm] ist es auf jeden fall keine multiplikation von reellen zahlen, sondern ...).
ich hoffe dir ist jetzt klar, wie die gleichungen in diesem fall aussehen, welche du nachprüfen sollst. wenn nicht, frag einfach nochmals nach.
probiere dann nochmal den punkt ii) der ersten "gruppenoperation" nachzurechnen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hey!
1) habe ich nun verstanden. dank dir für die ausführliche Erklärung!
2) Laut Aufgabenstellung liegt bei [mm] G_{1} [/mm] Addition vor. Also muss ich
[mm] (g+h)(x_{1},x_{2}) [/mm] betrachten. Oder?
[mm] (g+h)(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}-(g+h),2^{(g+h)}x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}-g-h,2^{g}*2^{h}x_{2}) [/mm] Richtig?
Aber wie mache ich das jetzt mit [mm] g+(h(x_{1}x_{2})?
[/mm]
Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> 1) habe ich nun verstanden. dank dir für die ausführliche
> Erklärung!
gut.
> 2) Laut Aufgabenstellung liegt bei [mm]G_{1}[/mm] Addition vor. Also
> muss ich
> [mm](g+h)(x_{1},x_{2})[/mm] betrachten. Oder?
> [mm](g+h)(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}-(g+h),2^{(g+h)}x_{2})[/mm] =
> [mm](x_{1}-g-h,2^{g}*2^{h}x_{2})[/mm] Richtig?
ja, das sieht gut aus.
> Aber wie mache ich das jetzt mit [mm]g+(h(x_{1}x_{2})?[/mm]
hier muss man wie gesagt bei solchen operationen immer aufpassen. denn aus [mm] $h(x_1, x_2)$ [/mm] erhält man ein element der menge, nennen wir es $y$ und dann ist mit $gy$ hier wieder die gruppenoperation gemeint - links steht ein gruppenelement, rechts steht das element $y$ aus der menge - und nicht die addition reeller zahlen, die hier ja gar nicht definiert ist. du musst also insgesamt [mm] $g(h(x_1, x_2))$ [/mm] berechnen und dann mit dem vergleichen, was du oben erhalten hast.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Ich versuchs mal:
[mm] g(h(x_{1},x_{2})=g(x_{1}-h,2^{h}x_{2})=(x_{1}-gh,2^{gh}x_{2}) [/mm] ? und das ist dann das gleiche wie oben, also liegt eine Gruppenoperation vor. Richtig? Wie kann ich nun die Bahnen sehen?
Für den zweiten Teil der Aufgabe, ist das neutrale element die 1, also:
[mm] 1*(x_{1},x_{2}), (ln(1)+x_{1}1^{2}x_{2})=(x_{1},x_{2}) [/mm] für alle [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] M. Also ist die 1. Bedingung erfüllt.
Stimmt das soweit?
Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich versuchs mal:
>
> [mm]g(h(x_{1},x_{2})=g(x_{1}-h,2^{h}x_{2})=(x_{1}-gh,2^{gh}x_{2})[/mm]
> ? und das ist dann das gleiche wie oben, also liegt eine
> Gruppenoperation vor. Richtig?
ja, das stimmt so.
> Wie kann ich nun die Bahnen
> sehen?
nimm an, dass [mm] $(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$ [/mm] ein element der bahn ist. dann bestehet die bahn gerade aus allen [mm] $t(x_1, x_2), \; [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] probiere nun etwa die zweite koordinate $y$ durch $x$ auszudrücken. da das hier eindeutig geht erhälst du jeweils eine funktion $y(x)$ und die lässt sich dann einfach in ein $2$-dimensionales koordinatensystem eintragen. wenn dir am anfang nicht ganz klar ist, wie das aussieht, probiere es doch mit ein paar speziellen "bahnenpunkten" etwa [mm] $(x_1, x_2) [/mm] = (0, 0)$ oder [mm] $(x_1, x_2) [/mm] = (0, 1)$.
> Für den zweiten Teil der Aufgabe, ist das neutrale element
> die 1, also:
> [mm]1*(x_{1},x_{2}), (ln(1)+x_{1}1^{2}x_{2})=(x_{1},x_{2})[/mm] für
> alle [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] M. Also ist die 1. Bedingung
> erfüllt.
>
> Stimmt das soweit?
ja.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Ich habe doch noch mal eine Frage zu [mm] g(h(x_{1},x_{2})=(x_{1}-gh,2^{gh}x_{2}). [/mm] Das ist doch nicht dasselbe wie [mm] (x_{1}-g-h,2^{g}*2^{h}x_{2}), [/mm] oder? Schließlich habe ich beim Ersten Multiplikation von gh und beim Zweiten die Addition.. Irgendwas stimmt da doch nicht, oder?
Zu den Bahnen:
Was meinst du mit der zweiten Koordinate y? Mmh.. da weiß ich nicht, was du meinst und wie ich das machen soll.
Liebe grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe doch noch mal eine Frage zu
> [mm]g(h(x_{1},x_{2})=(x_{1}-gh,2^{gh}x_{2}).[/mm] Das ist doch nicht
> dasselbe wie [mm](x_{1}-g-h,2^{g}*2^{h}x_{2}),[/mm] oder?
da habe ich vorhin etwas zu schnell richtig gesagt. richtig ist, dass es sich tatsächlich um eine gruppenoperation handelt, allerdings hat sich bei dir ein rechenfehler eingeschlichen. es ist doch [mm] $g(h(x_1, x_2)) [/mm] = [mm] g(x_1 [/mm] - h, [mm] 2^hx_2)$. [/mm] setze nun [mm] $y_1 [/mm] := [mm] x_1 [/mm] - h, [mm] \; y_2 [/mm] := [mm] 2^h x_2$ [/mm] und berechne [mm] $g(y_1, y_2)$ [/mm] und setze danach wieder zurück ein, dann siehst du, dass die oben angegeben rechnung falsch ist und etwas anderes rauskommt. wenn dir das klar ist, kannst du natürlich beim aufschreiben den zwischenschritt mit dem ersetzen natürlich wieder weglassen.
> Schließlich habe ich beim Ersten Multiplikation von gh und
> beim Zweiten die Addition.. Irgendwas stimmt da doch nicht,
> oder?
>
> Zu den Bahnen:
> Was meinst du mit der zweiten Koordinate y? Mmh.. da weiß
> ich nicht, was du meinst und wie ich das machen soll.
du kannst ja jedes solche tupel als $(x, y)$ schreiben. wenn du nun die bahn von einem speziellen element, etwa $(0, 1)$ nimmst, kannst du dir ja alle elemente in der bahn explizit (in abhängigkeit von einem reellen parameter $t$) hinschreiben. dann löst du in dieser darstellung die erste koordinate nach $t$ auf und setzt sie in das auftreten des $t$' in der zweiten koordinate ein. dann hast du eine funktion $y(x)$ und die kannst du dann skizzieren. wie gesagt probiere das erstmal für spezielle bahnen. mach dir dann klar, dass du für jede bahn durch genau einen punkt der form $(0, y)$ geht und du somit eine recht einfache darstellung für die bahnen erhälst. zeige am besten mal, was du dir dazu überlegt hast.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
So, das mit den Gruppenoperationen habe ich jetzt verstanden. Auch für [mm] G_{2}.. [/mm] bekomme ich heraus, dass die zweite Eigenschaft erfüllt ist, also eine Gruppenoperation vorliegt. Richtig?
Jetzt muss ich also noch sagen, wie die Bahnen aussehen..
Das habe ich immer noch nicht verstanden und leider steht dazu auch kein Bsp. in meinem Skript.
Ich versuche deine Hinweise zu verstehen und umzusetzen. Also, ich habe t [mm] \in \G_{1} [/mm] und (x,y) [mm] \in [/mm] M. Setze x=0 und y=1, dann bekomme ich [mm] t(x,y)=(-t,2^{t}). [/mm] Meintest du das so? Sorry, aber irgendwie blicke ich das nicht..
Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Di 22.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> So, das mit den Gruppenoperationen habe ich jetzt
> verstanden. Auch für [mm]G_{2}..[/mm] bekomme ich heraus, dass die
> zweite Eigenschaft erfüllt ist, also eine Gruppenoperation
> vorliegt. Richtig?
ja, ich denke schon.
> Jetzt muss ich also noch sagen, wie die Bahnen aussehen..
> Das habe ich immer noch nicht verstanden und leider steht
> dazu auch kein Bsp. in meinem Skript.
> Ich versuche deine Hinweise zu verstehen und umzusetzen.
> Also, ich habe t [mm]\in \G_{1}[/mm] und (x,y) [mm]\in[/mm] M. Setze x=0 und
> y=1, dann bekomme ich [mm]t(x,y)=(-t,2^{t}).[/mm] Meintest du das
> so? Sorry, aber irgendwie blicke ich das nicht..
betrachten wir irgendein festen vektor [mm] $(x_0, y_0) \in [/mm] M$. dann ist die bahn davon [mm] $G_1 \cdot (x_0, y_0) [/mm] = [mm] \{t (x_0, y_0) : t \in \mathbb{R} \}$. [/mm] nun kannst du bei jedem dieser elemente (wenn man [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] als konstanten betrachtet) jede koordinate als funktion von $t$ auffassen, also [mm] $G_1 \cdot (x_0, y_0) [/mm] = [mm] \{ (x(t), y(t)) : t \in \mathbb{R} \}$. [/mm] in dem von dir bisher betrachteten spezialfall [mm] $(x_0, y_0) [/mm] = (0, 1)$ ist dann $x(t) = -t$ und $y(t) = [mm] 2^t$. [/mm] nun kann man hier $x(t)$ nach $t$ auflösen. man erhält dann $t = -x$. setzt man dies nun in $y(t)$ ein, so folgt $y(x) = [mm] 2^{-x}$ [/mm] und das ist ein kurve, welche sich durchaus skizzieren lässt. hier kommt man mit diesem verfahren immer zum ziel, wenn man sich klar macht, dass jede bahn durch genau einen der punkte $(0, y)$ geht, wie ich vorhin schon angedeutet habe.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:48 Di 22.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo Andreas!
Danke für deine tolle Hilfe! Das habe ich jetzt soweit alles verstanden. Mir ist nur noch nicht so ganz klar, warum jede Bahn durch den Punkt (0,y) gehen muss. Wieso ist das so und wie kann ich das zeigen?
Liebe Dank und liebe Grüße,
Maja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Maja83 |
Hallo Zusammen!
Kann mir jemand noch mal erklären, wie ich das Aussehen der Bahnen bestimmen kann? Ich komme da einfach nicht weiter..
Grüße,
Maja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Fr 25.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
hast du denn mal die idee verfolgt und zu jedem fest gewählten $(0, [mm] y_0)$ [/mm] die bahn bestimmt. das geht im prinzip wie bei dem spezialfall [mm] $y_0 [/mm] = 1$, nur das eben noch ein parameter [mm] $y_0$ [/mm] drin stehen bleibt (aber dir wird das ausshen bestimmt schnell klar, wenn du das beispielhaft für ein paar [mm] $y_0 [/mm] = 2, 3, 0, -1, -2, ...$ durchrechnest). diese funktionen kannst du dann skizieren und dir dann klar machen, dass jeder punkt von $M$ auf einer dieser funktionen liegt, also in einer bahn und damit bist du fertig.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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