www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Gruppenordnung/Elementordnung
Gruppenordnung/Elementordnung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gruppenordnung/Elementordnung: Teilbarkeit von Gruppenordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:17 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Aufgabe
Sei [mm](G, \circ) [/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm] sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
[mm] ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
von [mm]G[/mm] teilt.


Hallo,

ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher, ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.

Lösung:
Beweis durch Widerspruch:

Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m [/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
[mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
[mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
[mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm] Das ist aber ein Widerspruch zur Bedingung in der Annahme mit [mm]0
Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder Bestätigung freuen :)

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 14.11.2016
Autor: hippias


> Sei [mm](G, \circ)[/mm] eine endliche abelsche Gruppe. Für [mm]g \in G[/mm]
> sei die Ordnung von [mm]g[/mm]
> [mm]ord(g) = m[/mm]  mit [mm]m \in \IN[/mm] so dass [mm]g^m = e[/mm] ist. Zeigen Sie,
> dass [mm]ord(g)[/mm] stets die Gruppenordnung
>  von [mm]G[/mm] teilt.
>  
> Hallo,
>  
> ich habe die Aufgabe wie folgt, bin mir aber nicht sicher,
> ob ich doch nicht einen Fehler in meiner Lösung habe.
>  
> Lösung:
>  Beweis durch Widerspruch:
>  
> Annahme: [mm]m[/mm] teilt nicht stets die Gruppenordnung [mm]|G|[/mm].
>  Dann gilt: [mm]|G| = m * k + r[/mm] mit [mm]0 < r < m[/mm] und [mm]k \in \IN_0[/mm]
>  
> [mm]g^r = g^{|G|-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*g^{-m*k}[/mm]
>  [mm]g^r = g^{|G|}*{(g^{m})^{-k}}[/mm]
>  
> [mm]g^r = e*{e^{-k}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e^{k}}}[/mm]
>  [mm]g^r = e*\frac{1}{e}[/mm]
>  
> [mm]g^r = 1 \Rightarrow r = 0[/mm]

Aufgrund der minimalen Wahl von $m$! Wäre $m$ irgendeine Zahl mit [mm] $g^{m}=e$, [/mm] dann wäre der Schluss auf $r=0$ falsch.


> Das ist aber ein Widerspruch zur
> Bedingung in der Annahme mit [mm]0
>  
> Würde mich über Hinweise auf mögliche Fehler oder
> Bestätigung freuen :)

Wenn [mm] $g^{|G|}= [/mm] e$ bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.

>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg


Bezug
                
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

> Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m [/mm] wäre der Schluss auf [mm] r = 0 [/mm] falsch oder nicht??

>  Wenn [mm]g^{|G|}= e[/mm] bekannt ist, dann ist Dein Beweis in Ordnung.
>  

Ja [mm]g^{|G|} = e [/mm] ist als Satz im Skript angegeben und ich verweise darauf (hier habe ich es ausgelassen ...)

Danke nochmals

Bezug
                        
Bezug
Gruppenordnung/Elementordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Di 15.11.2016
Autor: angela.h.b.


> Guten Morgen und Dankeschön für die schnelle Hilfe.

>

> > Aufgrund der minimalen Wahl von [mm]m[/mm]! Wäre [mm]m[/mm] irgendeine Zahl
> > mit [mm]g^{m}=e[/mm], dann wäre der Schluss auf [mm]r=0[/mm] falsch.

>

> Stimmt, das habe ich übersehen. Aber doch auch aufgrund
> der Bedingung in der Annahme [mm]0 < r < m[/mm] wäre der Schluss
> auf [mm]r = 0[/mm] falsch oder nicht??

>

Hallo,

Du hast am Ende [mm] g^r=1 [/mm] für 0<r<m.

Der Widerspruch ergibt nun sich daraus, daß m voraussetzungsgemäß die Ordnung von g ist, also die kleinste natürliche Zahl, für die [mm] g^m=1 [/mm] ist.

Deshalb kann [mm] g^r=1 [/mm] nicht sein.

Damit hast Du einen Widerspruch, also teilt m die Gruppenordnung.


Wenn man einfach nur hat [mm] g^k=1, [/mm] ohne daß k die Ordnung von g ist, funktioniert die Argumentation für "dann teilt k die Gruppenordnung" nicht - kein Wunder, dann stimmt sie ja auch nicht.

LG Angela

 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de