Gruppentafel - Ordnung etc. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 So 15.04.2012 | | Autor: | MartinCV |
| Aufgabe | | [Externes Bild http://s1.directupload.net/file/d/2861/vjsuuxyo_jpg.htm] |
Hallo liebe Community,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Damit wäre das erledigt..... nun zum ernsten Teil.
Ich knabbere schon seit einer Weile an einer, wie ich denke, eigentlich leichten Aufgabe.
Leider scheitert es bereits an der ersten Teilaufgabe, die ich nun zuerst lösen möchte.
Ich habe bereits das neutrale element mit e=a gefunden und die Inversen sind für c = c und für d = b.
Nun wurde uns in der Vorlesung gesagt, dass die Ordnung gleich der Anzahl der Elemente wäre. Damit komm ich nicht weiter, denn ein einfaches auszählen von c und d in der Gruppentafel erscheint mir nicht logisch.
Ich bin auf eine Formel gestoßen: [mm] x^{n}=e. [/mm] Wobei das kleinste mögliche n der Ordnung des Elements x entspricht.
Aber wie soll ich eine Potenz auf die gegebenen Variablen anwenden?
Vielen Dank im Voraus!
Bitte weist mich auf Fehler der Fragestellung hin, da dies mein erster Post hier ist. Ich bitte um Verständnis :)
MfG
Martin
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 15.04.2012 | | Autor: | MartinCV |
Danke für deine Antwort und die herzliche Begrüßung.
Demnach ist ist die Ordnung für c = 2 und d = 4?
Hilft mir diese Erkenntnis beim lösen der Aufgabe b), oder muss ich für alle Kombinationen von 2 Elementen auf Untergruppenkriterien testen?
Sprich Assoziativität, neutrales Element, inverses Element, Kommutativität...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Demnach ist ist die Ordnung für c = 2 und d = 4?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
> Hilft mir diese Erkenntnis beim lösen der Aufgabe b), oder
> muss ich für alle Kombinationen von 2 Elementen auf
> Untergruppenkriterien testen?
> Sprich Assoziativität, neutrales Element, inverses
> Element, Kommutativität...
(Kommutativität ist bei Gruppen nicht verlangt.)
Ihr kennt doch sicherlich das Untergruppenkriterium, dass [mm] $H\subseteq [/mm] G$ genau dann eine Untergruppe bildet, wenn:
1. [mm] $e\in [/mm] H$, wobei $e$ das neutrale Element von $G$ bezeichne.
2. Für alle [mm] $a,b\in [/mm] H$ ist auch [mm] $a\cdot b\in [/mm] H$.
3. Für alle [mm] $a\in [/mm] H$ ist auch [mm] $a^{-1}\in [/mm] H$, wobei [mm] $a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $a$ in $G$ bezeichne.
Demnach muss eines der beiden Elemente von einer solchen Untergruppe $H$ in unserem Beispiel das neutrale Element $a$ sein. Bleiben noch sieben zwei-elementige Teilmengen von $G$ auf Untergruppen-Eigenschaft zu untersuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 15.04.2012 | | Autor: | MartinCV |
Okay vielen Dank soweit.
bis auf a,b und a,d sind alle anderen Verknüpfungen, sprich a,c ; a,e ; a,f ; a,g ; a,f, Untergruppen.
Bei c) fällt mir schwer diese i etc. mit der a,b,c,d zu vergleichen, da mir auch hier das Denken in Variablen schwer fällt.
Soweit ich weiß muss eine Bijektivität zwischen den Gruppen herrschen, damit sie isomorph sind.
Ich nehme allerdings an, dass sie nicht isomorph zueinander sind, da neutrales Element und die Inversen Elemente nicht an den gleichen Positionen stehen, wenn ich die beiden Tafeln optisch vergleiche.
Auf welchem mathematischen Hintergrund das beruht, weiß ich jedoch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> bis auf a,b und a,d sind alle anderen Verknüpfungen,
> sprich a,c ; a,e ; a,f ; a,g ; a,f, Untergruppen.
Bis auf die Notation stimmt es!
> Bei c) fällt mir schwer diese i etc. mit der a,b,c,d zu
> vergleichen, da mir auch hier das Denken in Variablen
> schwer fällt.
>
> Soweit ich weiß muss eine Bijektivität zwischen den
> Gruppen herrschen, damit sie isomorph sind.
Das ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Hier ist sie erfüllt, da beide Gruppen 4-elementig sind.
Zwei Gruppen heißen zueinander isomorph, wenn es einen Isomorphismus (also bijektiven Gruppenhomomorphismus) zwischen ihnen gibt.
Sei $G'$ die Gruppe [mm] $(\{1,-1,i,-i\},\cdot)$. [/mm] Wie müsste ein Isomorphismus [mm] $\varphi\colon G^\*\to [/mm] G'$, wenn er denn existieren sollte, aussehen? Er müsste das neutrale Element [mm] $a\in G^\*$ [/mm] schicken auf das neutrale Element [mm] $1\in [/mm] G'$, also [mm] $\varphi(a)=1$ [/mm] erfüllen. Außerdem müsste das Element $c$ der Ordnung $2$ von [mm] $\varphi$ [/mm] auf ein Element aus $G'$ der Ordnung $2$ abgebildet werden. Da gibt es nur eines... Bleiben noch zwei Möglichkeiten, wie du [mm] $\varphi$ [/mm] zu einer bijektiven Abbildung [mm] $\varphi\colon G^\*\to [/mm] G'$ machen könntest.
Nimm ein so entstandenes [mm] $\varphi$ [/mm] und prüfe, ob es ein Gruppenhomomorphismus ist. Falls ja, hast du einen Isomorphismus gefunden. Falls nein, bleibt noch die zweite Möglichkeit für [mm] $\varphi$ [/mm] zu prüfen.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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